专题7.3 临界知识问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

【方法综述】

对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.

另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.

【解题策略】

类型一  定义新知型临界问题

【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)

A． 1    B． 3    C． 5    D． 7

【答案】B

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

【举一反三】

1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于 ， ，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；　　；；．其中是“互垂点集”集合的为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设点是曲线上的两点，

对于集合，当时， ，不成立

所以集合不是“互垂点集”.

对于集合，，当时，，不成立

所以集合不是“互垂点集”.

对于集合，当时， ，不成立，

所以集合不是“互垂点集”.

排除A,B,C.

故选：D

2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①    ②

③    ④

其中是“垂直对点集”的序号是________.

【答案】①③

【解析】

对于①，，即，与的值域均为，故①正确；

对于②,若满足，则，在实数范围内无解，故②不正确；

对于③

，画出的图象，如图，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故 ③正确；

对于④，，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③.

类型二  高等数学背景型临界问题

【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

【答案】①②

【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不是亲密函数的个数为（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

易知幂函数定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四个选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持一致，因为显然在上递增，又，，递增，当，除（显然）外，其他函数的值都趋向于.故选B.

类型三  立体几何中的临界问题

立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.

【例3】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．

【答案】

【举一反三】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B．

【强化训练】

一、   选择题

1.已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若 且2，，，满足集合B的个数记为，则　　

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【解析】

由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，

故选：B．

2．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，又>0，∴，∴

∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；

当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．

∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．

故选D．

3．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】B

【解析】

解因为，所以的可能取值为-1,0,1

同理，的可能取值为

所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：

所以所有元素之和为0，故选B

4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】 定义：，如，则（  ）

A．0 B． C． D．1

【答案】C

【解析】

由题意得

．

故选C．

5．【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：当时，关于原点对称的函数为，

即，，

设，，

条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，

则，，

当时，函数取得最大值，

当时，，．

由得，此时为增函数，

由得，此时为减函数，

即当时，函数取得极小值同时也是最小值，

作出当时，与的图象如图：

要使两个图象恰好有两个不同的交点，

则，即，

即，

即，

故选：C．

6．【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，

∵＝2，绝对公和d＝3，

∴＝﹣1或＝1（舍），

∴＝﹣2或＝2（舍），

∴＝﹣1或＝1（舍），

…

∴满足条件的数列{}的通项公式，

∴所求值为+（+）+（+）+…+（+）

＝2+（﹣1﹣2）

＝﹣3025，

故选：C．

7．【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵

∴，

∴，

而

∴，

，

即，

当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；

当n=9时，左边=，右边=，显然适合，

故最小正整数的值9

故选：B

二、填空题

8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．

【答案】4

【解析】

设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．

由勾股定理得，即，得，其中，

所以，正四棱柱的体积为，其中，

构造函数，其中，则，令，得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．

因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．

9．【上海市交大附中2019届高三上9月开学】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．

①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；

③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.

【答案】①②④

【解析】

若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；

若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；

若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；

M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．

故答案为：①②④

10．【江西省红色七校2019届高三第二次联考】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

根据对称函数的概念可知，即 ，令，则，其对称轴为，开口向下.由于在上递减，在上递增，根据复合函数单调性可知.

11．【河南省郑州第一中学2019届高三第二次测评】已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，，，则，，），记，则__________．

【答案】

【解析】

由题意得共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1

而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1

设其中的数x，转换为二进制后有k个0（）

∴

在这个数中，转换为二进制后有k个0的数共有个

∴

由二项式定理，.

故答案为：.

12．【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】设整数，集合2，，，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对的个数为：______．

【答案】

【解析】

解：设中的最大数为，其中，整数，

则中必含元素，另元素可在中，

故的个数为：，

中必不含元素

另元素可在中，但不能都不在中，

故的个数为：，

从而集合对的个数为，

．

故答案为：．

13．【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.

【答案】

【解析】

易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.

当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，

所以.

当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，

；

当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，

所以；

当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，

所以.

由此类推：.

故 .

14．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.

【答案】4

【解析】

由题，

∵数列{an}是公比大于0的等比数列，且，

①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．

∴，

分别为：，，…，，1，q，…，q4．

∵

∴0++…+＝，

∴q4qq2．

∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．

②0＜q＜1时，1，∴，

分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵

∴log2q2．

∴2．

∴4，

∴a1＝4．

③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．

综上可得：＝4．

故答案为：4．

15．【北京延庆区2019届高三一模】已知集合 ，集合 满足① 每个集合都恰有7个元素 ; ② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.

【答案】132

【解析】

由题意得，集合中各包含7个元素，且互不相等，当取得最小值时，集合中的最小值分别为1,2,3，最大值分别为21,15,9，例如,,，此时最小，且为51.

当集合中最小值为1,7,13，最大值为19,20,21时，最大.例如，，，此时最大，且为81.故最大值与最小值之和为132.

16．【江西省南昌市2019届高三一模】定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．

【答案】

【解析】

设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故

故答案为

17．【陕西省2019届高三第二次检测】在实数集中定义一种运算“”，具有性质：

（1）对任意；（2）对任意；

（3）对任意 .

则函数的最小值为________．

【答案】

【解析】

因为在（3）中，对任意，

令，代入得

由（1）中可得

由（2）中，化简可得

所以因为

由基本不等式可得

所以最小值为3

18．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.

①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；

②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.

【答案】不是    是       

【解析】

①由知道是递增数列，故不存在满足定义的

又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义

②因为数列是“﹣摆动数列”，故时有

可求得：

又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立

则

所以，，…，

同理，，…，

所以，即，解得，即

同理，解得，即

综上，

本题正确结果：不是；是；