专题6.1 导数中的构造函数-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

【方法综述】

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数．

【解答策略】

类型一、利用进行抽象函数构造

1．利用与（）构造

    常用构造形式有，；这类形式是对，型函数导数计算的推广及应用，我们对，的导函数观察可得知，型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造．

例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为

A．0 B．1

C．2 D．0或2

【答案】A

【解析】

设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以

．由已知，时，，可得当时，，故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．

【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．

【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则　　

A． B．

C．当时，取得极大值 D．当时，

【答案】C

【解析】

设，则

则

又得

即，所以

即

，

由得，得，此时函数为增函数

由得，得，此时函数为减函数

则，即，则，故错误

，即，则，故错误

当时，取得极小值

即当，，即，即，故错误

当时，取得极小值

此时，则取得极大值

本题正确选项：

2．利用与构造

与构造，一方面是对，函数形式的考察，另外一方面是对的考察．所以对于类型，我们可以等同，的类型处理， “”法优先考虑构造， “”法优先考虑构造．

例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有 是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

令，则，

可设，

∵，∴．

∴，

∴．

可得：时，函数取得极大值，时，

函数取得极小值．

，，，．

∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．

故的取值范围是，故选C．

【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．

【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

令，则当时，，

又，所以为偶函数，

从而等价于，

因此选B.

3．利用与，构造

，因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．

，；

，；

，；

，．

例3、已知函数对于任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（   ）

A．                       B．

C．                        D．

【答案】B

【指点迷津】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．

类型二  构造具体函数关系式

这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．

1.直接法：直接根据题设条件构造函数

例4、，，且，则下列结论正确的是（   ）

A．               B．               C．               D．

【答案】B

【解析】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又为偶函数，根据单调性和图象可知选B．

【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．

【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

易知当≤0时，方程只有一个解，

所以>0．令，

，

令得，

为函数的极小值点，

又关于的方程=在区间内有两个实数解，

所以，解得，

故选A.

【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．

2. 参变分离，构造函数

例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】 设为函数的导函数，且满足 ，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得 ，即，设， ，易得函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A

【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.

【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵函数，有且只有一个零点，

∴方程，，有且只有一个实数根，

令g（x）=，

则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，

∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，

又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=

故选B.

【强化训练】

一、选择题

1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

令，，.

当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；

当时，因为在上单调递增，故存在，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，则，这与恒成立矛盾，

综上.故选D.

2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题意设，

则，

所以函数在上单调递增，

所以，即．

故选B．

3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由得，

设， 则，

由得得或，此时函数为增函数，

由得得，此时函数为减函数，

即当时， 取得极小值，

当时， 取得极大值，

当，且，函数图象如下图所示：

要使有三个零点，

则，

即实数a的取值范围是，故本题选D．

4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解：∵函数的定义域是

∴，

∵是函数的唯一一个极值点

∴是导函数的唯一根，

∴在无变号零点，

即在上无变号零点，令，

因为，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以的最小值为，

所以必须，

故选：A．

5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，

故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，

即对x∈（0，），a＞2恒成立．

令l（x）＝2，x∈（0，），

则l′（x），

再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），

则m′（x）0，

故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，

从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，

所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，

故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.

6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由恒成立得，恒成立，设，则

.设，则恒成立，

在上单调递减，

又，当时，，即；

当时，，即，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

故选:D

7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

设，

则，

∴，

化简可得.

设，

∴，

∴时，，因此为减函数，

∴时，，因此为增函数，

∴，

∴，

∴在上为增函数.

∵函数是偶函数，

∴函数，

∴函数关于对称，

又∵，

即，

又在上为增函数，

∴，

由函数关于对称可得，

，

故选A.

8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（   ）

A．-3 B．-4 C．-5 D．

【答案】B

【解析】

函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，其对称轴为，

当即时，在上恒成立等价于，

由线性规划知识可知，此时；

当即时，在上恒成立等价于，

，即；

当即时，在上恒成立等价于，

此时；

综上可知，，故选.

9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

构造函数

因为是奇函数，所以为偶函数

当时，恒成立，即，所以

在时为单调递减函数

在时为单调递增函数

根据偶函数的对称性可知

，

所以

所以选D

10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，

令，则，

又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，

所以是在上的单调递增函数，

又因为，可化为，

即，又因为是在上的单调递增函数，

所以恒成立，

令，则，

因为，所以在单调递减，在上单调递增，

所以，则，

所以.

所以正整数的最大值为2.

故选：B

11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为

A．0 B．1 C．2 D．0或2

【答案】A

【解析】

由题意，设，则 ．

由已知，

所以当时，，当时，，

又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以无解，即方程无解，

即方程无解，所以函数无零点．故选A．

二、填空题

12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

关于x的不等式对任意的实数

及任意的实数恒成立，

先看成b的一次函数 ，可得

即为，

可得恒成立，

设，，

，

可得时，，递增；

时，，递减，

又，，

可得在的最小值为，

可得．

即有a的范围是．

故答案为：．

13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

    的周期为

定义在上的奇函数   

①时，令，则

    ，即单调递减

又

不等式的解集为

②时，

时，不等式成立

综上所述：

本题正确结果：

14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．

【答案】

【解析】

设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数，所以为偶函数，作出简图如下：

结合简图，所以的解集是.

15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.

【答案】

【解析】

令g（x）＝exf（x）﹣ex，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex（f（x）+f′（x）﹣1），

∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，

∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数，

∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017

∴原不等式可化为g（x）＞g（0），

根据g（x）的单调性得x<0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,

故答案为．

16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．

【答案】1

【解析】

由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，

代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，

只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，

即证，变形为对任意的 恒成立，

令g（x），x∈，

则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，

故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，

∴对任意的恒成立，

故a=1满足题意.

故答案为1．