2021届高考数学二轮复习专题小题专练19

小题专练19

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)已知集合A=,则RA=(    ).

A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2}

C.{x|x<1或x>2} D.{x|x≤1或x>2}

2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,z1=2-3i-(1-2i),z·=z1,则关于复数z的说法正确的是(    ).

A.z+=2

B.z在复平面内对应的点在第三象限

C.z的虚部为-i

D.|z|=1

3.(考点:直线和圆的综合,★)若直线y=x+b与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则b的值为(    ).

A.1 B. C.±1 D.±

4.(考点:样本分布与数字特征,★)国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如图所示.则下列结论中正确的是(    ).

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.5%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f(x)=sin·cos-sin2+,x∈[-1,a],a∈N*,若函数f(x)的图象与直线y=1至少有2个交点,则a的最小值为(    ).

A.7    B.9   C.11   D.12

6.(考点:概率,★★)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为(    ).

A. B. C. D.

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=2|x|·sin-e|x|在上的图象大致为(    ).

8.(考点:解三角形,★★)已知△ABC的内角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且a=2,b=1,C=2A,则c的值为(    ).

A. B. C. D.2

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:命题的真假,★)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题中的真命题为(    ).

A.若a>b,c>d,则ac>bd

B.若ab>0,bc-ad>0,则->0

C.若a>b,c>d,则a-d>b-c

D.若a>b,c>d>0,则>

10.(考点:数列的综合运用,★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(    ).

A.数列{an}为等差数列 

B.数列{an}为等比数列

C.++…+=   

D.m+n为定值

11.(考点:新定义题型,★★★)若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.则下列说法正确的是(    ).

A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界

B.函数f(x)=xln x有下界,无上界

C.函数f(x)=有上界,无下界

D.函数f(x)=有下界,无上界

12.(考点:椭圆,★★★)椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以下说法正确的是(    ).

A.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则△ABF1的周长为8

B.椭圆C上存在点P,使得·=0

C.椭圆C的离心率为

D.P为椭圆C上一点,Q为圆x2+y2=1上一点,则点P,Q的最大距离为3

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★★)在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为        . 

14.(考点:平面向量,★★)若非零向量a,b满足|a|=1,a·(2a-b)=2,则向量a与b的夹角为        . 

15.(考点:立体几何的综合,★★)如图,在矩形ABCD中,AB=BC=,E为BC的中点,将△DCE沿直线DE翻折成△DC1E,连接C1A,则当三棱锥C1-ADE的体积最大时,∠ADC1=        . 

16.(考点:函数性质的综合,★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,现给出下列四个结论:

①f(2020)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;③当x∈时,方程f(x)=有2018个根;④方程f(x)=log5|x|有5个根.其中正确结论的序号是        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)已知集合A=,则RA=(    ).

A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x<2}

C.{x|x<1或x>2} D.{x|x≤1或x>2}

【解析】由≥0,得或解得x≥2或x<1,即A={x|x<1或x≥2},故RA={x|1≤x<2},故选B.

【答案】B

2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,z1=2-3i-(1-2i),z·=z1,则关于复数z的说法正确的是(    ).

A.z+=2

B.z在复平面内对应的点在第三象限

C.z的虚部为-i

D.|z|=1

【解析】因为z1=2-3i-(1-2i)=1-i,所以z==-i,所以|z|=1,故D正确.

【答案】D

3.(考点:直线和圆的综合,★)若直线y=x+b与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则b的值为(    ).

A.1 B. C.±1 D.±

【解析】∵∠POQ=120°,圆的半径为1,∴|PQ|==,

圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d==,∴+=1,解得b=±1.

【答案】C

4.(考点:样本分布与数字特征,★)国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如图所示.则下列结论中正确的是(    ).

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.5%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

【解析】A错误,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为=;B正确,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%;C错误,12个月的PMI值的众数为49.4%;D错误,12个月的PMI值的中位数为49.6%.

【答案】B

5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f(x)=sin·cos-sin2+,x∈[-1,a],a∈N*,若函数f(x)的图象与直线y=1至少有2个交点,则a的最小值为(    ).

A.7 B.9 C.11 D.12

【解析】函数f(x)=sincos-sin2+

=sin+cos=sin,所以函数f(x)的最小正周期T=6.又函数f(x)的图象与直线y=1至少有2个交点,即函数f(x)在[-1,a]上至少存在两个最大值,结合图象可得a-(-1)≥T+=7.5,解得a≥6.5,所以正整数a的最小值为7.

【答案】A

6.(考点:概率,★★)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】由题意,现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,

基本事件的总数n=×=6,

其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数m==2,

所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p==,故选B.

【答案】B

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=2|x|·sin-e|x|在上的图象大致为(    ).

【解析】由已知得f(x)=2|x|cos x-e|x|,x∈-,,

因为f(-x)=2|-x|cos(-x)-e|-x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,

当x∈[0,1]时,f(x)=2xcos x-ex,

所以f'(x)=2cos x-2xsin x-ex,f'(0)=>0,f'(1)=2cos 1-2sin 1-e<0,即f(x)在[0,1]上有极值点,f(x)在x=1处的切线斜率小于0,且f(0)=-<0,满足上述条件的选项为A.

【答案】A

8.(考点:解三角形,★★)已知△ABC的内角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且a=2,b=1,C=2A,则c的值为(    ).

A. B. C. D.2

【解析】

如图所示,作∠ACB的角平分线与AB交于点D.

则==,设AD=m,则BD=2m,CD=m,分别利用余弦定理得到cos∠ADC=,cos∠BDC=.

由∠ADC+∠BDC=π,得+=0,解得m=,c=AB=3m=.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:命题的真假,★)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题中的真命题为(    ).

A.若a>b,c>d,则ac>bd

B.若ab>0,bc-ad>0,则->0

C.若a>b,c>d,则a-d>b-c

D.若a>b,c>d>0,则>

【解析】若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错误;

若ab>0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;

若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;

若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误.

【答案】BC

10.(考点:数列的综合运用,★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(    ).

A.数列{an}为等差数列 

B.数列{an}为等比数列

C.++…+=   

D.m+n为定值

【解析】由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,

当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,

所以=2,数列{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列,其通项公式an=2n,故A错误,B正确;

数列{}是首项=4,公比q1=4的等比数列,

所以++…+===,故C错误;

aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6,为定值,故D正确.

【答案】BD

11.(考点:新定义题型,★★★)若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.则下列说法正确的是(    ).

A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界

B.函数f(x)=xln x有下界,无上界

C.函数f(x)=有上界,无下界

D.函数f(x)=有下界,无上界

【解析】A正确,当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴f(x)>1恒成立,∴1是f(x)的一个下界.

B正确,f'(x)=ln x+1(x>0),∴当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)≥f=-,∴f(x)有下界.又当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)无上界.综上所述,f(x)=xln x有下界,无上界.

C错误,∵x2>0,ex>0,∴>0,∴f(x)有下界.

D错误,∵sin x∈[-1,1],∴≤≤.又≥-1,≤1,∴-1<<1,∴f(x)既有上界又有下界.

【答案】AB

12.(考点:椭圆,★★★)椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以下说法正确的是(    ).

A.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则△ABF1的周长为8

B.椭圆C上存在点P,使得·=0

C.椭圆C的离心率为

D.P为椭圆C上一点,Q为圆x2+y2=1上一点,则点P,Q的最大距离为3

【解析】对于A,依题意,由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,

因此△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,故A正确;

对于B,设点P(x,y)为椭圆C:+y2=1上任意一点,则点P的坐标满足+y2=1,且-2≤x≤2,

又F1(-,0),F2(,0),所以=(--x,-y),=(-x,-y),

因此·=(--x)(-x)+y2=x2+1--3=-2,

由·=-2=0,可得x=±∈[-2,2],故B正确;

对于C,因为a2=4,b2=1,所以c2=4-1=3,即c=,

所以离心率e==,故C错误;

对于D,点P(x,y)到圆x2+y2=1的圆心的距离为|PO|===,

因为-1≤y≤1,所以|PQ|max=|PO|max+1=+1=3.故D正确.

故选ABD.

【答案】ABD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★★)在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为        . 

【解析】展开式的通项公式为Tr+1=(ax)6-r·=a6-rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,故·a3=-160,解得a=-2.

【答案】-2

14.(考点:平面向量,★★)若非零向量a,b满足|a|=1,a·(2a-b)=2,则向量a与b的夹角为        . 

【解析】因为a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2,|a|=1,所以a·b=0,故两向量的夹角为90°.

【答案】90°

15.(考点:立体几何的综合,★★)如图,在矩形ABCD中,AB=BC=,E为BC的中点,将△DCE沿直线DE翻折成△DC1E,连接C1A,则当三棱锥C1-ADE的体积最大时,∠ADC1=        . 

【解析】当平面C1DE⊥平面ABCD时,三棱锥C1-ADE的体积最大.

如图,取DE的中点F,AD的中点G,连接C1F,FG,C1G.

∵C1D=C1E,∴C1F⊥DE,

又平面C1DE∩平面ABCD=DE,

∴C1F⊥平面ABCD,

又FG⊂平面ABCD,∴C1F⊥FG.

在Rt△C1FG中,C1G==,

在△C1DG中,C1D=DG=C1G=,

∴△C1DG为正三角形,故∠ADC1=.

【答案】

16.(考点:函数性质的综合,★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,现给出下列四个结论:

①f(2020)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;③当x∈时,方程f(x)=有2018个根;④方程f(x)=log5|x|有5个根.其中正确结论的序号是        . 

【解析】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为4,故②错误,∴f(2020)=f(4×505)=f(0).

∵当x∈[-1,1]时,f(x)=x,∴f(0)=0,即f(2020)=0,故①正确.

∵函数f(x)在实数集R上为奇函数,∴-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.画出函数f(x)的图象如图所示.

由图象可得,当x∈[-2,2]时,方程f(x)=有2个根,故当x∈时,方程f(x)=有2×505×2=2020个根,故③错误.画出y=log5|x|的图象如图所示,该图象与函数f(x)的图象有5个交点,故④正确.

【答案】①④