2021届高考数学二轮复习专题小题专练01函数、导数与不等式(A)

小题专练01

函数、导数与不等式(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:函数的定义域,★)函数f(x)=+lg的定义域是(    ).

A.   B.   C.   D.

2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(4,f(4))处的切线方程是2x-y+1=0,则(    ).

A. a=10,b=1  B. a=-2,b=-9  C. a=-2,b=9  D. a=2,b=-9

3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(3x-1)<f(8)的x的取值范围是(    ).

A.   B.∪(3,+∞)   C.  D.(-∞,-3)∪

4.(考点:函数的图象,★★)函数f(x)=的图象大致为(    ).

5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(    ).

A.(3,4) B.(-4,-3)  C.[3,4] D.(3,6)

6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(    ).

A.4   B.2  C.   D.

7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f(x)=kx-sin x在区间上单调递增,则实数k的取值范围是(    ).

A.[1,+∞)   B.   C.(1,+∞)   D.

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)+>0.若a=f,b=f,c=f(-1),则a,b,c的大小关系为(    ).

A. a<b<c  B. c<b<a  C. c<a<b  D. a<c<b

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是(    ).

A.1<x<2  B.-2<x<3  C.-2<x<4  D.-3<x<2

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(    ).

A.f(x)=ln(-2x)  B.f(x)=ex+e-x   C.f(x)=x2+5  D.f(x)=cos x

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则+可能的值为(    ).

A.3   B.6   C.7   D.9

12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是(    ).

A.-6   B.-4   C.4   D.6

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是        ,值域是          .

14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是        .

15.(考点:均值不等式,★★)函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则+的最小值为        .

16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b=        .

答案解析：

函数、导数与不等式(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:函数的定义域,★)函数f(x)=+lg的定义域是(    ).

A.   B.   C.   D.

【解析】要使函数有意义,则即即-<x<3,

所以函数的定义域为.

故选A.

【答案】A

2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(4,f(4))处的切线方程是2x-y+1=0,则(    ).

A. a=10,b=1  B. a=-2,b=-9  C. a=-2,b=9  D. a=2,b=-9

【解析】因为f(x)=x2+ax+b,所以f'(x)=x+a,由题可知f'(4)=2,所以a=-2.

又切点坐标(4,f(4))满足切线方程2x-y+1=0,f(4)=b,所以8-b+1=0,解得b=9.

故选C.

【答案】C

3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(3x-1)<f(8)的x的取值范围是(    ).

A.   B.∪(3,+∞)   C.  D.(-∞,-3)∪

【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(3x-1)<f(8)等价于f(|3x-1|)<f(8).

又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,

所以|3x-1|>8,

所以3x-1<-8或3x-1>8,

解得x<-或x>3,

故x的取值范围为∪(3,+∞).故选B.

【答案】B

4.(考点:函数的图象,★★)函数f(x)=的图象大致为(    ).

【解析】由题意,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,x≠2},排除A;又f(1)<0,排除C;f(-1)>0,排除D.故选B.

【答案】B

5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(    ).

A.(3,4) B.(-4,-3)  C.[3,4] D.(3,6)

【解析】函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点等价于函数y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,

作出函数f(x)的图象如图所示.

函数y=m的图象为水平的直线,由图象可知,当m∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g(x)有三个不同的零点.故选A.

【答案】A

6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(    ).

A.4   B.2  C.   D.

【解析】因为9是3a与3b的等比中项,

所以3a·3b=3a+b=92,即a+b=4,

所以+=(a+b)=++≥+×4=,

当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,

所以+的最小值为.

故选D.

【答案】D

7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f(x)=kx-sin x在区间上单调递增,则实数k的取值范围是(    ).

A.[1,+∞)   B.   C.(1,+∞)   D.

【解析】由题意可得f'(x)=k-cos x,因为f(x)在上单调递增,所以f'(x)≥0在上恒成立,即f'(x)min=k-1≥0,所以k≥1.故选A.

【答案】A

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)+>0.若a=f,b=f,c=f(-1),则a,b,c的大小关系为(    ).

A. a<b<c  B. c<b<a  C. c<a<b  D. a<c<b

【解析】令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).

由题意可知当x>0时,2xf(x)+x2f'(x)>0,即当x>0时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

又函数f(x)为奇函数,所以g(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2·f(x)=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,所以当x<0时,函数g(x)单调递增.

因为->->-1,所以g>g->g(-1),所以a>b>c.

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是(    ).

A.1<x<2  B.-2<x<3  C.-2<x<4  D.-3<x<2

【解析】由>1⇔<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2,所以选项A为p成立的充要条件,选项B、C、D为p成立的必要不充分条件.

【答案】BCD

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(    ).

A.f(x)=ln(-2x)  B.f(x)=ex+e-x   C.f(x)=x2+5  D.f(x)=cos x

【解析】由题意,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为R,

对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(+2x)+ln(-2x)=0,则f(x)=ln(-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;

对于选项B,f(-x)=e-x+ex=f(x),即f(x)=ex+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=ex(t>1),则y=t+,由对勾函数的性质可得,y=t+在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=ex单调递增,所以f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;

对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;

对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.

综上,BC正确.

【答案】BC

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则+可能的值为(    ).

A.3   B.6   C.7   D.9

【解析】因为x,y都为正实数,所以+=+=3++≥3+2=3+2,显然6>3+2,7>3+2,9>3+2,故选项B,C,D符合题意.

【答案】BCD

12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是(    ).

A.-6   B.-4   C.4   D.6

【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),

故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.

∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,

即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,

∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,

如图,∵g(-5)=0,

∴g(5)=0,

    ∴h(-5)=h(5)=0,

∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.

故选BD.

【答案】BD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo(-x2-2x+3)的单调递增区间是        ,值域是          .

【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3<x<1.

又因为y=lot为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo(-x2-2x+3)在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.

易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lot的值域为[-2,+∞).

【答案】(-1,1)  [-2,+∞)

14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是        .

【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.

故实数a的取值范围为(-4,+∞).

【答案】(-4,+∞)

15.(考点:均值不等式,★★)函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则+的最小值为        .

【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.

所以+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即m=1-,n=-1时等号成立.

【答案】3+2

16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b=        .

【解析】∵f(x)=x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.

列表如下:

    ∴a=f(-5)=,b=f(1)=-,

∴a+b=-=.

【答案】