2021年重庆市合川区中考数学押题试卷(二)解析版
展开2021年重庆市合川区中考数学押题试卷(二)
一.选择题(满分48分,每小题4分)
1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.
2.下列图形中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是( )
A.a•a2=a2 B.a2+a4=a8 C.(ab)3=ab3 D.a3÷a=a2
4.下列四个命题:①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形;④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.PA,PB分别切⊙O于A,B两点,点C为⊙O上不同于AB的任意一点,已知∠P=40°,则∠ACB的度数是( )
A.70° B.110° C.70°或110° D.不确定
6.估算•+2在哪两个整数之间( )
A.4和5 B.5和6 C.6和7 D.7和8
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△DAF的面积之比为( )
A.9:16 B.3:4 C.9:4 D.3:2
8.《九章算术》记载了这样一道题:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,问绳长井深各几何?”题意是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺:如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺?假设井深为x尺,则符合题意的方程应为( )
A. B.3x+4=4x+1
C. D.3(x+4)=4(x+1)
9.下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的.摆图案(1)需8根牙签,摆图案(2)需15根牙签…按此规律.摆图案(n)需要牙签的根数是( )
A.7n+8 B.7n+4 C.7n+1 D.7n﹣1
10.数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式中正确的个数是( )
①a+b>0;②ab<0;③|a|+b<0;④a﹣b>0;⑤|a|=﹣a.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.若整数a使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程﹣=﹣3有正整数解,则满足条件的a的值之积为( )
A.28 B.﹣4 C.4 D.﹣2
12.如图(1),△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AD为BC边上的中线,沿中线AD 把△ABC折叠,如图(2),则下列判断正确的是( )
A.S△BDG>S△ACG B.S△BDG=S△ACG
C.S△BDG<S△ACG D.无法确定
二.填空题(满分24分,每小题4分)
13.我国最大的领海是南海,总面积有3500000km2,用科学记数法可表示为 km2.
14.规定⊗是一种新运算规则:a⊗b=a2﹣b2,例如:2⊗3=22﹣32=4﹣9=﹣5,则5⊗[1⊗(﹣2)]= .
15.从﹣1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),则点M在直线l:y=﹣x上的概率为 .
16.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,AD=2AB,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是 .
17.甲、乙二人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差s(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙先到达科技馆;②乙的速度是甲速度的2.5倍;③b=480;④a=24.其中正确的是 (填序号).
18.某地突发地震期间,为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民,需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个,若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这30名灾民,则不同的搭建方案有 种.
三.解答题(共78分)
19.计算:
(1)(a+b)(a﹣b)+a(3b﹣a);
(2)(1﹣x+).
20.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC.
(1)利用尺规作等腰△DBC,使点D,A在直线BC的同侧,且DB=BC,∠DBC=∠ACB.(保留作图痕迹,不写画法)
(2)设(1)中所作的△DBC的边DC交AB于E点,求证:AE=BE.
21.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况,从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查.调查结果分为四类:A类﹣﹣非常了解;B类﹣﹣比较了解;C﹣﹣般了解;D类﹣﹣不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生.
(2)补全条形统计图.
(3)D类所对应扇形的圆心角的大小为 .
(4)已知D类中有2名女生,现从D类中随机抽取2名同学,试求恰好抽到一男一女的概率.
22.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
23.小帆根据学习函数的过程与方法,对函数y=x|ax+b|(a>0)的图象与性质进行探究.已知该函数图象经过点(2,1),且与x轴的一个交点为(4,0).
(1)求函数的解析式;
(2)在给定的平面直角坐标系中:
①补全该函数的图象;
②当2≤x≤4时,y随x的增大而 (在横线上填增大或减小);
③当x<4时,y=x|ax+b|的最大值是 ;
①直线y=k与函数y=x|ax+b|有两个交点,则k= .
24.任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成,交换这两个两位数得到一个新的四位数m,记f(n)=.如n=1234,则m=3412,f(1234)==﹣22.
(1)直接写出f(1111)= ,f(5025)= ,并求证:对任意一个四位数n,f(n)均为整数.
(2)若s=1200+10a+b,t=1000b+100a+14(1≤a≤5,1≤b≤5,a、b均为整数),当f(s)+f(t)是一个完全平方数时,求满足条件s的最大值.
25.如图1,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣1,0),C(3,0),点B为抛物线顶点,连接AB,BC,AB与y轴交于点D,连接CD.
(1)①求这条抛物线的函数表达式;
②直接写出顶点B的坐标 ;
(2)直接写出△ABC的形状为 ;
(3)点P为抛物线上第一象限内的一个动点,设△PDC的面积为S,点P的横坐标为m,当S有最大值时,求m的值;
(4)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使∠BCA+∠QCA=∠α,当tanα=2时,请直接写出点Q的横坐标;若不存在,说明理由.
26.已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC.
(1)如图①,若AB=BD,AB⊥BD,求证:CD=AB;
(2)如图②,若AB=AD,AB⊥AD,BC=1,求CD的长;
(3)如图③,若AD=BD,AD⊥BD,AB=2,求CD的长.
2021年重庆市合川区中考数学押题试卷(二)
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.在﹣1,0,2,四个数中,最大的数是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.
【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得
﹣1<0<<2,
∴在:﹣1,0,2,四个数中,最大的数是2.
故选:C.
2.下列图形中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
B、是轴对称图形,故本选项符合题意;
C、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
D、不是轴对称图形,故本选项不合题意;
故选:B.
3.下列计算正确的是( )
A.a•a2=a2 B.a2+a4=a8 C.(ab)3=ab3 D.a3÷a=a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则,合并同类项的法则,积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可.
【解答】解:a•a2=a3,故选项A不合题意;
a2与a4不是同类项,所以不能合并,故选项B不合题意;
(ab)3=a3b3,故选项C不合题意;
a3÷a=a2,正确,故选项D符合题意.
故选:D.
4.下列四个命题:①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形;④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断;
【解答】解:①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形,故正确;
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形,故错误;
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形,故正确;
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形,故错误,
故选:B.
5.PA,PB分别切⊙O于A,B两点,点C为⊙O上不同于AB的任意一点,已知∠P=40°,则∠ACB的度数是( )
A.70° B.110° C.70°或110° D.不确定
【分析】连接OA、OB,可求得∠AOB,再分点C在 上和上,可求得答案.
【解答】解:如图,连接OA、OB,
∵PA,PB分别切⊙O于A,B两点,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°,
当点C1在上时,则∠AC1B=∠AOB=70°,
当点C2在上时,则∠AC2B+∠AC1B=180°,
∴∠AC2B=110°,
故选:C.
6.估算•+2在哪两个整数之间( )
A.4和5 B.5和6 C.6和7 D.7和8
【分析】先根据二次根式的乘法法则化简,再估算的范围即可.
【解答】解:•+2=,
∵,
∴,
∴,
即•+2在6和7两个整数之间.
故选:C.
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△DAF的面积之比为( )
A.9:16 B.3:4 C.9:4 D.3:2
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD,AB∥CD,则DE:AB=3:4,再证明△DEF∽△BAF,利用相似比得到=,然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比.
【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵DE:EC=3:1,
∴DE:AB=DE:DC=3:4,
∵DE∥AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴==,
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比=EF:AF=3:4.
故选:B.
8.《九章算术》记载了这样一道题:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,问绳长井深各几何?”题意是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺:如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺?假设井深为x尺,则符合题意的方程应为( )
A. B.3x+4=4x+1
C. D.3(x+4)=4(x+1)
【分析】设井深为x尺,根据绳子的长度固定不变,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解答】解:设井深为x尺,
依题意,得:3(x+4)=4(x+1).
故选:D.
9.下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的.摆图案(1)需8根牙签,摆图案(2)需15根牙签…按此规律.摆图案(n)需要牙签的根数是( )
A.7n+8 B.7n+4 C.7n+1 D.7n﹣1
【分析】根据图案①、②、③中牙签的数量可知,第1个图形中牙签有8根,每多一个多边形就多7根牙签,由此可知第n个图案需牙签8+7(n﹣1)=7n+1根.
【解答】解:∵图案①需牙签:8根;
图案②需牙签:8+7=15根;
图案③需牙签:8+7+7=22根;
…
∴图案n需牙签:8+7(n﹣1)=7n+1根,
故选:C.
10.数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式中正确的个数是( )
①a+b>0;②ab<0;③|a|+b<0;④a﹣b>0;⑤|a|=﹣a.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.原点左边的数为负数,原点右边的数为正数.从图中可以看出a<0<b,|b|>|a|,再根据有理数的运算法则判断即可.
【解答】解:根据数轴上a,b两点的位置可知,b<0<a,|b|>|a|,
①根据有理数的加法法则,可知a+b>0;故正确;
②ab<0;故正确;
③|a|+b>0,故错误;
④a﹣b<0,故错误;
⑤|a|=﹣a,故正确.
故选:C.
11.若整数a使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程﹣=﹣3有正整数解,则满足条件的a的值之积为( )
A.28 B.﹣4 C.4 D.﹣2
【分析】表示出不等式组的解集,由不等式组无解确定出a的范围,分式方程去分母转化为整式方程,表示出分式方程的解,由分式方程有正整数解确定出a的值,即可求出所求.
【解答】解:不等式组整理得:,
由不等式组无解,得到3a﹣2≤a+2,
解得:a≤2,
分式方程去分母得:ax+5=﹣3x+15,即(a+3)x=10,
由分式方程有正整数解,得到x=,即a+3=1,2,5,10,
解得:a=﹣2,﹣1,2,7,
∵x≠5,即≠5
∴a≠﹣1
综上,满足条件a的为﹣2,2,之积为,﹣4,
故选:B.
12.如图(1),△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AD为BC边上的中线,沿中线AD 把△ABC折叠,如图(2),则下列判断正确的是( )
A.S△BDG>S△ACG B.S△BDG=S△ACG
C.S△BDG<S△ACG D.无法确定
【分析】根据等底同高的两三角形面积相等可知:S△ADB=△ADC,然后依据等式的性质即可得出△AGC和△BGD的面积相等.
【解答】解:∵AD是△ABC一边BC上的中线,
∴BD=DC.
∴S△ADB=S△ADC.
∴S△ADB﹣S△ADG=S△ADC﹣S△ADG.
∴S△AGC=S△BGD.
故选:B.
二.填空题(共6小题)
13.我国最大的领海是南海,总面积有3500000km2,用科学记数法可表示为 3.5×106 km2.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将3500000用科学记数法表示为:3.5×106.
故答案为:3.5×106.
14.规定⊗是一种新运算规则:a⊗b=a2﹣b2,例如:2⊗3=22﹣32=4﹣9=﹣5,则5⊗[1⊗(﹣2)]= 16 .
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.
【解答】解:根据题中的新定义得:原式=5⊗(1﹣4)=5⊗(﹣3)=25﹣9=16.
故答案为:16.
15.从﹣1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),则点M在直线l:y=﹣x上的概率为 .
【分析】根据题意画出树状图得出所有点M的坐标,得出符合条件M的坐标,然后根据概率公式即可得出答案.
【解答】解:根据题意画图如下:
得到点M的坐标分别是(﹣1,1)(﹣1,2)(1,﹣1)(1,2)(2,﹣1)(2,1),
共有6个等可能的结果,点M在直线l:y=﹣x上的结果有2个,
∴点M在直线l:y=﹣x上的概率为=,
故答案为:.
16.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,AD=2AB,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是 ﹣ .
【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE,BE的长以及∠EBF的度数,进而利用图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF,求出答案.
【解答】解:∵矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE=45°,
∴AB=AE=1,BE=,
∵点E是AD的中点,
∴AE=ED=1,
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
=1×2﹣×1×1﹣=﹣.
故答案为:﹣.
17.甲、乙二人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差s(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙先到达科技馆;②乙的速度是甲速度的2.5倍;③b=480;④a=24.其中正确的是 ①②③ (填序号).
【分析】根据甲步行720米,需要9分钟,进而得出甲的运动速度,利用图形得出乙的运动时间以及运动距离,进而分别判断得出答案.
【解答】解:由图象得出甲步行720米,需要9分钟,
所以甲的运动速度为:720÷9=80(m/分),
当第15分钟时,乙运动15﹣9=6(分钟),
运动距离为:15×80=1200(m),
∴乙的运动速度为:1200÷6=200(m/分),
∴200÷80=2.5,(故②正确);
当第19分钟以后两人之间距离越来越近,说明乙已经到达终点,则乙先到达青少年宫,(故①正确);
此时乙运动19﹣9=10(分钟),
运动总距离为:10×200=2000(m),
∴甲运动时间为:2000÷80=25(分钟),
故a的值为25,(故④错误);
∵甲19分钟运动距离为:19×80=1520(m),
∴b=2000﹣1520=480,(故③正确).
故正确的有:①②③.
故答案为:①②③.
18.某地突发地震期间,为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民,需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个,若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这30名灾民,则不同的搭建方案有 3 种.
【分析】可设6人的帐篷有x顶,4人的帐篷有y顶.根据两种帐篷容纳的总人数为30人,可列出关于x、y的二元一次方程,根据x、y均为非负整数,求出x、y的取值.根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案.
【解答】解:设6人的帐篷有x顶,4人的帐篷有y顶,
依题意,有:6x+4y=30,整理得y=7.5﹣1.5x,
因为x、y均为非负整数,所以7.5﹣1.5x≥0,
解得:0≤x≤5,
从0到5的奇数共有3个,
所以x的取值共有3种可能.
故答案为:3.
三.解答题(共8小题)
19.计算:
(1)(a+b)(a﹣b)+a(3b﹣a);
(2)(1﹣x+).
【分析】(1)先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式,再合并同类项即可得;
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
【解答】解:(1)原式=a2﹣b2+3ab﹣a2
=3ab﹣b2.
(2)原式=(+)÷
=•
=﹣x(x﹣1)
=﹣x2+x.
20.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC.
(1)利用尺规作等腰△DBC,使点D,A在直线BC的同侧,且DB=BC,∠DBC=∠ACB.(保留作图痕迹,不写画法)
(2)设(1)中所作的△DBC的边DC交AB于E点,求证:AE=BE.
【分析】(1)先作∠CBD=∠ACB,然后截取BD=BC;
(2)作BF∥AC交CD于F,如图,根据平行线的性质得到∠CBF=60°,利用等腰三角形的性质计算出∠DBF=60°,∠BCD=∠BDC=30°,则∠BFC=90°,从而得到BF=BC=AC,然后证明△BEF≌△ACE,从而得到结论.
【解答】(1)解:如图,点D为所作;
(2)证明:作BF∥AC交CD于F,如图,
∵∠ACB=120°,
∴∠CBF=180°﹣∠ACB=60°,
∵∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,
∴∠DBF=60°,∠BCD=∠BDC=30°,
∴∠BFC=90°,
在Rt△BCF中,BF=BC,
∵BC=2AC,
∴BF=AC,
∵BF∥AC,
∴∠FBE=∠A,
在△BEF和△ACE中,
,
∴△BEF≌△ACE(AAS),
∴AE=BE.
21.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况,从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查.调查结果分为四类:A类﹣﹣非常了解;B类﹣﹣比较了解;C﹣﹣般了解;D类﹣﹣不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次共调查了 50 名学生.
(2)补全条形统计图.
(3)D类所对应扇形的圆心角的大小为 36° .
(4)已知D类中有2名女生,现从D类中随机抽取2名同学,试求恰好抽到一男一女的概率.
【分析】(1)根据条形图和扇形图得出B类人数为20名,占40%,即可得出总数;
(2)根据总人数减去A,B,D的人数得出C的人数,即可补全条形统计图;
(3)用360°乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数;
(4)画出树状图,共有20个等可能的结果,恰好抽到一男一女的结果有12个,再由概率公式求解即可.
【解答】解:(1)本次共调查的学生数为:20÷40%=50(名),
故答案为:50;
(2)C类学生人数为:50﹣15﹣20﹣5=10(名),
补全条形统计图如下:
(3)D类所对应扇形的圆心角为:360°×=36°,
故答案为:36°;
(4)画树状图如图:
共有20个等可能的结果,恰好抽到一男一女的结果有12个,
∴恰好抽到一男一女的概率为=.
22.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到76%,求m的值.
【分析】(1)设A社区居民人口有x万人,根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;
(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×76%,据此列出关于m的方程并解答.
【解答】解:(1)设A社区居民人口有x万人,则B社区有(7.5﹣x)万人,
依题意得:7.5﹣x≤2x,
解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5万人;
(2)依题意得:1.2(1+m%)2+1×(1+m%)×(1+2m%)=7.5×76%
设m%=a,方程可化为:
1.2(1+a)2+(1+a)(1+2a)=5.7
化简得:32a2+54a﹣35=0
解得a=0.5或a=﹣(舍)
∴m=50
答:m的值为50.
23.小帆根据学习函数的过程与方法,对函数y=x|ax+b|(a>0)的图象与性质进行探究.已知该函数图象经过点(2,1),且与x轴的一个交点为(4,0).
(1)求函数的解析式;
(2)在给定的平面直角坐标系中:
①补全该函数的图象;
②当2≤x≤4时,y随x的增大而 减小 (在横线上填增大或减小);
③当x<4时,y=x|ax+b|的最大值是 1 ;
①直线y=k与函数y=x|ax+b|有两个交点,则k= 0或1 .
【分析】(1)将点(2,1),(4,0)代入y=x|ax+b|即可;
(2)画出函数图象即可求解.
【解答】解:(1)将点(2,1),(4,0)代入y=x|ax+b|,
得到a=﹣1,b=4或a=1,b=﹣4,
∵a>0,
∴a=1,b=﹣4,
∴y=x|x﹣4|;
(2)①如图所示:
②由图可知,当2≤x≤4时,y随x的增大而减小;
故答案为减小;
③当x<4时,由图象可知,当x=2时,y=x|x﹣4|有最大值,
此时y=1,
故答案为1;
④直线y=k与函数y=x|x﹣4|有两个交点,由图象可知,
k=0或k=1;
故答案0或1.
24.任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成,交换这两个两位数得到一个新的四位数m,记f(n)=.如n=1234,则m=3412,f(1234)==﹣22.
(1)直接写出f(1111)= 0 ,f(5025)= 25 ,并求证:对任意一个四位数n,f(n)均为整数.
(2)若s=1200+10a+b,t=1000b+100a+14(1≤a≤5,1≤b≤5,a、b均为整数),当f(s)+f(t)是一个完全平方数时,求满足条件s的最大值.
【分析】(1)利用新定义直接计算即可得出结论;
(2)先求出f(s)和f(t),进而求出f(s)+f(t)=9(b﹣a)﹣2,由题意判断出b﹣a=1或2或3或4,最后计算判断即可得出结论.
【解答】解:(1)∵n=1111,
∴m=1111,
∴f(1111)==0,
∵n=5025,
∴m=2550,
∴f(5025)==25,
设任意一个四位数n=,(a,b,c,d为正整数,且a≠0,c≠0),
∴m=,
∴n﹣m=﹣=1000a+100b+10c+d﹣(1000c+100d+10a+b)=990a+99b﹣990c﹣99d=99(10a+b﹣10c﹣d),
∴f(n)===10a+b﹣10c﹣d,
∵a,b,c,d为正整数,且a≠0,c≠0,
∴f(n)均为整数,对任意一个四位数n,f(n)均为整数.
故答案为:0,25;
(2)∵s=1200+10a+b且1≤a≤5,∴m=1000a+100b+12,
∴s﹣m=1200+10a+b﹣(1000a+100b+12)=﹣990a﹣99b+1188=99(﹣10a﹣b+12),
∴f(s)==12﹣10a﹣b
∵t=1000b+100a+14且1≤b≤5,
∴m'=1400+10b+a,
∴t﹣m'=1000b+100a+14﹣(1400+10b+a)=990b+99a﹣1386=99(10b+a﹣14)
∴f(t)==10b+a﹣14,
∴f(s)+f(t)=12﹣10a﹣b+10b+a﹣14=9(b﹣a)﹣2,
∵f(s)+f(t)是一个完全平方数,
∴9(b﹣a)﹣2是一个完全平方数,
∵1≤a≤5,1≤b≤5,
∴b﹣a=1或2或3或4,
当b﹣a=1时,f(s)+f(t)=7,不是完全平方数,
当b﹣a=2时,f(s)+f(t)=16,是完全平方数,
∵s=1200+10a+b,且s要越大,
∴a越大,
∴a=3,b=5,此时,s=1200+30+5=1235,
当b﹣a=3时,f(s)+f(t)=25,是完全平方数,
∵s=1200+10a+b,且s要越大,
∴a越大,
∴a=2,b=5,此时,s=1200+20+5=1225,
当b﹣a=4时,f(s)+f(t)=34,不是完全平方数,
即:当f(s)+f(t)是一个完全平方数时,满足条件s的最大值1235.
25.如图1,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣1,0),C(3,0),点B为抛物线顶点,连接AB,BC,AB与y轴交于点D,连接CD.
(1)①求这条抛物线的函数表达式;
②直接写出顶点B的坐标 (1,2) ;
(2)直接写出△ABC的形状为 等腰直角三角形 ;
(3)点P为抛物线上第一象限内的一个动点,设△PDC的面积为S,点P的横坐标为m,当S有最大值时,求m的值;
(4)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使∠BCA+∠QCA=∠α,当tanα=2时,请直接写出点Q的横坐标;若不存在,说明理由.
【分析】(1)①把点A(﹣1,0),C(3,0)代入抛物线y=ax2+bx+中,列方程组,解出即可求得结论;
②配方后可得顶点B的坐标;
(2)利用两点的距离分别计算AB2,AC2,BC2的值,根据勾股定理的逆定理可得:△ABC是等腰直角三角形;
(3)如图2,作辅助线,求出直线CD的解析式,用含m的代数式表示出点P和点N的坐标,计算PN的长,根据三角形面积公式可得:S关于m的函数关系式,并根据二次函数的性质写出S的最大值时m的值;
(4)分两种情况讨论:①当点Q在x轴下方时,如图3,先确定CF的解析式,利用抛物线与直线CF的解析式列方程,解出可得Q的横坐标;②当Q1在x轴下方时,如图4,同理可得结论.
【解答】解:(1)①把点A(﹣1,0),C(3,0)代入抛物线y=ax2+bx+中得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+;
②y=﹣x2+x+=﹣(x﹣1)2+2,
∴顶点B的坐标为(1,2);
故答案为:(1,2)
(2)△ABC的形状是等腰直角三角形,理由是:
如图1,
∵A(﹣1,0),C(3,0),B(1,2),
∴AC2=(3+1)2=16,
AB2=(1+1)2+22=4+4=8,
BC2=(3﹣1)2+(2﹣0)2=4+4=8,
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∴△ABC的形状是等腰直角三角形;
(3)由题意得:P(m,﹣m2+m+),
∵A(﹣1,0),B(1,2),
设直线AB的解析式为:y=kx+n(k≠0),
则,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=x+1,
∴D(0,1),
同理可得直线CD的解析式为:y=﹣x+1,
如图2,过P作PN∥y轴,交CD于N,
∴N(m,﹣m+1),
∴PN=﹣m2+m+﹣(﹣m+1)=﹣m2+m+,
∴S=,
=,
=﹣m2+2m+,
=﹣(m﹣)2+,
∵﹣<0,
∴当m=时,S有最大值;
(4)分两种情况:
①当Q在x轴的下方时,如图3,延长BA,CQ交于点F,过F作FG⊥y轴于G,
∵∠BCA+∠QCA=∠α,且tanα=2,
∴=2,
∵BC=AB=2,
∴AF=2,
∵∠FAG=∠BAC=45°,
∴△AGF是等腰直角三角形,
∴AG=FG=2,
∴F(﹣3,﹣2),
∵C(3,0),
同理得直线CF的解析式为:y=x﹣1,
∵﹣x2+x+=x﹣1,
3x2﹣4x﹣15=0,
(x﹣3)(3x+5)=0,
x1=3,x2=﹣,
∴Q的横坐标为﹣;
②当Q1在x轴的上方时,如图4,
∵∠QCA=∠Q1CA,OD=OH=1,
由对称得:CQ1经过点D,
∴CQ1的解析式为:y=﹣x+1,
∴﹣x2+x+=﹣x+1,
解得:x1=3,x2=﹣,
∴Q1的横坐标为﹣,
综上,Q的横坐标为﹣或﹣.
26.已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC.
(1)如图①,若AB=BD,AB⊥BD,求证:CD=AB;
(2)如图②,若AB=AD,AB⊥AD,BC=1,求CD的长;
(3)如图③,若AD=BD,AD⊥BD,AB=2,求CD的长.
【分析】(1)如图①中作DM⊥AC于M,DN⊥CB于N,连接AD,因为AD=AB,欲证明CD=AB,只要证明AD=CD即可,可以通过证明四边形MCND是矩形,得DN=CM=BC=AM,又DM⊥AC由此可以得到证明.
(2))如图②中作DM⊥CA于M,由△MAD≌△CBA得AM=BC=1,DM=AC=2BC=2,在RT△CDM中利用勾股定理即可.
(3)如图③中作DN⊥AC于N,DM⊥CB于M,只要证明△ADN≌△BDM,四边形NCMD是正方形,求出正方形边长即可解决.
【解答】(1)证明:如图①中,作DM⊥AC于M,DN⊥CB于N,连接AD.
∵∠ABD=90°,∠ACB=∠DNC=90°,
∴∠ABC+∠DBN=90°,∠CAB+∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠DBN,
在△ACB和△BND中,
,
∴△ACB≌△BND,
∴BC=DN,
∵∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°,
∴四边形MCND是矩形,
∴MC=DN=BC,
∵AC=2BC,
∴AM=CM=BC,∵DM⊥AC,
∴DA=DC,
∵∠ABD=90°,AB=DB,
∴AD=AB,
∴CD=AB.
(2)如图②中,作DM⊥CA于M,
∵∠DAB=∠DMA=∠ACB=90°,
∴∠MAD+∠CAB=90°,∠CAB+∠ABC=90°,
∴∠MAD=∠ABC,
在△MAD和△CBA中,
,
∴△MAD≌△CBA,
∴AM=BC=1,DM=AC=2BC=2,
在RT△CMD中,∵CM=AC+AM=3,MD=1,
∴CD===.
(3)如图③中,作DN⊥AC于N,DM⊥CB于M.
在RT△ABC中,∵AC=2BC,AB=2,设BC=a,则AC=2a,
∴a2+4a2=20
∵a>0,
∴a=2,
∴BC=2,AC=4,
∵∠NCM=∠DNC=∠DMC=90°,
∴四边形NCMD是矩形,
∴∠MDN=∠ADB=90°,
∴∠ADN=∠BDM,
在△ADN和△BDM中,
,
∴△ADN≌△BDM,
∴DM=DN,
∴四边形NCMD是正方形,
∴CN=CM=DM=DN,设CN=CM=DM=DN=x,
∴AC﹣AN=BC+BM,
∴4﹣x=2+x,
∴x=1,
∴CM=DM=3,
在RT△CDM中,CD===3.
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