2021年重庆市合川区中考数学模拟试卷（二）

这是一份2021年重庆市合川区中考数学模拟试卷（二），共29页。

A．﹣3B．2C．0D．﹣4
2．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a6÷a2＝a3C．a2•a3＝a6D．（a2）3＝a6
4．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分
5．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．4B．2C．3D．2.5
6．（4分）估计+1的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
7．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2B．3：5C．9：4D．4：9
8．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．﹣2＝B．+2＝C．+2＝D．﹣2＝
9．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73B．81C．91D．109
10．（4分）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣7C．1或﹣7D．7或﹣1
11．（4分）若数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．14D．16
12．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 ．
14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣1）2＝ ．
15．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
17．（4分）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 米．
18．（4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
三．解答题（共8小题，第19-25题各10分，第26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
20．（10分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
21．（10分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
22．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
23．（10分）已知函数y＝a﹣b|x﹣1|（a、b为常数），当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝0；请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求函数的解析式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： ；
根据函数图象解决下列问题：
①若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝ ；
②若方程a﹣b|x﹣1|＝x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1•x2＞0，则k的取值范围是 ．
24．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（8分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
2021年重庆市合川区中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）在实数﹣3，2，0，﹣4中，最大的数是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．﹣4
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜0＜2，
∴四个实数中，最大的实数是2．
故选：B．
2．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a6÷a2＝a3C．a2•a3＝a6D．（a2）3＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，正确．
故选：D．
4．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线互相平分且相等
D．正方形的对角线互相垂直平分
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线平分且相等；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线互相垂直平分进行分析即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题；
B、矩形的对角线互相垂直平分，是假命题；
C、菱形的对角线互相平分且相等，是假命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
故选：D．
5．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．4B．2C．3D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴＝＝＝，
设PA＝x，则＝，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．
6．（4分）估计+1的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
故选：B．
7．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2B．3：5C．9：4D．4：9
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选：A．
8．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．﹣2＝B．+2＝C．+2＝D．﹣2＝
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x人，
依题意，得：+2＝．
故选：C．
9．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73B．81C．91D．109
【分析】根据题意得出得出第n个图形中菱形的个数为n2+n+1；由此代入求得第⑨个图形中菱形的个数．
【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，3＝12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7＝22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13＝32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1＝91．
故选：C．
10．（4分）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣7C．1或﹣7D．7或﹣1
【分析】先由已知条件得CO的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可．
【解答】解：∵B表示数2，
∴CO＝2BO＝4，
由题意得：|a+3|＝4，
∴a+3＝±4，
∴a＝1或﹣7，
∵点A、B在原点O的两侧，
∴a＝﹣7，
故选：B．
11．（4分）若数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：分式方程+＝4的解为x＝且x≠1，
∵关于x的分式方程+＝4的解为正数，
∴＞0且≠1，
∴a＜6且a≠2．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5＝10．
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出△BDG∽△ADC，求出DG＝，BG＝，进而求出S△BDE＝，AG＝，再判断出△AHG∽△ADC，求出AH＝7，HG＝，再判断出△BFH∽△ACD，求出BF＝，最后用三角形的面积的差，即可得出结论．
【解答】解：∵CD＝3BD，BC＝4，
∴BD＝1，CD＝3，
∴S△ACD＝AC•CD＝6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝＝5，
过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，
∴∠BGD＝90°＝∠C，
∵∠BDG＝∠ADC，
∴△BDG∽△ADC，
∴，
∴＝，
∴DG＝，BG＝，
∴S△BDG＝DG•BG＝，AG＝AD+DG＝，
延长GB交AC的延长线于H，
由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，
∵∠C＝∠AEH＝90°，
∴△AHG∽△ADC，
∴
∴，
∴AH＝7，HG＝，
∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HG﹣BG＝，S△AHG＝AG•HG＝，
过点B作BF⊥C'H于F，
∴∠BFH＝90°＝∠C，
∴∠H+∠FBH＝90°，
∵∠C'AD+∠H＝90°，
∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，
∴△BFH∽△ACD，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴S△BC'H＝C'H•BF＝，
∴S△BC'D＝S△AGH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝﹣﹣﹣6＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 1.1×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于11000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：11000＝1.1×104．
故答案为：1.1×104．
14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣1）2＝ 4 ．
【分析】利用有理数的乘方法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：|﹣3|+（﹣1）2＝4，
故答案为：4．
15．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为 ．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的情况，再利用概率公式求得答案．
【解答】解：列表得：
∵共有36种等可能的结果，点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的有：（0，﹣1），（0，0），（1，﹣1），（1，0），（2，0），
∴点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率是．
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 6﹣π （结果保留π）．
【分析】用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，
∴S阴影＝S矩形﹣S四分之一圆＝2×3﹣π×22＝6﹣π，
故答案为：6﹣π
17．（4分）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 180 米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度和各段用的时间，从而可以求得乙到达A地时，甲与A地相距的路程．
【解答】解：由题意可得，
甲的速度为：（2380﹣2080）÷5＝60米/分，
乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60＝70米/分，
则乙从B到A地用的时间为：2380÷70＝34分钟，
他们相遇的时间为：2080÷（60+70）＝16分钟，
∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2＝42分钟，
∴乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）＝60×3＝180米，
故答案为：180．
18．（4分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 ．（商品的利润率＝×100%）
【分析】先求出1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27元，得出乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72元．再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，列出方程45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），求出＝．
【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，第19-25题各10分，第26题8分，共78分）
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则，平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝a2+2ab﹣a2+b2＝2ab+b2；
（2）原式＝•＝．
20．（10分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
21．（10分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 126 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
【分析】（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可：
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．树状图即可得出答案．
【解答】解：（1）20÷20%＝100，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角＝360°×＝126°；
故答案为：126；
100﹣20﹣35＝45，
补全条形统计图如图所示：
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，
共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的可能性有6种，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）＝＝．
22．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．
【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200（1+2m%）×20（1﹣m%）＝100×30+200×20，
令m%＝y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）＝7000，
整理可得：8y2﹣y＝0，
解得：y1＝0，y2＝0.125
∴m1＝0（舍去），m2＝12.5，
∴m2＝12.5，
答：m的值为12.5．
23．（10分）已知函数y＝a﹣b|x﹣1|（a、b为常数），当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝0；请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求函数的解析式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大 ；
根据函数图象解决下列问题：
①若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝ 2 ；
②若方程a﹣b|x﹣1|＝x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1•x2＞0，则k的取值范围是 0＜k＜ ．
【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；
（2）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可，利用描点法画出图象即可；观察图象可得出函数的性质．
①根据表格中数据即可求得结论；
②根据题意且利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）把x＝1时，y＝1；x＝2时，y＝0代入y＝a﹣b|x﹣1|得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝1﹣|x﹣1|；
（2）如图：
描点连线：
观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；
①由表格中数据可知：若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上不同的两点，则m+n＝2；
故答案为2；
②把（1，1）代入y＝x+k得k＝；
根据题意结合函数y＝1﹣|x﹣1|的图象可知k的取值范围是k＜，
故答案为k＜．
24．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；
（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．
【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100﹣10y﹣x是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m＝99（100﹣10y﹣x），
∵m是四位数，
∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），
∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y＝（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y＝kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；
（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP＝x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积＝﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG＝FG、QG＝QF，FQ＝FQ三种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣x﹣，
∴y＝（x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x＝4时，y＝．
∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y＝kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，
解得：k＝，b＝．
∴直线AE的解析式为y＝x+．
（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣＝，解得：m＝．
∴直线CE的解析式为y＝x﹣．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），
则FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2+x．
∴△EPC的面积＝×（x2+x）×4＝﹣x2+x．
∴当x＝2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
∵K是CB的中点，
∴k（，﹣）．
∴tan∠KCP＝．
∵OD＝1，OC＝，
∴tan∠OCD＝．
∴∠OCD＝∠KCP＝30°．
∴∠KCD＝30°．
∵k是BC的中点，∠OCB＝60°，
∴OC＝CK．
∴点O与点K关于CD对称．
∴点G与点O重合．
∴点G（0，0）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（，﹣）．
∴KM+MN+NK＝MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH．
∴GH＝＝3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：
∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，）．
∴FG＝＝．
∴当FG＝FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF＝GQ时，点F与点Q″关于y＝对称，
∴点Q″（3，2）．
当QG＝QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+＝，解得：a＝﹣．
∴点Q1的坐标为（3，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
26．（8分）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
【分析】（1）先由AM＝BM＝ABcs45°＝3可得CM＝2，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠E．
【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝ABcs45°＝3×＝3，
则CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴AC＝＝＝；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，
因此BD＝CE，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG＝CE，∠G＝∠E，
所以BD＝CE＝BG，
因此∠BDG＝∠G＝∠E．
第一次
第二次
﹣5
﹣1
0
1
2
4
﹣5
（﹣5，﹣5）
（﹣1，﹣5）
（0，﹣5）
（1，﹣5）
（2，﹣5）
（4，﹣5）
﹣1
（﹣5，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
（4，﹣1）
0
（﹣5，0）
（﹣1，0）
（0，0）
（1，0）
（2，0）
（4，0）
1
（﹣5，1）
（﹣1，1）
（0，1）
（1，1）
（2，1）
（4，1）
2
（﹣5，2）
（﹣1，2）
（0，2）
（1，2）
（2，2）
（4，2）
4
（﹣5，4）
（﹣1，4）
（0，4）
（1，4）
（2，4）
（4，4）
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
7
……
y
…
﹣5
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﹣3
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﹣1
0
1
0
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……