专题1.4 多元问题的最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一、方法综述

多元函数的最值问题就是在多个约束条件下，某一个问题的最大和最小值．在所列的式子之中，有多个未知数．求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法．解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等．

二、解题策略

类型一  导数法

例1．【2019福建三明上学期期末考】若不等式对任意恒成立，则实数的值为（   ）

A．1    B．2   C．3    D．4

【答案】C

在上单调递减，在上单调递增，∴，即对任意恒成立，同理可证：对任意恒成立，∴即，

∴，故选C．学#科网

【举一反三】【2019福建福州第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

类型二  消元法

例2．【2019四川攀枝花期末考】已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|，由此画出函数f（x）的图象，

由题意知，f（2）＝ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，

x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，，由，

可知，，得，

设t＝x1+x2，则，又在上单调递增，所以，∴，即，∴实数的最大值为，故选B．学科*网

【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为求一元函数的最值．[来源:学|科|网]

【举一反三】

1．【2019合肥一模】已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(      )．

A．    B．    C．    D．

【答案】A

2．【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（   ）

A．            B．         C．            D．

【答案】D

【解析】由题设有，令，则，所以，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，所以，注意到当时，，故选D．

类型三  基本不等式法

例3．【2019湖北1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解题秘籍】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想．

【举一反三】

【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以 ，故最大值为1

【解题秘籍】

在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等．

类型四  换元法

例4．【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，学科#网

即，由函数在R上单调递减，可得：，

变量分离可得：，令，则，又，

∴，∴，故选B．

【举一反三】【2018四川广元统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为（   ）

A．                  B．                C．                D．

【答案】C

∴当，即时，有最小值，且．

∴的最小值为．故选C．

三、强化训练

1．【2019江西宜丰中学月考二】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

2．【2019天津一中期中考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．   C．    D．

【答案】C

【解析】因为对任意，总存在，使得，所以，

因为当且仅当时取等号，所以，

因为，所以，选C．

3．【2019浙江台州统考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则的取值范围是（   ）[来源:Zxxk.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）min≥g（x）min．

f（x）==+，换元令t=∈[，1]，h（t）=t+t2知h（t）在（﹣，+∞）上单调递增，

所以f（x）min=h（）=；

g（x）=log2x+m，在x∈[1，4]上为单调增函数，故g（x）min=g（1）=m，所以m≤，故选C．

4．【2019广西百色摸底调研】若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（    ）

A．2    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，学&科网

又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，∴直线过圆心，∴a+2b=2，

∴=（）（a+2b）=（4++）≥（4+4）=4，当且仅当a=2b时等号成立，∴k=2，故选A．

5．【2019重庆西大附中月考】已知函数，，若成立，则的最小值是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

6．【2019湖北、山东一联】在中，角的对边分别为，若，则当取最小值时，=（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，由正弦定理及余弦定理得：，整理得：，又，当且仅当，即时取等号，故选B．

7．【2019新疆昌吉模拟】在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值为（  ）

A．6    B．7    C．8    D．9

【答案】D

【解析】由已知得，则，

所以当且仅当时取等号，此时，，可得．故选D．学科#网

8．【2019广东六校一联】抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

9．【2019浙江镇海中学上学期期中考】已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）[来源:学科网ZXXK]

A．    B．    C．    D．

【答案】B

10．【2019安徽皖中名校10月联考】在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（  ）

A．16    B．8    C．4    D．2

【答案】A

【解析】由题意可知：，其中B，P，D三点共线，

由三点共线的充分必要条件可得：，则：

，当且仅当时等号成立，[来源:学,科,网]

即的最小值为16，故选A．学科#网

11．【2019山东青岛零模】已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（   ）

A．4    B．2    C．    D．

【答案】D

【解析】由题得所以切线方程为即，故选D．

12．【2019上海交大附中10月月考】定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，．若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的的正实数称为该函数的线性近似阈值．下列定义在上函数中，线性近似阈值最小的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

13．【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．

【答案】4－2

【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故， ，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以．

14．【2019江苏盐城、南京一模】若正实数、、满足，，则的最大值为________．

【答案】

【解析】由，，解得，

，，，．

15．【2019陕西榆林一模】已知正数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】∵正数x，y满足x2+y2＝1，令z0，

可得z2＝22+24，当且仅当即x＝y时取等号，而由题意可得1＝x2+y2≥2xy可得2，当且仅当x＝y时取等号，∴z2≥4+4＝8，∴z≥2，当且仅当x＝y时取等号，∴的最小值为2，故答案为：．学*科网

16．【2019辽宁沈阳东北育才模拟】已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为______．

【答案】（﹣∞，]

17．【2019江苏清江中学二模】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________．

【答案】

【解析】由题得，

所以，所以

因为

所以

故答案为：．

18．【2019广东深圳宝安区零模】

定义在上的函数满足，且当 若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 ____________．

【答案】