专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；学科#网

（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；

（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏）      左慢右快（极值点右偏）

左快右慢（极值点左偏）     左慢右快（极值点右偏）

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造一元差函数；

（3）确定函数的单调性；

（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网]

（2）构造；

     注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com]

（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.

（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；

接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.

（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.学科*网

【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com]

三、新题展示

【2019湖南郴州二中月考】已知函数，，．

(1)若，，求函数的单调区间；

(2)设．

(i)若函数有极值，求实数的取值范围；

(ii)若()，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

(2)(i) =，定义域为(0，+∞)，

，

①当时，，函数在(0，+∞)上为单调递增函数，

不存在极值．

②当时，令，得，，

所以，易证在上为增函数，

在上为减函数，所以当时，取得极大值．

所以若函数有极值，实数的取值范围是．

因为，，所以在上为减函数，

，

所以在上为增函数，所以，

即，故成立．

【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．

【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln 2

(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，

(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1

＝＋2x－4ln 2－1．

令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，

当且仅当x＝ln 2时，等号成立，学科&网

所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．

又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，

即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，

又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)，

由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，

因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，

所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．学科#网

四、对点详析，利器显锋芒

★已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若，且，证明：.

∵，∴，在上单调递增，∴，∴.

★函数与直线交于、两点.

证明：.

★已知函数，若，且，证明：.

【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。

所以，学科#网

而，

令，则

所以函数在为减函数，所以，

所以即，所以，所以.

★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.

五、招式演练

★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，证明：当，且时， .

【答案】(1) 当时， 无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析. 学科&网

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为，

当时， 在时成立

在上单调递增， 无极值.

当时， 解得学科&网

由 得；由 得[来源:学。科。网]

所以在上单调递减，在上单调递增，

故有极小值.

（Ⅱ）当时， 的定义域为， ，

由，解得.当变化时， ， 变化情况如下表：

∵，且，则（不妨设）[来源:学科网ZXXK]

★已知函数，其中

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；[来源:学科网ZXXK]

（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： .

【答案】（1）;（2）见解析. 学科&网

（1）当时， 函数在上单调递增，不可能有两个零点

（2）当时，

的极大值为，由得；

因为，

所以在必存在一个零点；

显然当时， ，

所以在上必存在一个零点；

[来源:Zxxk.

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学,科,网Z,X,X,K]