专题2.8 欲证不等恒成立，结论再造是利器-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

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【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．【典例指引】例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．（I）求直线的方程及m的值；（II）若，求函数的最大值．      （III）当时，求证： 例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．（Ⅰ）当时， 恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求证： (参考数据：)． 例3．设．（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．    【新题展示】1．【2019安徽安庆上学期期末】（1）已知函数，求函数在时的值域；（2）函数有两个不同的极值点，，①求实数的取值范围；②证明：.（本题中可以参与的不等式：，）[来源:Z*xx*k.Com]2．【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中，.（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值. 3．【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.（1）当时，比较与的大小；（2）若有两个极值点，求证：. 4．【2019广东韶关1月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）.（1）证明：①当时，；②当时，.（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 5．【2019天津部分区期末】已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数的取值范围．【同步训练】[来源:学*科*网]1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数， ……）．（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．[来源:学_科_网] 2．设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；（3）令，，证明：．  3．已知函数．（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立的的取值范围，并证明 ．[来源:学科网ZXXK]  4．已知函数与．（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；[来源:学科网ZXXK]（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：[来源:学*科*网Z*X*X*K] 5．已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明： ． 6．已知函数（是自然对数的底数），（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，  7．设函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当，且时证明不等式：  8．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：． 9．已知函数 ．（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）求证：． 10．已知函数 (其中，)．(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；(3)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有．[来源:Zxxk.Com] 11．已知函数(Ⅰ)若有唯一解，求实数的值；（Ⅱ）证明：当时，（附： ） 12． 已知函数．（Ⅰ）若函数有极值，求实数的取值范围； （Ⅱ）当有两个极值点（记为和）时，求证：． 13．已知（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数恒成立，求实数的取值范围；[来源:学&科&网][来源:Z。xx。k.Com]（3）证明：对一切，恒成立． 14．已知函数， ．（I）求的单调区间；（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．[来源:学科网ZXXK]