专题1.1 初识极值点偏移-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：学科*网

若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；

2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；

3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；

4. 若函数中存在且满足，令，求证：.

三、新题展示

【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).

(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；

(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值

∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，[来源:学_科_网]

∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，

当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意，

当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），

∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，学科.网

∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，

由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，

此时f′（﹣1）0，

∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，

易知当时，f(x).

∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，

∴a＞1满足题意，

设g（t）＝（2t﹣et）et+1，

∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，

由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，

∴g（t）单调递减，

∴g（t）＜g（0）＝0，

即f″（）＜0，

∴

∴lna．

四、问题初现，形神合聚[来源:学科网ZXXK]

★函数有两极值点，且.

证明：.

所以，

所以，

因为，，在上单调递减

所以，即.学科&网[来源:学*科*网]

★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.

五、招式演练[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

★过点作曲线的切线．

（1）求切线的方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．

因为，不妨设，．学科@网

设，则，

当时，，在单调递增，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

所以，所以当时，．

因为，所以，

从而，因为，在单调递减，所以，即．学科&网

极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！[来源:Z。xx。k.Com]