2021届高考数学二轮复习专题小题专练18

小题专练18

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:复数,★)若复数(2a+i)(1+i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线2x-y+1=0上,则实数a的值为(    ).

A.-2    B.2   C.-1   D.1

2.(考点:充分、必要条件,★)“0<x<1”是“cos2x<cos x”的(    ).

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.(考点:等差数列,★)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3a6=4a8,则下列选项中一定为0的是(    ).

A.a1   B.a13   C.S27   D.S28

4.(考点:三角恒等变换,★)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P,则sin等于(    ).

A.   B.-   C.-   D.

5.(考点:古典概型,★★) “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为(    ).

A.    B.   C.   D.

6.(考点:双曲线,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点F到一条渐近线的距离为,双曲线的焦距为6,则双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=-ln(x+1)的图象大致为(    ).

8.(考点:与球有关的计算,★★★)已知四面体A-BCD的侧棱长相等,底面正三角形BCD的面积为8,当AB⊥平面ACD时,四面体A-BCD的外接球的体积为(    ).

A.24π  B.32π C.24π D.32π

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:样本的数字特征,★★)在某次疫情期间,有专家团队认为在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续14日,每天新增疑似病例不超过9人”.过去14日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:

甲地:平均数为5,中位数为6.

乙地:平均数为3,方差大于0.

丙地:平均数为2,方差为3.

丁地:中位数为6,方差为0.

则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是(    ).

A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地

10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x有f(-x)=-f(x),f(x-6)=-f(x),且当x∈[0,3]时,f(x)=2x-1,则下列说法正确的是(    ).

A.f(4)=3

B.函数f(x)在[-9,-3]上单调递增

C.函数f(x)的图象关于直线x=6对称

D.若a∈(0,7),则关于x的方程f(x)-a=0在[0,9]上所有根之和为6

11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,PC⊥底面ABC,若PC=AC=1,AB=2,且∠BAC=60°,则下列说法正确的是(    ).

A.△PAB是钝角三角形

B.此球的表面积等于5π

C.BC⊥平面PAC

D.三棱锥A-PBC的体积为

12.(考点:椭圆,★★★)在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),且AC与BC的斜率之积为-,设点C的轨迹为E,过点F(-,0)作直线MN交轨迹E于M,N两点,若△MAB的面积是△NAB面积的2倍,则下列说法正确的是(    ).

A.E的轨迹方程是+=1(y≠0)

B.E的轨迹方程是+=1(y≠0)

C.直线MN的斜率为±

D.直线MN的斜率为±

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=(5,λ),若c⊥(a+b),则λ=        . 

【解析】由题意得,a+b=(4,6).由c⊥(a+b),可知4×5+6λ=0,得λ=-.

【答案】-

14.(考点:线性回归,★★)某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x,y)如下表所示:

根据表中数据,得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+a.据此计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为        . 

15.(考点:均值不等式,★★★)已知x,y是正数,且x+2y-xy=0,若x+2y>m2-7m恒成立,则实数m的取值范围是        . 

16.(考点:新定义题型,★★★)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.设f(x)=cos x,则f(x)在(0,π)上的“新驻点”为         ;如果函数g(x)=x与函数h(x)=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是          . 

答案解析：

1.(考点:复数,★)若复数(2a+i)(1+i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线2x-y+1=0上,则实数a的值为(    ).

A.-2 B.2 C.-1 D.1

【解析】由题意得(2a+i)(1+i)=2a-1+(2a+1)i,该复数在复平面内对应的点的坐标为(2a-1,2a+1),它落在直线2x-y+1=0上,故2(2a-1)-(2a+1)+1=0,解得a=1.故选D.

【答案】D

2.(考点:充分、必要条件,★)“0<x<1”是“cos2x<cos x”的(    ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由cos2x<cos x得0<cos x<1.因为y=cos x在(0,1)上单调递减,所以当0<x<1时,cos 1<cos x<1,而0<cos 1<1,所以0<cos x<1,故充分性成立;而当0<cos x<1时,2kπ-<x<2kπ+且x≠2kπ,k∈Z,推不出0<x<1,故必要性不成立.

【答案】A

3.(考点:等差数列,★)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3a6=4a8,则下列选项中一定为0的是(    ).

A.a1 B.a13 C.S27 D.S28

【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为3a6=4a8,所以3(a1+5d)=4(a1+7d),所以a1+13d=0,即a14=0,所以S27=×27=×27=27a14=0.

【答案】C

4.(考点:三角恒等变换,★)已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P,则sin等于(    ).

A. B.- C.- D.

【解析】因为角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P,所以cos α=,sin=cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.

【答案】B

5.(考点:古典概型,★★) “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】“仁、义、礼、智、信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的排法有种排法,故概率P==.

【答案】A

6.(考点:双曲线,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点F到一条渐近线的距离为,双曲线的焦距为6,则双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】由题意可知,在双曲线中,焦点到渐近线的距离为虚半轴长,即b=,又焦距2c=6,所以c=3,所以a==,离心率e===.故选B.

【答案】B

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=-ln(x+1)的图象大致为(    ).

【解析】由于函数y=-ln(x+1)在(-1,0),(0,+∞)上单调递减,故排除B,D;当x=1时,y=1-ln 2>0,故排除C.故选A.

【答案】A

8.(考点:与球有关的计算,★★★)已知四面体A-BCD的侧棱长相等,底面正三角形BCD的面积为8,当AB⊥平面ACD时,四面体A-BCD的外接球的体积为(    ).

A.24π  B.32π C.24π D.32π

【解析】如图所示,设正三角形BCD的边长为a,

则a2=8,解得a=4.

由题意可知,AB=AC=AD,BC=BD=CD,则△ABD≌△ACD,∠BAD=∠CAD.

当AB⊥平面ACD时,∵AD⊂平面ACD,∴AB⊥AD,∴∠BAD=∠CAD=90°,

∴AB=BD=4,易知四面体A-BCD的侧棱两两垂直且相等,可构造正方体.

设四面体A-BCD外接球的半径为R,则2R==4,

∴R=2,故四面体A-BCD的外接球的体积V=×π×(2)3=32π.

【答案】D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:样本的数字特征,★★)在某次疫情期间,有专家团队认为在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续14日,每天新增疑似病例不超过9人”.过去14日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:

甲地:平均数为5,中位数为6.

乙地:平均数为3,方差大于0.

丙地:平均数为2,方差为3.

丁地:中位数为6,方差为0.

则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是(    ).

A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地

【解析】甲地不符合, 平均数为5,中位数为6,平均数与中位数不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过9人的情况;

乙地不符合, 平均数为3,方差大于0,没有给出方差具体的大小,如果方差很大有可能出现超过9人的情况;

丙地符合,根据方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x14-)2],若出现大于9的数值m=10,则s2=[(10-2)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(x14-)2]>=>3,与方差为3矛盾,因而不会出现超过9人的情况;

丁地符合,中位数为6,但方差为0,所以每天新增疑似病例都是6,不超过9.

综上,CD符合要求.

【答案】CD

10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x有f(-x)=-f(x),f(x-6)=-f(x),且当x∈[0,3]时,f(x)=2x-1,则下列说法正确的是(    ).

A.f(4)=3

B.函数f(x)在[-9,-3]上单调递增

C.函数f(x)的图象关于直线x=6对称

D.若a∈(0,7),则关于x的方程f(x)-a=0在[0,9]上所有根之和为6

【解析】由题意得函数f(x)的图象关于直线x=3对称,得f(4)=f(2)=3,故A正确.

由题意得函数f(x)是R上的奇函数且周期为12的周期函数,在[-9,-3]上单调递减,故B不正确.

∵函数f(x)是奇函数, 且函数f(x)的图象关于直线x=-3和x=3对称,但不关于直线x=6对称,故C不正确.

若a∈(0,7),则关于x的方程f(x)-a=0在[0,9]上只有两个根且两根关于直线x=3对称,故这两个根之和是6,故D正确.

【答案】AD

11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,PC⊥底面ABC,若PC=AC=1,AB=2,且∠BAC=60°,则下列说法正确的是(    ).

A.△PAB是钝角三角形

B.此球的表面积等于5π

C.BC⊥平面PAC

D.三棱锥A-PBC的体积为

【解析】在底面△ABC中,由AC=1,AB=2,∠BAC=60°,结合余弦定理可得BC==,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,又PC⊥底面ABC,所以PC⊥BC,又AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,故C正确;因为PB=2,PA=,AB=2,所以cos∠APB=>0,所以△PAB是锐角三角形,故A错误;

VA-PBC=VP-ABC=×××1×1=,故D错误;因为AC,BC,PC两两垂直,所以可将三棱锥P-ABC补成一个长方体,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R==,所以三棱锥的外接球的表面积等于4π×=5π,故B正确.故选BC.

【答案】BC

12.(考点:椭圆,★★★)在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),且AC与BC的斜率之积为-,设点C的轨迹为E,过点F(-,0)作直线MN交轨迹E于M,N两点,若△MAB的面积是△NAB面积的2倍,则下列说法正确的是(    ).

A.E的轨迹方程是+=1(y≠0)

B.E的轨迹方程是+=1(y≠0)

C.直线MN的斜率为±

D.直线MN的斜率为±

【解析】设点C(x,y),则·=-,整理得+=1(y≠0),所以A正确,B错误;设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN不与x轴重合,设直线MN的方程为x=my-,与+=1联立,得(m2+2)y2-2my-2=0,则y1+y2=,y1y2=,

由S△MAB=2S△NAB,得|y1|=2|y2|,即y1=-2y2,

从而==++2=-,

解得m2=,即m=±,所以直线MN的斜率k=±,所以C正确,D错误.

【答案】AC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=(5,λ),若c⊥(a+b),则λ=        . 

【解析】由题意得,a+b=(4,6).由c⊥(a+b),可知4×5+6λ=0,得λ=-.

【答案】-

14.(考点:线性回归,★★)某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x,y)如下表所示:

根据表中数据,得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+a.据此计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为        . 

【解析】据题意计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,可得=3.15,则在点(4,3)处有3.15=0.7×4+a,所以a=0.35.

由题意可知,产量x的平均值=×(3+4+5+6)=4.5,

由回归直线=0.7x+0.35过样本点的中心(,),

得=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5,

故m=3.5×4-2.5-3-4=4.5.

【答案】4.5

15.(考点:均值不等式,★★★)已知x,y是正数,且x+2y-xy=0,若x+2y>m2-7m恒成立,则实数m的取值范围是        . 

【解析】因为x+2y-xy=0,所以+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当x=2y时取等号,所以m2-7m<8,解得-1<m<8.

【答案】(-1,8)

16.(考点:新定义题型,★★★)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.设f(x)=cos x,则f(x)在(0,π)上的“新驻点”为         ;如果函数g(x)=x与函数h(x)=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是          . 

【解析】∵f(x)=cos x,∴f'(x)=-sin x,

根据“新驻点”的定义得f(x)=f'(x),即cos x=-sin x,可得tan x=-1,

∵x∈(0,π),解得x=,∴函数f(x)=cos x在(0,π)上的“新驻点”为.

∵g(x)=x,∴g'(x)=1,根据“新驻点”的定义得g(α)=g'(α),即α=1.

∵h(x)=ln(x+1),∴h'(x)=,由“新驻点”的定义得h(β)=h'(β),即ln(β+1)=,

构造函数F(x)=ln(x+1)-,则函数y=F(x)在定义域上为增函数.

∵F(0)=-1<0,F(1)=ln 2->0,F(β)=0,∴β∈(0,1),∴α>β.

【答案】  α>β