专题1.2 辨析函数与方程的根的情况-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一、方法综述

确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．

(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

二、解题策略

类型一  求方程解的个数

例1．【2019安徽皖中名校联盟】已知函数，则方程=0实根的个数为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由可得：或，

【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数．学@科网

【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　　)

A．0                B．2                   C．4                     D．6

【答案】C

【解析】画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4．

热点题型二  已知方程的根求参数的值或取值范围

例2．【2019山东德州一模】若关于x的方程有三个不等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　

A．    B．e    C．    D．

【答案】A

【解析】由关于x的方程，令，则有

，令函数，，在递增，在递减，

其图象如下：

要使关于x的方程关于x的方程有3个不相等的实数解，，，且，

结合图象可得关于t的方程一定有两个实根，，，

且，，，

，可得，故选A．

【举一反三】【2019河北廊坊模拟】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】当时，，所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得，故选B．

三、强化训练

1．【2019辽宁9月联考】已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】因为方程有两个正根，所以，故选D．

2．【2019河北衡水中学一模】已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】画出函数的图象如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线 有两个不同交点，由图可知，所以，故选C．学科！网[来源:学科网ZXXK]

3．【2019湖北山东一联】已知函数，若 且满足，则 的取值范围是（   )

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由 ，得．因为，所以，得．

又．令，

．令 ．当时，在上递减，

，故选A．

4．【2019河北武邑中学三模】已知是定义在上的偶函数，对于，都有，当时，，若在[-1，5]上有五个根，则此五个根的和是（   ）

A．7    B．8    C．10    D．12

【答案】C

【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=﹣x2+1，

设﹣1≤x≤0时，则0≤﹣x≤1，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，

又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的函数，

∵f（x）是偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0，[来源:学,科,网]

以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，∴f（x）关于（1，0）对称，f（x）在[﹣1，5]上的图象如图：

5．【2019皖中名校联盟10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】不妨设，的图象如图所示，

[来源:Z。xx。k.Com][来源:学科网]

令，则，故或且，

所以（舎）或即且，

故，故选B．

6．【2019河北衡水中学二调】已知函数 ，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；

当时，，即，则．设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则，故选B．

7．【2019湖北宜昌元月调考】已知函数，若关于的方程有4个不相等的实根，则实数的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】关于的方程有4个不相等的实根等价于的图象与 的图象有4个不同的交点，作出于与 的图象，如图所示：

当经过A时，直线AB与的图象相切于A点，此时的图象与 的图象有3个不同的交点；学#科网

8．【2019甘肃静宁一中三模】已知定义在上的函数满足：，且，则方程在区间上的所有实根之和为(     )

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣3=，

又g（x）=，则g（x）=3，∴g（x﹣2）﹣3=，上述两个函数都是关于（﹣2，3）对称，

由图象可得：y=f（x）和y=g（x）的图象在区间[﹣5，1]上有4个交点，它们都关于点（﹣2，3）对称，故之和为﹣2×4=﹣8，但由于（﹣1，4）取不到，故之和为﹣8+1=﹣7，即方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为﹣7，故选A．

9．【2019河北衡水中学一模】对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知，则曲线的“优美点”个数为（   ）

A．1    B．2    C．4    D．6

【答案】B

【解析】曲线的“优美点”个数，就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，由可得，关于原点对称的函数，，联立和，解得或，则存在点和为“优美点”，曲线的“优美点”个数为2，故选B．学科@网

10．【2019黑龙江哈尔滨六中期末考】定义域为的函数，若关于的方程，恰有5个不同的实数解，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，结合图象性质，可知，即，故选C．[来源:学科网]

11．【2019四川攀枝花一模】在直角坐标系中，如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上，那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对)．函数的图象上关于原点成中心对称的点有（   ）

A．对    B．对    C．对    D．对

【答案】C

【解析】因为关于原点对称的函数解析式为，所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与为图象交点个数，同一坐标系内，画出与图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有5个，的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C．

12．【2019山东济南模拟】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】依题意，存在，使得，即 ；因而，即函数 与 的图象在 上有交点；如图所示，可知若函数 与的图象在上有交点，则当 时，满足，即 ；易知当 时，函数 与的图象在上恒有交点，故 的取值范围是，故选B．

13．【2019山东泰安期中考】已知是R上的偶函数且，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】作出函数的图象如下图所示．

14．【2019湖北山东一联】已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】令 则 ① 欲使原方程有四个不等根，

由图象知方程①两根为，或，（舍）或，（舍） 

令  则，．

15．【2018高考天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________．

【答案】

【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则，

当时，方程即，整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则，令，

其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围，结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是．

16．【2019云南曲靖一中模拟】已知定义在R上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______．

【答案】

【解析】∵，∴函数的周期为2，又，

∴函数图象的对称中心为．

在同一个坐标系中画出函数和的图象，如下图所示．