数学-2021年高考高三5月全国大联考山东卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（山东卷）

数  学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，，且，则

A．        B．        C．      D．

2．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是

A． B．  C．   D．

3．已知，，则

A． B． C． D．

4．已知的展开式中的系数是，则展开式中各项系数之和为

A． B． C． D．

5．已知均为正实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件          B．充要条件

C．必要不充分条件               D．既不充分也不必要条件

6．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于. 经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据)

A．10分钟          B．14分钟    C．15分钟        D．20分钟

7．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为

A． B．           C． D．

8．已知，，则方程的解的个数是

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知向量，则下列结论正确的是

A．                    B．   

C．向量的夹角为           D．在方向上的投影是

10．设复数且，则下列结论正确的是

A．可能是实数 B．恒成立

C．若，则 D．若，则

11．已知，则下列结论正确的是

A．的最小正周期为            B．的最大值为

C．在上单调递增          D．在上单调递减

12．已知三棱锥的各顶点都在球上,点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是

A．平面

B．球的体积是

C．二面角的余弦值是

D．平面被球所截的截面面积是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量，若，则______________．

14．若圆截直线所得的最短弦长为，则实数______________．

15．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均为1的六边形是某棱锥的侧面展开图，则该棱锥的内切球半径为______________．

16．已知双曲线的两个焦点分别为，若以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线C交于点P（点P在第一象限），且，则双曲线C的渐近线方程为______________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.

问题：在中，分别为内角的对边，若，              ，求的周长的最大值.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）

已知数列中，，前项和为，且满足.

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设，求的前项和.

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面为梯形，，三角形为等边三角形，侧面底面，且，为棱上的动点.

（1）若，交于，证明：平面；

（2）若为棱的中点，且过三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为，求的长，并求直线与该截面所成角的正弦值.

20．（12分）

学校食品安全问题关系着师生的身心健康，一直受到社会各界的高度关注.为进一步加强学校食堂安全管理，某市卫生监督部门决定对本市所有学校进行一次食品安全抽查.某中学按照要求，将卫生监督部门当天检查的所售菜品取样分成甲、乙两组，甲组菜品有不同的荤菜份和不同的素菜份，乙组菜品有荤菜份和不同的素菜份，已知从甲组菜品中随机任取两份菜样，在第一次抽到素菜的条件下，第二次抽到荤菜的概率是.

（1）求的值；

（2）若卫生监督部门第一次从甲组中随机抽取一份菜样，从第二次抽样开始，若前一次抽到荤菜，则再从甲组中抽取一份；若前一次抽到素菜，则再从乙组中抽取一份，第三次抽样后结束，每次抽取菜样都不放回.已知荤菜检测费用为元/份，素菜检测费用为元/份，求本次抽查检测费用的分布列和数学期望.

21．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为,，点是椭圆上位于第二象限的任一点，直线是的外角平分线，直线交椭圆于另一点，过左焦点作的垂线，垂足为，延长交直线于点，（其中为坐标原点），椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的内切圆半径的取值范围.

22．（12分）

如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.

（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；

（2）求证：当时，.

2021年高三5月大联考（山东卷）

数学·全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．B 【解析】∵，∴，又，∴或或或，∴.故选B.

2．D 【解析】因为，所以，故选D．

3．C 【解析】因为，所以.故选C.

4．A 【解析】的展开式的通项为，由得，所以的展开式中的系数是，解得，令，可得的展开式的各项系数之和为1.故选A．

5．C 【解析】取，则，但，所以由推不出，反过来，若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选C．

6．B 【解析】由题意知，当时，，所以所以，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选B .

7．A 【解析】因为，所以，又，所以，解得，所以，所以恒成立等价于恒成立，令，则，当时，；当时，；当时，，所以，所以，所以，即实数的最大值为，故选A．

8．B 【解析】因为，所以，所以或，画出的大致图象，如图，因为，所以，因为直线与函数的图象有1个交点，直线与函数的图象有2个交点，故方程的解的个数是3.故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．AC 【解析】对选项A，，因为，所以，故A正确；对选项B，，所以，故B错误；对选项C，

，所以向量的夹角为，故C正确；对选项D，在方向上的投影是，故D错误.故选AC．

10．BC 【解析】对选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错；对选项B，由A知，所以

，故B正确；对选项C，，则

，因为，所以，故C正确；对选项D，

，则，因为，所以，所以，故D错误，故选BC．

11．ABD 【解析】的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，A正确；，设，则，，令，得或，当时，，当时，，可知当时，取得最大值，不妨取，当时，，当时，根据题意知，∴，则，B正确；∵，∴，单调递增，，不单调，则不单调，C错误；∵，∴，单调递减，，，单调递减，则单调递减，D正确.故选ABD.

12．AB 【解析】对于选项A，因为平面，所以,由，，可得，满足,所以,所以平面，故A正确；对于选项B，是和的公共斜边，所以的中点即三棱锥外接球的球心，所以球的半径为，球的体积为，故B正确；对于选项C，过点B作，垂足为，连接，易证平面，所以，又，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，可得，在中，可得，在中，，则

，故C错误；对于选项D，设到平面的距离为，平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线，所以到平面的距离等于到平面的距离，故，即，得，所以，所以截面圆的面积为，故D错误.故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 【解析】随机变量，对称轴为，因为，所以，根据对称性可得，所以.

14． 【解析】易知圆的圆心为，半径，直线恒过点.又，当时，所得弦最短，此时弦长为

，解得，所以，解得.

15． 【解析】将图形还原得四棱锥，如图，设内切球的球心为O，半径为r，则有即

，解得.故答案为.

16． 【解析】由已知得双曲线C的焦点在y轴上，如图所示，

以坐标原点O为圆心，为半径的圆与双曲线C交于第一象限的点P，可知，又，所以，由双曲线的定义可得，在中，，在中，由余弦定理可得，化简得，所以，所以双曲线C的渐近线方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

【解析】若选条件①，由正弦定理得，（1分）

因为，所以，所以，（2分）

所以，（3分）

整理得，所以， （5分）

因为，所以.（6分）

因为，由余弦定理得，（7分）

所以，（8分）

所以，即，当且仅当时取等号，（9分）

所以周长的最大值为. （10分）

若选条件②，因为，所以，（3分）

整理得，（4分）

所以，（5分）

因为，所以.（6分）

因为，由余弦定理得，（7分）

所以， （8分）

所以，即，当且仅当时取等号，（9分）

所以周长的最大值为. （10分）

若选条件③，因为，

所以，（2分）

所以，（3分）

所以，（4分）

所以， （5分）

因为，所以.（6分）

因为，由余弦定理得，（7分）

所以， （8分）

所以，即，当且仅当时取等号，（9分）

所以周长的最大值为. （10分）

18．（12分）

【解析】因为所以，即

，所以，（2分）

且，所以是以为首项，为公差的等差数列，（3分）

所以，所以 ①，（4分）

所以 ②.

①②得（5分）

又，满足上式，所以（6分）

（2）由（1）知，.（8分）

所以（10分）

      .（12分）

19．（12分）

【解析】（1）由题意得，又底面为梯形，，，

∴，∴.（2分）

又平面，平面，（3分）

∴平面.（4分）

（2）如图，取的中点，连接，则且，

又由题意得，，所以，

所以四边形为平行四边形，

即四边形为所截得的截面.（5分）

又侧面底面，侧面底面，

所以平面，又平面，所以，

所以四边形为矩形.（6分）

令，则，，则，

所以，（7分）

取的中点，连接.

由题意得底面.

以为坐标原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

故.（8分）

设平面的法向量为则，即，

令，则平面的一个法向量为（10分）

设直线与截面所成的角为，则

所以直线与截面所成角的正弦值为.（12分）

20．（12分）

【解析】（1）设第一次抽到素菜为事件A，第二次抽到荤菜为事件B，

∴，，

∵，∴.（4分）

（2）解法一：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，检测费用为，其中可以取，则的可能取值为180，200，220，240.（6分）

，

，

，

.（10分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）

所以检测费用的分布列为

                                                    （11分）

所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）

解法二：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，抽取素菜的份数为，检测费用为，其中可以取. （5分）

，

，

，

.（9分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）

抽样结束后，抽取荤菜的份数的分布列为

由题意可知，抽取素菜的份数为，检测费用，的可能取值为180，200，220，240，所以检测费用的分布列为

                                                    （11分）

所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题意可得，且，（2分）

所以，（3分）

因为，分别为线段，的中点，所以为的中位线，

所以且，

由，得，（4分）

所以椭圆的标准方程为.（5分）

（2）由（1）知，

设直线的方程为，由点在第二象限求得.

设，，由得，  

由根与系数的关系得，，（7分）

所以，（8分）

令，则，

所以，（9分）

因为在时单调递增，所以，

所以，（10分）

又，所以，即，

所以内切圆半径的取值范围是.（12分）

22．（12分）

【解析】（1），令则，

在上单调递增，

又当时，，在上单调递增，

又当时，，

∴当时，，与在上均单调递增，

∴在上是“链式函数”. （3分）

，令，则，

∴在上单调递减，又当时，，

∴在上单调递减，又当时，，

∴当时，，与在上均单调递减，

∴在上是“链式函数”.  （6分）

（2）当时，由（1）知，所以，

又由（1）知，所以，

两式相加得，即，（8分）

令，

则，（10分）

所以在上单调递增，

则当时，，即，∴当时，，

故当时，.（12分）