专题2.10 已知不等恒成立，讨论单调或最值-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：

①分离参数＋函数最值；

②直接化为最值＋分类讨论；

③缩小范围＋证明不等式；

④分离函数＋数形结合。

通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。

【典例指引】

例1．设是在点处的切线．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）令，求导证得；

（Ⅲ），① 当时，由（Ⅰ）得 ，可得，进而得在区间上单调递增， 恒成立，② 当时，可得在区间上单调递增，存在，使得， ，此时不会恒成立，进而得的取值范围．

当时， ，故单调递减；

当时， ，故单调递增．

所以， ）．学*科网

所以．

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；

（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） ．

例2．函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.

【思路引导】

（1）求出， 讨论两种情况分别令可得增区间， 可得得减区间；

（2）由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可得结果.

（Ⅱ）当时，由得.

由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于

即解得；学*科网

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，所以.

即，所以.学*科网[来源:学*科*网Z*X*X*K]

例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

 （Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间， 得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.[来源:学*科*网]

（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设

，

若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，学*科网

来【新题展示】

1．【2019江苏常州上学期期末】已知函数，函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)

【思路引导】

（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．

【解析】

（1）当时，，则，所以，

所以切线方程为.

（2），

①当时，恒成立，所以单调递增，

因为，所以有唯一零点，即符合题意；

②当时，令，解得，列表如下：

由表可知，.

（iii）当，即时，，

因为，

设，

则，

所以单调递增，即，所以，

又因为，所以，

故存在，使得，所以不符题意；

综上，的取值范围为.

2．【2019安徽江淮十校联考】已知函数为常数，，e为自然对数的底数，．

若函数恒成立，求实数a的取值范围；

若曲线在点处的切线方程为，且对任意都成立，求k的最大值，

【思路引导】

由题意转化为恒成立，设，求得导数和单调性，可得极值和最值，即可得到所求范围；

求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得，对任意都成立，可得对恒成立，设，，求得导数，设，，求得导数，由零点存在定理和单调性，可得的最小值，可得k的最大值．

【解析】

函数恒成立，即恒成立，可得恒成立，

设，，

当时，，递减；当时，，递增，

可得处取得最小值，且，所以；

的导数为，

曲线在点处的切线斜率为，

可得，即，

又由对任意都成立，可得对恒成立，

3．【2019辽宁葫芦岛调研】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.

【思路引导】

（1）将a代入，求出函数的导数，分别解f′（x）〈0和f′（x）〉0，求出函数的单调区间即可；

（2）由原不等式移项为右侧为0的形式，构造新的函数，通过求导对a讨论，研究其增减性及最值，逐步得解．

【解析】

(2)由f(x)≤x+1，得ax2+ax+1≤(x+1)ex

即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0

令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,则g′(x)=(x+2)ex-ax-a，

令F(x)=g′(x)=(x+2)ex-ax-a,则F′(x)=(x+3)ex-a，

令t(x)=F′(x)=(x+3)ex-a,则t′(x)=(x+4) ex，

当x≥0时，t′(x)>0恒成立，从而t(x)在[0,+)上单调递增,

此时t(0)=3-a,

F(0)=2-a,g(0)=0

当a≤2时，t(x)≥t(0)=3-a>0,即F′(x)>0所以F(x)在[0,+)上单调递增

所以F(x)≥F(0)=2-a≥0,即g′(x)≥0，从而g(x)在[0,+)上单调递增

所以g(x)≥g(0)=0

即(x+1)ex-ax2-ax-1≥0恒成立,

所以当a≤2时合题意；

②当2<a≤3时，t(x)在[0,+)上单调递增,且t(x)≥t(0)=3-a≥0即F′(x)≥0

∴F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递增,又F(0)=g′(0)=2-a<0，

∴必存在x1(0,+),使得x（0,x1)时，

g(x)在(0,x1)上单调递减，

∴g(x)<g(0)=0，

这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而当2<a≤3时不合题意；

③当a>3时，t(x)在[0,+)上单调递增且t(0)=3-a<0，

必存在x2(0,+),使得x(0,x2)时，t(x)<0，即F′(x)<0,从而F(x)=g′(x)在[0,+)上单调递减,

∴F(x)<F(0)=g′(0)=2-a<0，

从而g(x)在(0,x1)上单调递减 ，

g(x)<g(0)=0，这与g(x)≥0在x≥0时恒成立矛盾，从而a>3时不合题意；

综上：a的取值范围是(-,2]

【同步训练】

1．已知函数.

（1）当，求的图象在点处的切线方程；

（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导，再求导，当时，所以对和分类讨论。

单调递增，，当时， ，在单调递增， 恒成立；当时，存在当，使，则在单调递减，在单调递增，则当时， ，不合题意，综上，则实数的取值范围为.学&科网

点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：

（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。

2．已知函数， ，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．

（Ⅰ）求，的值．

（Ⅱ）若时，，求的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可。由题意得，即，又由，得，，分， ，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。

（iii）若， ，

则在上单调递增，

而，

从而当时， 不可能恒成立，

综上可得的取值范围是．学&科网

3．已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程．

（II）求证：当时，．

（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．

【思路引导】

（I），得，又，可得在处切线方程为．

（II）令，求导得出的增减性，然后由得证．

（III）由（II）可知，当时， 对恒成立． 时，令，求导，可得上单调递减，当时，F， 即当时， ，对不恒成立，可得k的最大值为2．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（II）证明：令，

，

∴，

∴，学&科网

即在时，．

（III）由（II）知，在时，对恒成立，

点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题．要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第二问的不等式，可以转化为，第三问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果．

4．已知函数（其中）在点处的切线斜率为1．

（1）用表示；

（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（2）的前提下，如果，证明： ．

【思路引导】

（1）由题意即得；

（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时， 即可；

（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增， 即可证得．

解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得[来源:学科网]

对恒成立，

令，则。

这里先证明，记，则，

易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。

因此， ，且时，

所以，实数的取值范围是。学&科网

（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，

5．已知函数（）．

（1）若在处取到极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时， ．

【思路引导】

（1）根据极值的概念得到，可得到参数值；（2）转化为函数最值问题，研究函数的单调性，分时， 时， ，三种情况讨论单调性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，当时， ，当时，，给x赋值：2，3，4，5等，最终证得结果。

试题解析：[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（1），

∵在处取到极值，

∴，即，∴，

经检验， 时， 在处取到极小值．

（3）证明：由（1）知令，当时， （当且仅当时取“”），

∴当时， ．即当2，3，4，…， ，有

． 

点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题。

6．已知函数， ，其中．

（1）若，求函数在上的值域；

（2）若， 恒成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）代入， ，从而求导，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）令，化简求导得到，再令并求导得，从而解得，使得，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得

，且，从而化简求出实数的取值范围．

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为．

7．已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论： 时， ， 时， ， 时，先负后正，最后根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由（2）得，即，整理化简得，解得的取值范围．

（Ⅱ）， ．

①当，即时， ，∴在上单调递减；[来源:学科网ZXXK]

②当时， ，∴在上单调递增；

③当时，由得，∴或（舍去）

∴在单调递增，在上单调递减；

综上，当， 在上单调递增；

当时， 在单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，

即原不等式等价于即整理得

∴，又∵，∴的取值范围为．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

8．已知．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；

（2）由题意可得存在x 0∈[0，+∞），使得，设，两次求导，判断单调性，对a讨论，分和时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．

所以

设， ，

令，

所以在上单调递增，

所以

所以在单调递增，∴，

所以，所以

所以，当时， 恒成立，不合题意

综上，实数的取值范围为．

9．已知函数（）．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

由导函数研究切线的斜率可得切线方程为[来源:学|科|网]

令，结合函数的性质分类讨论和两种情况可得实数的取值范围。

（ⅱ）当，即时， 在上，在上，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，由得， ，所以．

综上所述，的取值范围是．

点睛：本题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识，在处理任意性的时候要转化为最值问题，解决好最大值与最小值之间的关系，在解答过程中需要注意分类讨论

10．已知函数，直线的方程为．

（1）若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；

（2）若对任意恒成立，求实数是应满足的条件．

【思路引导】

（1）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立．
（2）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件．

（2）令

①当时， ，则在单调递增，

[来源:学科网ZXXK]