2021届高考数学二轮复习专题小题专练05数列(A)

小题专练05

数列(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:等差数列,★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=27,a15=-4,则S19=(    ).

A.9 B.12 C.-9 D.-

2.(考点:等比数列,★)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=(    ).

A.2 B.3 C.-3 D.-2

3.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则的值为(    ).

A.2 B.-2 C.3 D.-3

4.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了(    ).

A.60里 B.48里 C.32里 D.24里

5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{an}的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为(    ).

A.30 B.60 C.70 D.80

6.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得Sn取最小值的n的值为(    ).

A.17 B.17或18

C.18或19 D.19

7.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则+的最小值为(    ).

A. B. C. D.1

8.(考点:等差数列的前n项和,★★★)已知数列{an}满足an+1-an=1,且a6,a8,a9成等比数列.若{an}的前n项和为Sn,则Sn的最小值为(    ).

A.3 B.-3 C.-40 D.-45

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是(    ).

A.a10=0 B.S7=S12

C.Sn的最小值为S10  D.S20=0

10.(考点:等比数列,★★)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2007a2008>1,<0,则下列结论正确的是(    ).

A.T2007<T2008

B.a2007a2009-1<0

C.T2007是数列{Tn}中的最大值

D.数列{Tn}无最大值

11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(    ).

A.此人第五天走了二十五里路

B.此人第二天走的路程超过全程的

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D.此人后三天共走了42里路

12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{an}的首项为3,公差为2,前n项和为Sn,则下列结论成立的有(    ).

A.数列的前10项和为100

B.若a1,a4,am成等比数列,则m=13

C.若>,则n的最小值为5

D.若am+an=a2+a10,则+的最小值为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:等比数列的前n项和,★★)已知在等比数列{an}中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则{an}的前5项和为        . 

14.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.若k=-5,则an的最小值为        ;若对于∀n∈N*,都有an+1>an,则实数k的取值范围为        . 

15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=a·2n-2,则{}的前n项和为        . 

16.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=        . 

答案解析：

1.(考点:等差数列,★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=27,a15=-4,则S19=(    ).

A.9 B.12 C.-9 D.-

【解析】由等差数列前n项和公式可得S9==27,∴a1+a9=2a5=6,∴a5=3.

又a15=-4,∴S19==-.

【答案】D

2.(考点:等比数列,★)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=(    ).

A.2 B.3 C.-3 D.-2

【解析】设等比数列的公比为q,由a7=27a4,即=q3=27,解得q=3,

又由等比数列求和公式得S4==80,解得a1=2.

【答案】A

3.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则的值为(    ).

A.2 B.-2 C.3 D.-3

【解析】由题意得a1+a2=12,=16,且1,b2,16同号,所以b2=4,所以=3.

【答案】C

4.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了(    ).

A.60里 B.48里 C.32里 D.24里

【解析】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列,且公比q=,n=6,S6=378,故=378,解得a1=192,故a3=a1q2=192×=48.

【答案】B

5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{an}的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为(    ).

A.30 B.60 C.70 D.80

【解析】∵Sn=30,S2n=50,∴S2n-Sn=20,

又Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列,

∴S3n-S2n=10,

∴S3n=50+10=60.

【答案】B

6.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得Sn取最小值的n的值为(    ).

A.17 B.17或18

C.18或19 D.19

【解析】由题意可得a1+a5=2a3=-16,故a3=-8.

因为S9=-63,所以9a5=-63,故a5=-7.

所以2d=a5-a3=1,即d=,

所以an=a3+(n-3)d=-8+(n-3)×=-.

令an=-≤0,则n≤19,且当n=19时,an=0,

所以当n=18或n=19时,Sn取得最小值.

【答案】C

7.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则+的最小值为(    ).

A. B. C. D.1

【解析】∵lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,

∴2lg 4=lg 22a+lg 2b,

即lg 24=lg(22a·2b)=lg 22a+b,

∴2a+b=4.

∴+=(2a+b)×=+×≥+1=,

当且仅当=,即a=b=时,等号成立,

∴+的最小值为.

【答案】A

8.(考点:等差数列的前n项和,★★★)已知数列{an}满足an+1-an=1,且a6,a8,a9成等比数列.若{an}的前n项和为Sn,则Sn的最小值为(    ).

A.3 B.-3 C.-40 D.-45

【解析】由题意可知{an}为等差数列,公差d=1,

由a6,a8,a9成等比数列,可得=a6a9,

所以=(a8-2)(a8+1),解得a8=-2.

因为a8=a1+7d,所以a1=-9.

所以Sn=-9n+×1=(n2-19n)=n-2-.

故当n=9或n=10时,Sn取到最小值,最小值为-45.

【答案】D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是(    ).

A.a10=0 B.S7=S12

C.Sn的最小值为S10  D.S20=0

【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,故选项A正确.

因为S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S7=S12,故选项B正确.

当d>0时,Sn的最小值为S9或S10,当d<0时,Sn的最大值为S9或S10,故选项C错误.

因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,故选项D错误.

【答案】AB

10.(考点:等比数列,★★)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2007a2008>1,<0,则下列结论正确的是(    ).

A.T2007<T2008

B.a2007a2009-1<0

C.T2007是数列{Tn}中的最大值

D.数列{Tn}无最大值

【解析】当q<0时,a2007a2008=q<0,不成立,

当q≥1时,a2007>1,a2008>1,>0,不成立,

当0<q<1时,分析可知a2007>1,且0<a2008<1,故T2007>T2008,故A错误;

a2007a2009-1=-1<0,故B正确;

T2007是数列{Tn}中的最大值,故C正确,D错误.

【答案】BC

11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(    ).

A.此人第五天走了二十五里路

B.此人第二天走的路程超过全程的

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D.此人后三天共走了42里路

【解析】设此人第n天走an里路,则数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,其中q=,因为S6=378,所以S6==378,解得a1=192.

对于A项,由于a5=192×=12,所以此人第五天走了十二里路,故A错误;

对于B项,由于a2=192×=96,>,故B正确;

对于C项,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,故C正确;

对于D项,由于a4+a5+a6=192×=42,故D正确.

【答案】BCD

12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{an}的首项为3,公差为2,前n项和为Sn,则下列结论成立的有(    ).

A.数列的前10项和为100

B.若a1,a4,am成等比数列,则m=13

C.若>,则n的最小值为5

D.若am+an=a2+a10,则+的最小值为

【解析】由已知可得,an=2n+1,Sn=n2+2n,

对于A项,=n+2,则数列为等差数列,其前10项和为=75,故A错误;

对于B项,若a1,a4,am成等比数列,则=a1·am,am=27,即am=2m+1=27,解得m=13,故B正确;

对于C项,因为=,所以==>,解得n>4,故n的最小值为5,故C正确;

对于D项,由等差数列的性质可知,m+n=12,所以+=(m+n)=≥×(17+2×4)=,当且仅当=,即n=4m=时取等号,因为m,n∈N*,所以n=4m=不成立,故D错误.

【答案】BC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:等比数列的前n项和,★★)已知在等比数列{an}中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则{an}的前5项和为        . 

【解析】∵=q3=-8,∴q=-2,∴a1(1+q)=2,解得a1=-2,

∴{an}的前5项和S5===-22.

【答案】-22

14.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.若k=-5,则an的最小值为        ;若对于∀n∈N*,都有an+1>an,则实数k的取值范围为        . 

【解析】若k=-5,则an=n2-5n+4=-,由二次函数的性质得,当n=2或n=3时,an取得最小值,其最小值为a2=a3=-2.

由an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,解得k>-3,所以实数k的取值范围为(-3,+∞).

【答案】-2  (-3,+∞)

15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=a·2n-2,则{}的前n项和为        . 

【解析】由题意知等比数列{an}的前n项和为Sn=-·qn=a·2n-2,

所以=-2,解得a=2,q=2,a1=2.

所以an=2n,所以=4n,

所以{}的前n项和为=.

【答案】

16.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=        . 

【解析】因为数列{an}和{bn}为等差数列,所以=====.

【答案】