2021届高考数学二轮复习专题小题专练10解析几何(B)

小题专练10

解析几何(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0,则“l∥n”是“m=1”的(    ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线-=1(m>0)的离心率为2,则双曲线-y2=1的焦距是(    ).

A.2 B. C.4 D.2

3.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值为(    ).

A. B. C.2 D.4

4.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C:(x-2)2+(y-1)2=25上一点P(-1,-3)作切线l,直线m:3x+ay=0与切线l平行,则实数a的值为(    ).

A. B.2 C. D.4

5.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F1和F2为双曲线-=1的两个焦点,若点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是(    ).

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C的离心率为(    ).

A. B. C. D.

7.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A,则双曲线C的方程为(    ).

A.x2-=1 B.-y2=1  C.-=1 D.-=1

8.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F的抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当取得最大值时,直线MA的方程为(    ).

A.y=x+1或y=-x-1

B.y=x+或y=-x-

C.y=2x+2或y=-2x-2

D.y=-2x+2

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是(    ).

A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件

B.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为∪

C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切

D.离心率为的双曲线的渐近线方程为y=±x

10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列说法正确的是(    ).

A.以线段AB为直径的圆与直线x=-相离

B.以线段BM为直径的圆与y轴相切

C.当=2时,|AB|=

D.|AB|的最小值为4

11.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是(    ).

A.|PF1|+|PF2|=2

B.离心率e=

C.△PF1F2面积的最大值为

D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切

12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P是双曲线E:-=1右支上的一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是(    ).

A.点P的横坐标为

B.△PF1F2的周长为

C.∠F1PF2小于

D.△PF1F2的内切圆半径为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C1与双曲线C2:-=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为        . 

14.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P为椭圆+=1上的一个动点,M,N分别为圆C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r=        . 

15.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l与双曲线y2-2x2=1交于A,B两点,当A,B两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l的方程为        . 

16.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A,B分别是双曲线C:x2-=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,k1的值为        ,△PAB的重心坐标为        . 

答案解析：

1.(考点:两条直线的位置关系,★)已知直线l:x+m2y=0与直线n:x+y+m=0,则“l∥n”是“m=1”的(    ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若l∥n,则1×1=m2×1,故m=1或m=-1.

故“l∥n”是“m=1”的必要不充分条件.

【答案】B

2.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线-=1(m>0)的离心率为2,则双曲线-y2=1的焦距是(    ).

A.2 B. C.4 D.2

【解析】由题意可得=2,解得m=12,

则双曲线-y2=1的焦距为2=2=2.

【答案】D

3.(考点:椭圆性质的应用,★★)已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值为(    ).

A. B. C.2 D.4

【解析】将椭圆方程化为标准方程得x2+=1,由题意可得>1,且=4,解得m=.故选A.

【答案】A

4.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过圆C:(x-2)2+(y-1)2=25上一点P(-1,-3)作切线l,直线m:3x+ay=0与切线l平行,则实数a的值为(    ).

A. B.2 C. D.4

【解析】由题意得kPC==,

所以切线的斜率为-.

所以-=-,解得a=4.

【答案】D

5.(考点:求双曲线的渐近线方程,★★)设F1和F2为双曲线-=1的两个焦点,若点P(0,2b),F1,F2是等腰直角三角形的三个顶点,则该双曲线的渐近线方程是(    ).

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

【解析】设F1(-c,0),F2(c,0).

∵F1,F2,P是等腰直角三角形的三个顶点,∴c=2b,∴c2=a2+b2=4b2,即a2=3b2,∴=,∴该双曲线的渐近线方程为y=±x.

【答案】C

6.(考点:求双曲线的离心率,★★)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2,则该双曲线C的离心率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,

依据对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0.

又曲线方程x2+y2-4x+2=0可化为(x-2)2+y2=2,

则其是圆心坐标为(2,0),半径为的圆.

由题意得,圆心到该渐近线的距离d==1,

又由点到直线的距离公式可得d==1,

解得=,所以e====.

【答案】B

7.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A,则双曲线C的方程为(    ).

A.x2-=1 B.-y2=1

C.-=1 D.-=1

【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=±x,

所以由点到直线的距离公式可得出右焦点F到渐近线的距离为b.

由题意可得|OA|2=c2-b2=a2=4,且=,

所以b2=1,即双曲线C的方程为-y2=1.

【答案】B

8.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知焦点为F的抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当取得最大值时,直线MA的方程为(    ).

A.y=x+1或y=-x-1

B.y=x+或y=-x-

C.y=2x+2或y=-2x-2

D.y=-2x+2

【解析】过点M作MP与准线垂直,垂足为P,则===,

则当取得最大值时,∠MAF最大,此时AM与抛物线C相切,

易知此时直线AM的斜率存在,设切线方程为y=k(x+1),

联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由Δ=16-16k2=0,解得k=±1,

则直线AM的方程为y=±(x+1).

【答案】A

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:点到直线的距离,★★)下列说法正确的是(    ).

A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件

B.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为∪

C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切

D.离心率为的双曲线的渐近线方程为y=±x

【解析】对于选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3,可得=3,解得c=5或-25,

所以“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件,故选项A错误;

对于选项B,直线xsin α-y+1=0的斜率k=sin α∈[-1,1],设直线的倾斜角为θ,则0≤tan θ<1或-1≤tan θ<0,所以θ∈∪,故选项B正确;

对于选项C,直线y=-2x+5可化为2x+y-5=0,其与直线2x+y+1=0平行,圆x2+y2=5的圆心O(0,0)到直线2x+y-5=0的距离d==,则直线2x+y-5=0与圆x2+y2=5相切,故选项C正确;

对于选项D,离心率e==,则=,

若焦点在x轴,则双曲线的渐近线方程为y=±x,若焦点在y轴,则双曲线的渐近线方程为y=±x,故选项D错误.

【答案】BC

10.(考点:抛物线性质的应用,★★)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列说法正确的是(    ).

A.以线段AB为直径的圆与直线x=-相离

B.以线段BM为直径的圆与y轴相切

C.当=2时,|AB|=

D.|AB|的最小值为4

【解析】对于选项A,点M到准线x=-1的距离为(|AF|+|BF|)=|AB|,于是以线段AB为直径的圆与直线x=-1一定相切,与直线x=-一定相离,故A正确.

对于选项B,显然线段BM中点的横坐标与|BM|不一定相等,故B错误.

对于选项C,D,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程可得y2-4my-4=0,y1y2=-4,x1x2=1,若设A(4a2,4a),则B,于是|AB|=x1+x2+p=4a2++2,所以|AB|的最小值为4,故D正确;由=2可得y1=-2y2,即4a=-2,所以a2=,|AB|=,故C正确.

【答案】ACD

11.(考点:椭圆性质的应用,★★)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是(    ).

A.|PF1|+|PF2|=2

B.离心率e=

C.△PF1F2面积的最大值为

D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切

【解析】对于A选项,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,所以A选项正确;

对于B选项,依题意a=,b=1,c=1,所以e===,所以B选项错误;

对于C选项,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴端点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为·2c·b=c·b=1,所以C选项错误;

对于D选项,以线段F1F2为直径的圆,其圆心为(0,0),半径c=1,圆心到直线x+y-=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,所以D选项正确.

【答案】AD

12.(考点:双曲线的性质综合,★★★)已知点P是双曲线E:-=1右支上的一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是(    ).

A.点P的横坐标为

B.△PF1F2的周长为

C.∠F1PF2小于

D.△PF1F2的内切圆半径为

【解析】双曲线E:-=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n)(m>0,n>0),

由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,

由-=1,可得m=,故A正确;

由P,且F1(-5,0),F2(5,0),可得=,=,则tan ∠F1PF2==∈(0,),则∠F1PF2<,故C正确;

由|PF1|+|PF2|=+=+=,则△PF1F2的周长为+10=,故B正确;

设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,解得r=,故D错误.

【答案】ABC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线C1与双曲线C2:-=1的渐近线相同,且双曲线C1的焦距为8,则双曲线C1的方程为        . 

【解析】设双曲线C1的方程为-=λ(λ≠0),故-=1(λ≠0),

则2λ+6λ=16或-2λ-6λ=16,解得λ=2或λ=-2,

故双曲线C1的方程为-=1或-=1.

【答案】-=1或-=1

14.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知P为椭圆+=1上的一个动点,M,N分别为圆C:(x-3)2+y2=1与圆D:(x+3)2+y2=r2(0<r<3)上的动点,若|PM|+|PN|的最小值为17,则r=        . 

【解析】由题意可得,C(3,0),D(-3,0)恰好为椭圆的两个焦点,且|PM|≥|PC|-1,|PN|≥|PD|-r,

所以|PM|+|PN|≥|PC|+|PD|-1-r=2a-1-r.

因为a2=100,解得a=10,所以20-1-r=17,解得r=2.

【答案】2

15.(考点:直线与双曲线的位置关系,★★)已知直线l与双曲线y2-2x2=1交于A,B两点,当A,B两点的对称中心的坐标为(1,1)时,直线l的方程为        . 

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,

则

两式相减得到(y1+y2)(y1-y2)-2(x1+x2)(x1-x2)=0,将x1+x2=2,y1+y2=2代入上式,化简得k=2.

故直线l的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0.

【答案】2x-y-1=0

16.(考点:双曲线的几何性质的应用,★★★)已知A,B分别是双曲线C:x2-=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,k1的值为        ,△PAB的重心坐标为        . 

【解析】由题意知A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则k1=,k2=,

∴k1k2==2,2k1+k2≥2=4,当且仅当2k1=k2时取等号,

此时k1=1,直线PA的方程为y=x+1;k2=2,直线PB的方程为y=2(x-1).

联立解得∴P(3,4),

∴△PAB的重心坐标为,即.

【答案】1