备战2022年高考数学压轴题专题2.8 函数图象高与低差值正负恒成立

2.8 函数图象高与低差值正负恒成立

【题型综述】

数形结合好方法：

对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.

【典例指引】

例1．设函数.

（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）求证： .

【思路引导】

（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当， 时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。

②当时，有，于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，所以，不合题意；

③当时，令，则当时， ，于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.

综上所求实数的取值范围是.

（2）对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立，

即恒成立，变形为恒成立，

在（1）③中，令， ，则得在上单调递减，

所以，即，

令，则得成立.

当时，可得.

即，所以成立。

点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学生的观察分析问题的能力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。

例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.

点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.

例3．已知函数，为其导函数.

(1) 设，求函数的单调区间；

(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.

【思路引导】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令

，根据函数单调性证明即可.

(2) 法一：

，故在定义域上单调递增.

只需证：，即证   (*)

注意到 不妨设.

令，

则 ，从而在上单减，故， 即得(*)式.

取，则显然有， 从而，

另外由三次函数的中心对称性可知，则有 .

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.

【同步训练】

1．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；

（3）证明： .

【思路引导】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时，，，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即可.

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查将问题转化为恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式.

2．已知函数.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.

（参考数据： ， ）.

【思路引导】

（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解；（2）利用参数分离法，转化为两个函数有两个不同的交点即可；（3）的图象在的图象的下方，等价为对任意的， 恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可.

（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.

即对恒成立.

令，则， 

令，则，

因为在上单调递增， ， ，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，

所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，

则取到最小值 ，…14分

所以，即在区间内单调递增.

所以，

所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.

3．已知函数 ．

（1）当a=1时，x0[1，e]使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

【思路引导】

（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．

（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）先求函数导数，并因式分解，安装导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当时，导函数由负变正，单调性先减后增（2）构造差函数，结合（1）讨论单调性，确定对应最小值，解出对应的取值范围．

（2）由题意可知，在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值．

由（1）知，①当，即时， 在上单调递减，

∴， ∴，

∵， ∴；

②当，即时， 在上单调递增， ∴， ∴；

③当，即时， ∴，

∵， ∴， ∴，

此时不存在使成立，

综上可得的取值范围是或．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

5．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（Ⅰ）当时，求出切点坐标，然后求出，从而求出的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使在定义域（0，+∞）内是增函数，只需在（0，+∞）内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围．

f'（x）=令h（x）=ax2-x+a

当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1

又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1

解得a≥ ∴实数a的取值范围是[，+∞）

点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：

一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；

二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.

6．已知函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.

∴实数的取值范围是.

点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.

7．已知函数．

（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；

（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）利用导数的几何意义，得， ；（2）函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数，即与的交点个数；（3）不等式能成立问题转化为函数的最值问题.

（Ⅲ）在上存在一点，使得成立等价于函数在上的最小值小于零.

， 

①当时，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，；

②当时，即时， 在上单调递增，所以的最小值为，由可得；              

③当时，即时，可得的最小值为此时， 不成立.                     

综上所述:可得所求的范围是或

8．已知函数.

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）

【思路引导】

（1）求出的导函数，研究单调性，即可得到函数的极小值；（2）对参数a分类讨论，明确函数的单调区间；（3）原问题等价于在区间上存在一点，使得，即求函数的最小值即可.

【思路点睛】导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．

对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现，常用分离参数构造函数法求解.

9．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设当时，，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）由，分类讨论即可求解函数的单调区间；

（2）设，求得，设， 则则

分和两种情况讨论，得到函数的单调性，进而求解实数的取值范围.

（2）设

则

设，

则

①当时，即时，对一切，

所以在区间上单调递增，所以，即，

所以在区间上单调递增，所以，符合题意

②当时，即时，存在，使得，

当时，

所以在区间上单调递减，所以当时， ，

即，所以在区间上单调递减

故当时，有，与题意矛盾，舍去

综上可知，实数的取值范围为

10．已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.

【思路引导】

（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切点即可解决。（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。（3）存在成立，先变形为，从而构造函数在上的最小值.同时注意第（2）问己求对本问的应用。

（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值.

由第（2）问，

①当，即时， 在上单调递减，

所以，所以，因为，所以；

②当，即时， 在上单调递增，所以，所以；

③当，即时， ，

因为，所以，所以，此时不存在使得成立.

11．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数).

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）

【思路引导】

（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；

（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.

        当且仅当故实数的取值范围为

       则取到最小值 ，

       ∴，即在区间内单调递增

       ，

       ∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.