专题3.2 复杂数列的求和问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

      数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一  数列求和中的新定义问题

【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（  ）

A．2022    B．1011    C．2020    D．1010

【答案】B

【解析】

由，

得，　     ①

，　②

①-②得，即，，

所以.故选B.

【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

2.解决此类问题的一些技巧：

（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；

（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.

（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.

【举一反三】已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为(   )

A. 2017    B. 2018    C.     D.

【答案】A

故选A．

类型二  子数列中的求和问题

【例2】已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（     ）

A.     B.     C.     D. 与的大小关系不确定

【答案】A

【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. 学科*网

【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.

【举一反三】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

∴=S1+S2+S3+…+Sn=+则 的最小正整数为13

故选B.

类型三  奇偶性在数列求和中的应用

【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）.

【答案】

【解析】

当是奇数时，，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，，，所以，，，…，，…是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以，即 .

【指点迷津】数列求和中遇到，，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）

【举一反三】设数列的前项和为,已知,,则______

【答案】240

类型四  周期性在数列求和中的应用

【例4】数列满足，则数列的前100项和为__________．

【答案】5100

【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.

【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．

【答案】4018

【解析】

数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，

可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，

即有数列的最小正周期为6，

可得一个周期的和为0，

由，可得．

故答案为：4018．

类型五  数列求和的综合问题

【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足

，则（    ）

A．的最大值为50 B．的最小值为50

C．的最大值为51 D．的最小值为51

【答案】A

【解析】

时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.

要使得取最大值，则项数为偶数，

设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，

则，且，由可得，

所以

,

因为，所以，所以，而，

所以，故.

故选A

【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.

【举一反三】

1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.

【答案】

【解析】

，，可得，解得，

当时， ，

化为 ，由，可得，

即有，

，

即有 ，

对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.

故答案为：.

2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．

【答案】

【解析】

由题意可知：，，

，，

∴，解得，

∴

∴

∴①

②

①﹣②得，

所以，

整理得．

故答案为：

三．强化训练

1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为，，对任意R都有，则=

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

由，且，

得，

，

，

，故选B.

2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵

∴，

∴，

而

∴，

，

即，

当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；

当n=9时，左边=，右边=，显然适合，

故最小正整数的值9

故选：B

3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】 “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（   ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【解析】

由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，

，

两式相减得

，

则,

解得，

故选D.

4．己知数列满足，，，则数列的前2018项的和等于　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

由，即，当n为奇数时，可得，成等比，首项为1，公比为3．

当n为偶数时，可得，成等比，首项为3，公比为3．

那么：，

前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项.

故得．

故选：B．

5.已知等差数列{an}的首项为，公差为d，其前n项和为，若直线y＝ x＋m与圆(x－2)＋y＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，则数列的前10项和为（）

A．    B．    C．    D．2

【答案】B

【解析】

因为直线y＝x＋m与圆（x﹣2）2+y2＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，所以直线x＋y－d＝0经过圆心，则有2＋0－d＝0，d＝2，而直线y＝x＋m与直线x＋y－d＝0垂直，所以＝1，＝2，则Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．＝，所以数列的前10项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.

故选：B.

6．【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表，数列满足，. 若，则（    ）

A．7042    B．7058    C．7063    D．7262

【答案】C

【解析】

由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有an+1=f（an），

∴a2=f（a1）=f（2）=5，即a2=5，

a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，

a4=f（a3）=f（1）=3，即a4=3，

a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，

a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，

a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，

可知数列{an}：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．

且a1+a2+a3+…+a6=21．

故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．

故选C

7．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（    ）

A．1    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

∵数列{bn}为“凸数列”，

∴bn+1＝bn+bn+2，

∵b1＝1，b2＝﹣2，

∴﹣2＝1+b3，

解得b3＝﹣3，

同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，

∴bn+6＝bn．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，

∴数列{bn}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，

故选：C．

8．【河北省武邑中学2019届高三（上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为　　

A．20    B．21    C．26    D．27

【答案】B

【解析】

解：根据题意，

第一行，为4，其和为4，可以变形为；

第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为；

第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；

依此类推：第n行的和；

则前6行共个数，

前6项和为： ，

满足，

而第六行的第6个数为，

则，

故满足的最小正整数n的值21；

故选：B．

二、填空题

9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．

【答案】

【解析】

数列的前n项和为，满足，

当时，，解得，

所以当时，，

化简得，

所以当时，，

当时上式也成立，所以，

因为，，

所以，

若对于任意恒成立，则实数的最小值为.

10．在如图所示数表中，已知每行、每列中的数都构成等差数列，设表中第n行第n列的数为，则数列的前100项的和为______．

【答案】

【解析】

由题意可知，第一行的第n个数为；

第二行的第n个数为；

第三行的第n个数为；

第n行的第n个数为；

即，

，

前100项的和为，

，

故答案为：．

11．【湖南省株洲市2019届高三统一检测（一)】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）

【答案】3993

【解析】

第个1为数列第项，

当时；当时；

所以前2019项有45个1和个2，

因此

12．【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．

【答案】

【解析】

由题意知，则，，故，，故 ，.

故答案为

13．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.

【答案】

【解析】

解：由＝2n，

得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①

n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②

①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，

对n＝1时，a1＝2也成立，

所以 .

14．【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.

【答案】

【解析】

数列{an﹣n}的前2018项和为1，

即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，

可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，

由数列{bn}的前n项和为n2，可得bn＝2n﹣1，

，

a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，

a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，

…，

可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）

＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，

解得a1＝．

故答案为：．

15．【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

数列的首项，

则：常数

故数列是以为首项，3为公差的等差数列．

则：首项符合通项．

故：，

，

，

由于数列的前n项和恒成立，

故：，

则：t的最小值为，

故答案为：．

16．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．

【答案】

【解析】

∵，，

∴，

展开为，，

即0≤f（n）≤1，．

即，

∴，

化为＝．

∴数列{}是周期为2的数列．

∵数列{}的前15项和为，

∴＝7（）+．

又，

解得，．

∴＝，＝．

由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．

0，f（n+1），解得f（2k），

又，

令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；

则当n为偶数时，，取极限得；

若数列的前项和的极限存在，则，，

故答案为.