2021届高考数学二轮复习专题小题专练02函数、导数与不等式(B)

小题专练02

函数、导数与不等式(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:分段函数求值,★)设函数f(x)=则f(f(-2))=(    ).

A.-1 B.1 C.2 D.3

2.(考点:函数的奇偶性,★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=-x2+x+b,则当x<0时,f(x)的解析式为(    ).

A.f(x)=x2+x B.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+x D.f(x)=-x2-x

3.(考点:函数值比较大小,★★)已知a=,b=,c=log0.25,则a,b,c的大小关系是(    ).

A.a<c<b B.c<b<a

C.b<c<a D.c<a<b

4.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=在定义域内单调递增,则实数a的取值范围是(    ).

A.[4,5) B.(4,5)

C.(3,5) D.(2,5)

5.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,则+的最小值为(    ).

A.2 B. C. D.9

6.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)若x=1是函数f(x)=ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(    ).

A.2e-3 B.-2e-3 C.- D.

7.(考点:函数的零点及应用,★★★)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有三个零点,则实数a的取值范围是(    ).

A.[0,2]

B.(0,2)

C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.(-∞,0)∪(2,+∞)

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-1)=1.若f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)<x3+2x,则不等式f(x)+<+x2的解集为(    ).

A.(0,+∞) B.(0,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★★)若a,b为正实数,则a>b的充要条件可以为(    ).

A.< B.ln a<ln b

C.aln a<bln b D.a-b<ea-eb

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).

A.若函数f(x)在(2020,2021)上有零点,则一定有f(2020)·f(2021)<0

B.函数y=是偶函数

C.若函数f(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,则实数a的取值范围是

D.若函数f(x)满足条件f(x)-4f=x,(x∈R,x≠0),则f(x)=-(x≠0)

11.(考点:均值不等式,★★)下列说法正确的是(    ).

A.若x,y>0,x+y=4,则2x+2y的最小值为8

B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-2

C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1

D.函数y=的最小值为4

12.(考点:导数的综合应用,★★★)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(    ).

A.函数f(x)只有一个零点

B.函数f(x)只有极大值而无极小值

C.当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根

D.若当x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最大值为2

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:不等式的解法,★)若关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为,则2a-b=        . 

14.(考点:导数的几何意义,★★)若函数f(x)=ax+ln x的图象在点处的切线与直线x-3y+1=0垂直,则实数a=        . 

15.(考点:不等式的综合应用,★★★)已知x>0,y>0,且+=2,若x+y≥m2+m恒成立,则实数m的取值范围是        . 

16.(考点:导数的综合应用,★★★)设函数f(x)=,g(x)=,则函数g(x)=(x>0)的最大值为        ;若对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的最小值是        . 

答案解析：

函数、导数与不等式(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:分段函数求值,★)设函数f(x)=则f(f(-2))=(    ).

A.-1  B.1 C.2 D.3

【解析】f(f(-2))=f(32-(-2))=f(34)=5-log334=1.故选B.

【答案】B

2.(考点:函数的奇偶性,★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=-x2+x+b,则当x<0时,f(x)的解析式为(    ).

A.f(x)=x2+x B.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+x D.f(x)=-x2-x

【解析】由题意可得,当x=0时,f(0)=b=0,因为当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x,

所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x.

故选A.

【答案】A

3.(考点:函数值比较大小,★★)已知a=,b=,c=log0.25,则a,b,c的大小关系是(    ).

A.a<c<b B.c<b<a

C.b<c<a D.c<a<b

【解析】∵1<b=<e4=a,c=log0.25<0,

∴c<b<a.

故选B.

【答案】B

4.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=在定义域内单调递增,则实数a的取值范围是(    ).

A.[4,5) B.(4,5)

C.(3,5) D.(2,5)

【解析】由题意可得

解得4≤a<5,

所以实数a的取值范围是[4,5).

故选A.

【答案】A

5.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,则+的最小值为(    ).

A.2 B. C. D.9

【解析】∵lg 4是lg 2a与lg 8b的等差中项,

∴2lg 4=lg 2a+lg 8b,

即lg 16=lg(2a·8b)=lg 2a+3b,

∴a+3b=4.

∴+=(a+3b)×=1+×≥1+=,当且仅当=,即a=2-2,b=时取等号.

∴+的最小值为.

【答案】B

6.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)若x=1是函数f(x)=ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(    ).

A.2e-3 B.-2e-3 C.- D.

【解析】由题意可得f'(x)=(x+2a)ex-1+x2+2ax-2ex-1=ex-1,

因为f'(1)=0,所以a=,f(x)=x2+x-2ex-1,f'(x)=ex-1.

令f'(x)>0,解得x<-或x>1;令f'(x)<0,解得-<x<1.

所以f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,

所以f(x)的极小值为f(1)=e1-1=-.故选C.

【答案】C

7.(考点:函数的零点及应用,★★★)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有三个零点,则实数a的取值范围是(    ).

A.[0,2]

B.(0,2)

C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.(-∞,0)∪(2,+∞)

【解析】

画出f(x)的图象如图所示.要使函数y=f(x)-a有三个零点,则函数f(x)的图象与直线y=a有三个交点,结合图象可知实数a的取值范围是(0,2).

【答案】B

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-1)=1.若f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)<x3+2x,则不等式f(x)+<+x2的解集为(    ).

A.(0,+∞) B.(0,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

【解析】设g(x)=+x2-f(x),则g'(x)=x3+2x-f'(x).

因为f'(x)<x3+2x,所以g'(x)>0,

所以g(x)在R上单调递增.

又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(1)=-f(-1)=-1,

所以g(1)=+1+1=,

所以不等式f(x)+<+x2等价于不等式g(x)>g(1),解得x>1.

故选C.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★★)若a,b为正实数,则a>b的充要条件可以为(    ).

A.< B.ln a<ln b

C.aln a<bln b D.a-b<ea-eb

【解析】对于A选项,因为a,b为正实数,所以<⇔a>b,故A选项符合题意;

对于B选项,因为a,b为正实数,所以ln a<ln b⇔a<b,故B选项不符合题意;

对于C选项,取a=e2>b=e,则e2ln e2=2e2,eln e=e,即aln a<bln b不成立,故C选项不符合题意;

对于D选项,令y=ex-x,因为y'=ex-1,当x>0时,y'>0,所以y=ex-x在(0,+∞)上单调递增,即a>b⇔ea-a>eb-b⇔a-b<ea-eb,故D选项符合题意.故选AD.

【答案】AD

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).

A.若函数f(x)在(2020,2021)上有零点,则一定有f(2020)·f(2021)<0

B.函数y=是偶函数

C.若函数f(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,则实数a的取值范围是

D.若函数f(x)满足条件f(x)-4f=x,(x∈R,x≠0),则f(x)=-(x≠0)

【解析】对于选项A,函数f(x)在(2020,2021)上有零点,不一定有f(2020)·f(2021)<0,选项A错误;

对于选项B,函数y=的定义域为(-4,4),且f(x)===,满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,选项B正确;

对于选项C,函数f(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,当a=0时,满足条件,

当a≠0时,由解得0<a≤,

综上,实数a的取值范围是,选项C正确;

对于选项D,函数f(x)满足条件f(x)-4f=x(x∈R,x≠0),

则f-4f(x)=,解得f(x)=-(x≠0),选项D正确.

故选BCD.

【答案】BCD

11.(考点:均值不等式,★★)下列说法正确的是(    ).

A.若x,y>0,x+y=4,则2x+2y的最小值为8

B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-2

C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1

D.函数y=的最小值为4

【解析】对于选项A,x,y>0,x+y=4,则2x+2y≥2=8,当且仅当2x=2y,即x=y时取等号,所以2x+2y的最小值为8,故选项A正确;

对于选项B,当x<时,函数y=2x+=-+1≤-2+1=-1,当且仅当1-2x=,即x=0时取等号,故选项B错误;

对于选项C,若x,y>0,x+y+xy=3,则xy+2≤3,即0<≤1,故xy≤1,所以xy的最大值为1,故选项C错误;

对于选项D,函数y==+≥2=4,当且仅当=,即x=±时取等号,故选项D正确.

故选AD.

【答案】AD

12.(考点:导数的综合应用,★★★)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(    ).

A.函数f(x)只有一个零点

B.函数f(x)只有极大值而无极小值

C.当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根

D.若当x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最大值为2

【解析】对于选项A,f(x)=0⇒x2+x-1=0,解得x=,所以A选项错误;

对于选项B,f'(x)=-=-,

令f'(x)>0,得-1<x<2;令f'(x)<0,得x<-1或x>2,

所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),(2,+∞),函数f(x)的单调递增区间是(-1,2),所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B选项错误;

对于选项C,当x→+∞时,f(x)→0,根据选项B可知,函数f(x)的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根,所以选C项正确;

对于选项D,因为f(2)=,结合图象可知,t的最大值是2,所以D选项正确.

故选CD.

【答案】CD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:不等式的解法,★)若关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为,则2a-b=        . 

【解析】由题意可知-2和1是方程ax2+bx+4=0的两根,

所以解得

所以2a-b=-2.

【答案】-2

14.(考点:导数的几何意义,★★)若函数f(x)=ax+ln x的图象在点处的切线与直线x-3y+1=0垂直,则实数a=        . 

【解析】因为函数f(x)=ax+ln x的导数为f'(x)=a+,

所以f(x)的图象在x=处的切线斜率为a+2,

由该切线与直线x-3y+1=0垂直,

可得a+2=-3,

解得a=-5.

【答案】-5

15.(考点:不等式的综合应用,★★★)已知x>0,y>0,且+=2,若x+y≥m2+m恒成立,则实数m的取值范围是        . 

【解析】由+=2可得x+y=(x+y)·×=+≥+×2=,当且仅当=,即x=,y=3时等号成立.

又x+y≥m2+m恒成立,所以m2+m≤,

故m2+m≤,即2m2+3m-9≤0,

解得-3≤m≤.

【答案】

16.(考点:导数的综合应用,★★★)设函数f(x)=,g(x)=,则函数g(x)=(x>0)的最大值为        ;若对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的最小值是        . 

【解析】∵g(x)=(x>0),

∴g'(x)==,

由g'(x)>0可得0<x<1,此时函数g(x)单调递增,

由g'(x)<0可得x>1,此时函数g(x)单调递减,

∴g(x)的最大值为g(1)=.

若对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则等价为≤恒成立,

f(x)==x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,

故f(x)的最小值为2,且g(x)的最大值为g(1)=,则的最大值为=.

由≥,得k(2e-1)≥1,即k≥,所以k的最小值为.

【答案】