2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）解析版

这是一份2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）解析版，共29页。试卷主要包含了下列图形中是轴对称图形的是，下列计算正确的是，下列四个命题，估算•+2在哪两个整数之间，《九章算术》记载了这样一道题等内容，欢迎下载使用。

2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）
一．选择题（满分48分，每小题4分）
1．在﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
4．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．70° B．110° C．70°或110° D．不确定
6．估算•+2在哪两个整数之间（　　）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）

A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
8．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（　　）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
9．下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的．摆图案（1）需8根牙签，摆图案（2）需15根牙签…按此规律．摆图案（n）需要牙签的根数是（　　）

A．7n+8 B．7n+4 C．7n+1 D．7n﹣1
10．数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的个数是（　　）
①a+b＞0；②ab＜0；③|a|+b＜0；④a﹣b＞0；⑤|a|＝﹣a．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（　　）
A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
12．如图（1），△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD 把△ABC折叠，如图（2），则下列判断正确的是（　　）

A．S△BDG＞S△ACG B．S△BDG＝S△ACG
C．S△BDG＜S△ACG D．无法确定
二．填空题（满分24分，每小题4分）
13．我国最大的领海是南海，总面积有3500000km2，用科学记数法可表示为　 　km2．
14．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝　 　．
15．从﹣1，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为（x，y），则点M在直线l：y＝﹣x上的概率为　 　．
16．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD＝2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是　 　．

17．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确的是　 　（填序号）．

18．某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有　 　种．
三．解答题（共78分）
19．计算：
（1）（a+b）（a﹣b）+a（3b﹣a）；
（2）（1﹣x+）．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝2AC．
（1）利用尺规作等腰△DBC，使点D，A在直线BC的同侧，且DB＝BC，∠DBC＝∠ACB．（保留作图痕迹，不写画法）
（2）设（1）中所作的△DBC的边DC交AB于E点，求证：AE＝BE．

21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了　 　名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为　 　．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，试求恰好抽到一男一女的概率．
22．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
23．小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y＝x|ax+b|（a＞0）的图象与性质进行探究．已知该函数图象经过点（2，1），且与x轴的一个交点为（4，0）．
（1）求函数的解析式；
（2）在给定的平面直角坐标系中：
①补全该函数的图象；
②当2≤x≤4时，y随x的增大而　 　（在横线上填增大或减小）；
③当x＜4时，y＝x|ax+b|的最大值是　 　；
①直线y＝k与函数y＝x|ax+b|有两个交点，则k＝　 　．

24．任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记f（n）＝．如n＝1234，则m＝3412，f（1234）＝＝﹣22．
（1）直接写出f（1111）＝　 　，f（5025）＝　 　，并求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
（2）若s＝1200+10a+b，t＝1000b+100a+14（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标　 　；
（2）直接写出△ABC的形状为　 　；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．

26．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）如图①，若AB＝BD，AB⊥BD，求证：CD＝AB；
（2）如图②，若AB＝AD，AB⊥AD，BC＝1，求CD的长；
（3）如图③，若AD＝BD，AD⊥BD，AB＝2，求CD的长．


2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜2，
∴在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是2．
故选：C．
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：a•a2＝a3，故选项A不合题意；
a2与a4不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项C不合题意；
a3÷a＝a2，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
4．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；
【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，
故选：B．
5．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．70° B．110° C．70°或110° D．不确定
【分析】连接OA、OB，可求得∠AOB，再分点C在 上和上，可求得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
当点C1在上时，则∠AC1B＝∠AOB＝70°，
当点C2在上时，则∠AC2B+∠AC1B＝180°，
∴∠AC2B＝110°，
故选：C．

6．估算•+2在哪两个整数之间（　　）
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
【分析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算的范围即可．
【解答】解：•+2＝，
∵，
∴，
∴，
即•+2在6和7两个整数之间．
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）

A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到＝，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
8．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（　　）
A． B．3x+4＝4x+1
C． D．3（x+4）＝4（x+1）
【分析】设井深为x尺，根据绳子的长度固定不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设井深为x尺，
依题意，得：3（x+4）＝4（x+1）．
故选：D．
9．下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的．摆图案（1）需8根牙签，摆图案（2）需15根牙签…按此规律．摆图案（n）需要牙签的根数是（　　）

A．7n+8 B．7n+4 C．7n+1 D．7n﹣1
【分析】根据图案①、②、③中牙签的数量可知，第1个图形中牙签有8根，每多一个多边形就多7根牙签，由此可知第n个图案需牙签8+7（n﹣1）＝7n+1根．
【解答】解：∵图案①需牙签：8根；
图案②需牙签：8+7＝15根；
图案③需牙签：8+7+7＝22根；
…
∴图案n需牙签：8+7（n﹣1）＝7n+1根，
故选：C．
10．数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的个数是（　　）
①a+b＞0；②ab＜0；③|a|+b＜0；④a﹣b＞0；⑤|a|＝﹣a．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出a＜0＜b，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．
【解答】解：根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＞0；故正确；
②ab＜0；故正确；
③|a|+b＞0，故错误；
④a﹣b＜0，故错误；
⑤|a|＝﹣a，故正确．
故选：C．
11．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（　　）
A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正整数解确定出a的值，即可求出所求．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，
解得：a≤2，
分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，
由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，5，10，
解得：a＝﹣2，﹣1，2，7，
∵x≠5，即≠5
∴a≠﹣1
综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为，﹣4，
故选：B．
12．如图（1），△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD 把△ABC折叠，如图（2），则下列判断正确的是（　　）

A．S△BDG＞S△ACG B．S△BDG＝S△ACG
C．S△BDG＜S△ACG D．无法确定
【分析】根据等底同高的两三角形面积相等可知：S△ADB＝△ADC，然后依据等式的性质即可得出△AGC和△BGD的面积相等．
【解答】解：∵AD是△ABC一边BC上的中线，
∴BD＝DC．
∴S△ADB＝S△ADC．
∴S△ADB﹣S△ADG＝S△ADC﹣S△ADG．
∴S△AGC＝S△BGD．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．我国最大的领海是南海，总面积有3500000km2，用科学记数法可表示为　3.5×106　km2．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．
故答案为：3.5×106．
14．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝　16　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝5⊗（1﹣4）＝5⊗（﹣3）＝25﹣9＝16．
故答案为：16．
15．从﹣1，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为（x，y），则点M在直线l：y＝﹣x上的概率为　　．
【分析】根据题意画出树状图得出所有点M的坐标，得出符合条件M的坐标，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：

得到点M的坐标分别是（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1），
共有6个等可能的结果，点M在直线l：y＝﹣x上的结果有2个，
∴点M在直线l：y＝﹣x上的概率为＝，
故答案为：．
16．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD＝2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是　﹣　．

【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝45°，
∴AB＝AE＝1，BE＝，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
17．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确的是　①②③　（填序号）．

【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．
【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9＝80（m/分），
当第15分钟时，乙运动15﹣9＝6（分钟），
运动距离为：15×80＝1200（m），
∴乙的运动速度为：1200÷6＝200（m/分），
∴200÷80＝2.5，（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；
此时乙运动19﹣9＝10（分钟），
运动总距离为：10×200＝2000（m），
∴甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟），
故a的值为25，（故④错误）；
∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（m），
∴b＝2000﹣1520＝480，（故③正确）．
故正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
18．某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有　3　种．
【分析】可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶．根据两种帐篷容纳的总人数为30人，可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值．根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案．
【解答】解：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，
依题意，有：6x+4y＝30，整理得y＝7.5﹣1.5x，
因为x、y均为非负整数，所以7.5﹣1.5x≥0，
解得：0≤x≤5，
从0到5的奇数共有3个，
所以x的取值共有3种可能．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）（a+b）（a﹣b）+a（3b﹣a）；
（2）（1﹣x+）．
【分析】（1）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣b2+3ab﹣a2
＝3ab﹣b2．

（2）原式＝（+）÷
＝•
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝2AC．
（1）利用尺规作等腰△DBC，使点D，A在直线BC的同侧，且DB＝BC，∠DBC＝∠ACB．（保留作图痕迹，不写画法）
（2）设（1）中所作的△DBC的边DC交AB于E点，求证：AE＝BE．

【分析】（1）先作∠CBD＝∠ACB，然后截取BD＝BC；
（2）作BF∥AC交CD于F，如图，根据平行线的性质得到∠CBF＝60°，利用等腰三角形的性质计算出∠DBF＝60°，∠BCD＝∠BDC＝30°，则∠BFC＝90°，从而得到BF＝BC＝AC，然后证明△BEF≌△ACE，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；

（2）证明：作BF∥AC交CD于F，如图，
∵∠ACB＝120°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ACB＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，
∴∠DBF＝60°，∠BCD＝∠BDC＝30°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，BF＝BC，
∵BC＝2AC，
∴BF＝AC，
∵BF∥AC，
∴∠FBE＝∠A，
在△BEF和△ACE中，
，
∴△BEF≌△ACE（AAS），
∴AE＝BE．
21．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了　50　名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为　36°　．
（4）已知D类中有2名女生，现从D类中随机抽取2名同学，试求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据条形图和扇形图得出B类人数为20名，占40%，即可得出总数；
（2）根据总人数减去A，B，D的人数得出C的人数，即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；
（4）画出树状图，共有20个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有12个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）C类学生人数为：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
补全条形统计图如下：

（3）D类所对应扇形的圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：36°；
（4）画树状图如图：

共有20个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有12个，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
22．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
23．小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y＝x|ax+b|（a＞0）的图象与性质进行探究．已知该函数图象经过点（2，1），且与x轴的一个交点为（4，0）．
（1）求函数的解析式；
（2）在给定的平面直角坐标系中：
①补全该函数的图象；
②当2≤x≤4时，y随x的增大而　减小　（在横线上填增大或减小）；
③当x＜4时，y＝x|ax+b|的最大值是　1　；
①直线y＝k与函数y＝x|ax+b|有两个交点，则k＝　0或1　．

【分析】（1）将点（2，1），（4，0）代入y＝x|ax+b|即可；
（2）画出函数图象即可求解．
【解答】解：（1）将点（2，1），（4，0）代入y＝x|ax+b|，
得到a＝﹣1，b＝4或a＝1，b＝﹣4，
∵a＞0，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴y＝x|x﹣4|；
（2）①如图所示：
②由图可知，当2≤x≤4时，y随x的增大而减小；
故答案为减小；
③当x＜4时，由图象可知，当x＝2时，y＝x|x﹣4|有最大值，
此时y＝1，
故答案为1；
④直线y＝k与函数y＝x|x﹣4|有两个交点，由图象可知，
k＝0或k＝1；
故答案0或1．

24．任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记f（n）＝．如n＝1234，则m＝3412，f（1234）＝＝﹣22．
（1）直接写出f（1111）＝　0　，f（5025）＝　25　，并求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
（2）若s＝1200+10a+b，t＝1000b+100a+14（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
【分析】（1）利用新定义直接计算即可得出结论；
（2）先求出f（s）和f（t），进而求出f（s）+f（t）＝9（b﹣a）﹣2，由题意判断出b﹣a＝1或2或3或4，最后计算判断即可得出结论．
【解答】解：（1）∵n＝1111，
∴m＝1111，
∴f（1111）＝＝0，
∵n＝5025，
∴m＝2550，
∴f（5025）＝＝25，
设任意一个四位数n＝，（a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0），
∴m＝，
∴n﹣m＝﹣＝1000a+100b+10c+d﹣（1000c+100d+10a+b）＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b﹣10c﹣d），
∴f（n）＝＝＝10a+b﹣10c﹣d，
∵a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0，
∴f（n）均为整数，对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
故答案为：0，25；

（2）∵s＝1200+10a+b且1≤a≤5，∴m＝1000a+100b+12，
∴s﹣m＝1200+10a+b﹣（1000a+100b+12）＝﹣990a﹣99b+1188＝99（﹣10a﹣b+12），
∴f（s）＝＝12﹣10a﹣b
∵t＝1000b+100a+14且1≤b≤5，
∴m'＝1400+10b+a，
∴t﹣m'＝1000b+100a+14﹣（1400+10b+a）＝990b+99a﹣1386＝99（10b+a﹣14）
∴f（t）＝＝10b+a﹣14，
∴f（s）+f（t）＝12﹣10a﹣b+10b+a﹣14＝9（b﹣a）﹣2，
∵f（s）+f（t）是一个完全平方数，
∴9（b﹣a）﹣2是一个完全平方数，
∵1≤a≤5，1≤b≤5，
∴b﹣a＝1或2或3或4，
当b﹣a＝1时，f（s）+f（t）＝7，不是完全平方数，
当b﹣a＝2时，f（s）+f（t）＝16，是完全平方数，
∵s＝1200+10a+b，且s要越大，
∴a越大，
∴a＝3，b＝5，此时，s＝1200+30+5＝1235，
当b﹣a＝3时，f（s）+f（t）＝25，是完全平方数，
∵s＝1200+10a+b，且s要越大，
∴a越大，
∴a＝2，b＝5，此时，s＝1200+20+5＝1225，
当b﹣a＝4时，f（s）+f（t）＝34，不是完全平方数，
即：当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，满足条件s的最大值1235．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标　（1，2）　；
（2）直接写出△ABC的形状为　等腰直角三角形　；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中，列方程组，解出即可求得结论；
②配方后可得顶点B的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，作辅助线，求出直线CD的解析式，用含m的代数式表示出点P和点N的坐标，计算PN的长，根据三角形面积公式可得：S关于m的函数关系式，并根据二次函数的性质写出S的最大值时m的值；
（4）分两种情况讨论：①当点Q在x轴下方时，如图3，先确定CF的解析式，利用抛物线与直线CF的解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当Q1在x轴下方时，如图4，同理可得结论．
【解答】解：（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+；
②y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点B的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）
（2）△ABC的形状是等腰直角三角形，理由是：
如图1，

∵A（﹣1，0），C（3，0），B（1，2），
∴AC2＝（3+1）2＝16，
AB2＝（1+1）2+22＝4+4＝8，
BC2＝（3﹣1）2+（2﹣0）2＝4+4＝8，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形；
（3）由题意得：P（m，﹣m2+m+），
∵A（﹣1，0），B（1，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+n（k≠0），
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∴D（0，1），
同理可得直线CD的解析式为：y＝﹣x+1，
如图2，过P作PN∥y轴，交CD于N，

∴N（m，﹣m+1），
∴PN＝﹣m2+m+﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+，
∴S＝，
＝，
＝﹣m2+2m+，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值；
（4）分两种情况：
①当Q在x轴的下方时，如图3，延长BA，CQ交于点F，过F作FG⊥y轴于G，

∵∠BCA+∠QCA＝∠α，且tanα＝2，
∴＝2，
∵BC＝AB＝2，
∴AF＝2，
∵∠FAG＝∠BAC＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG＝2，
∴F（﹣3，﹣2），
∵C（3，0），
同理得直线CF的解析式为：y＝x﹣1，
∵﹣x2+x+＝x﹣1，
3x2﹣4x﹣15＝0，
（x﹣3）（3x+5）＝0，
x1＝3，x2＝﹣，
∴Q的横坐标为﹣；
②当Q1在x轴的上方时，如图4，

∵∠QCA＝∠Q1CA，OD＝OH＝1，
由对称得：CQ1经过点D，
∴CQ1的解析式为：y＝﹣x+1，
∴﹣x2+x+＝﹣x+1，
解得：x1＝3，x2＝﹣，
∴Q1的横坐标为﹣，
综上，Q的横坐标为﹣或﹣．
26．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC．
（1）如图①，若AB＝BD，AB⊥BD，求证：CD＝AB；
（2）如图②，若AB＝AD，AB⊥AD，BC＝1，求CD的长；
（3）如图③，若AD＝BD，AD⊥BD，AB＝2，求CD的长．

【分析】（1）如图①中作DM⊥AC于M，DN⊥CB于N，连接AD，因为AD＝AB，欲证明CD＝AB，只要证明AD＝CD即可，可以通过证明四边形MCND是矩形，得DN＝CM＝BC＝AM，又DM⊥AC由此可以得到证明．
（2））如图②中作DM⊥CA于M，由△MAD≌△CBA得AM＝BC＝1，DM＝AC＝2BC＝2，在RT△CDM中利用勾股定理即可．
（3）如图③中作DN⊥AC于N，DM⊥CB于M，只要证明△ADN≌△BDM，四边形NCMD是正方形，求出正方形边长即可解决．
【解答】（1）证明：如图①中，作DM⊥AC于M，DN⊥CB于N，连接AD．
∵∠ABD＝90°，∠ACB＝∠DNC＝90°，
∴∠ABC+∠DBN＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠DBN，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND，
∴BC＝DN，
∵∠DMC＝∠MCN＝∠DNC＝90°，
∴四边形MCND是矩形，
∴MC＝DN＝BC，
∵AC＝2BC，
∴AM＝CM＝BC，∵DM⊥AC，
∴DA＝DC，
∵∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴AD＝AB，
∴CD＝AB．
（2）如图②中，作DM⊥CA于M，
∵∠DAB＝∠DMA＝∠ACB＝90°，
∴∠MAD+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠MAD＝∠ABC，
在△MAD和△CBA中，
，
∴△MAD≌△CBA，
∴AM＝BC＝1，DM＝AC＝2BC＝2，
在RT△CMD中，∵CM＝AC+AM＝3，MD＝1，
∴CD＝＝＝．
（3）如图③中，作DN⊥AC于N，DM⊥CB于M．
在RT△ABC中，∵AC＝2BC，AB＝2，设BC＝a，则AC＝2a，
∴a2+4a2＝20
∵a＞0，
∴a＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∵∠NCM＝∠DNC＝∠DMC＝90°，
∴四边形NCMD是矩形，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠ADN＝∠BDM，
在△ADN和△BDM中，
，
∴△ADN≌△BDM，
∴DM＝DN，
∴四边形NCMD是正方形，
∴CN＝CM＝DM＝DN，设CN＝CM＝DM＝DN＝x，
∴AC﹣AN＝BC+BM，
∴4﹣x＝2+x，
∴x＝1，
∴CM＝DM＝3，
在RT△CDM中，CD＝＝＝3．