2021届高考数学二轮复习专题小题专练08立体几何(B)

小题专练08

立体几何(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(    ).

A.1   B.   C.   D.

2.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为(    ).

A.π B.2π C.3π D.4π

3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l,m与平面α,β,其中l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是(    ).

A.若l∥m,则必有α∥β

B.若l⊥m,则必有α⊥β

C.若l⊥β,则必有α⊥β

D.若α⊥β,则必有m⊥α

4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a,则其表面积为(    ).

A.a2π B.a2π C.a2π D.a2π

5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的母线长l=(    ).

A.12 B.12 C.6 D.6

6.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(    ).

A. B.

C. D.

7.(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°, E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是(    ).

A. B.- C. D.-

8.(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(    ).

A.8π B.6π C.4π D.π

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是(    ).

A. B. C. D.

10.(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是(    ).

A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π

B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π

C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π

D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π

11.(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是(    ).

A.A'D⊥BC

B.三棱锥A'-BCD的体积为

C.CD⊥平面A'BD

D.平面A'BC⊥平面A'DC

12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段B1D1,BC1上的动点,则下列结论正确的是(    ).

A.DB1⊥平面ACD1

B.平面A1C1B∥平面ACD1

C.点F到平面ACD1的距离为

D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为        . 

14.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为        . 

15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是        ;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为        . 

16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.

则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为        . 

答案解析：

1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(    ).

A.1 B. C. D.

【解析】由题意可得(ka+b)·(2a-b)=0,即(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,故3k-3+2k-4=0,所以k=.

【答案】D

2.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为(    ).

A.π B.2π C.3π D.4π

【解析】设圆柱的底面半径为r,根据圆柱的侧面积公式得2πr×1=4π,所以r=2,则圆柱的体积V=πr2h=π×22×1=4π.

【答案】D

3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l,m与平面α,β,其中l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是(    ).

A.若l∥m,则必有α∥β

B.若l⊥m,则必有α⊥β

C.若l⊥β,则必有α⊥β

D.若α⊥β,则必有m⊥α

【解析】对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,故选项A错误;

对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,故选项B错误;

对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β,故选项C正确;

对于选项D,直线m不一定和平面α垂直,故选项D错误.

【答案】C

4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a,则其表面积为(    ).

A.a2π B.a2π C.a2π D.a2π

【解析】由题意可知圆锥的母线长l=a,底面半径r=,

∴圆锥的表面积S=πr(r+l)=π··=a2π.

【答案】C

5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180,则圆台的母线长l=(    ).

A.12 B.12 C.6 D.6

【解析】设圆台的上底面半径为2r,则其下底面半径为3r,依题意可作圆台的轴截面如图所示,

其中DE⊥AB,CF⊥AB.

∵∠DAE=∠CBF=60°,∴DE=AE=r.

∴轴截面面积S=(DC+AB)·DE=5r2=180,解得r=6,

∴母线长l=AD=2AE=2r=12.

【答案】B

6.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(    ).

A. B.

C. D.

【解析】△ABC的外接圆的半径r=,球O的半径R=SC=,故点O到平面ABC的距离d==.又SC为球O的直径,所以点S到平面ABC的距离为2d=.故此棱锥的体积为V=S△ABC×2d=××2×2××=.

【答案】A

7.

(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是(    ).

A. B.- C. D.-

【解析】依题意,以C为原点,CA,CB,CC'所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设AC=BC=AA'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),C'(0,0,2),A(2,0,0),故=(0,2,1),=(2,0,-2).

设异面直线CE与C'A所成的角为θ,则cos θ===,所以异面直线CE与C'A所成角的余弦值为.

【答案】A

8.

(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(    ).

A.8π B.6π C.4π D.π

【解析】

由DA⊥AB,翻折后得到PA⊥AB,又PA⊥AC,AB∩AC=A,

则PA⊥平面ABC,可知PA⊥BC.

又因为AB⊥BC,PA∩AB=A,则BC⊥平面PAB,于是BC⊥PB,

因此三棱锥P-ABC的外接球球心是PC的中点.

计算可得CP==2,则外接球半径为1,所以外接球的表面积为4π.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是(    ).

A. B. C. D.

【解析】设底面半径为r,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则2πr=8,所以r=;同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=.故圆柱的底面半径为或.

【答案】AD

10.

(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是(    ).

A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π

B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π

C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π

D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π

【解析】以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,所以A正确,B错误;

以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,所以C错误,D正确.

【答案】AD

11.

(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是(    ).

A.A'D⊥BC

B.三棱锥A'-BCD的体积为

C.CD⊥平面A'BD

D.平面A'BC⊥平面A'DC

【解析】

如图所示,取E为BD的中点,连接A'E,

因为AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得到∠DBC=∠ADB=45°,

又∠BCD=45°,所以△BCD为等腰直角三角形.

因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,故C正确;

E为BD的中点,A'E⊥BD,则A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC,如果A'D⊥BC,那么可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A错误;

三棱锥A'-BCD的体积V=××××=,故B错误;

在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,所以A'C=,在三角形A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC.又BA'⊂平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.

【答案】CD

12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段B1D1,BC1上的动点,则下列结论正确的是(    ).

A.DB1⊥平面ACD1

B.平面A1C1B∥平面ACD1

C.点F到平面ACD1的距离为

D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为

【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴.建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意知,A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),

设E(x,y,1),=λ,即(x-1,y,0)=(-λ,λ,0),∴E(1-λ,λ,1),

设F(1,y',z'),=μ,即(0,y',z')=(0,μ,μ),∴F(1,μ,μ).

对于A项,∵=(1,-1,1),=(1,1,0),=(0,1,1),

∴∴DB1⊥AC,DB1⊥AD1.

又AC,AD1⊂平面ACD1,AC∩AD1=A,∴DB1⊥平面ACD1,故A正确;

对于B项,∵DB1⊥平面ACD1,∴=(1,-1,1)为平面ACD1的一个法向量,

∵=(1,1,0),=(1,0,-1),

∴∴DB1⊥A1C1,DB1⊥A1B.

又A1C1,A1B⊂平面A1C1B,A1C1∩A1B=A1,

∴DB1⊥平面A1C1B,

∴平面A1C1B∥平面ACD1,故B正确;

对于C项,∵=(1,μ,μ),∴点F到平面ACD1的距离d===,故C正确;

对于D项,∵几何体为正方体,∴AC⊥平面BB1D1D,

∴=(1,1,0)是平面BB1D1D的一个法向量,

又=(1-λ,λ,1),

设直线AE与平面BB1D1D所成的角为θ,则sin θ==,故D错误.

【答案】ABC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为        . 

【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,

由题意得l=4,πrl=4π,解得r=1,所以h==.

【答案】

14.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为        . 

【解析】

作出对应的截面图,如图所示.

∵截面圆的半径为1,∴BC=1.

∵球心O到截面圆所在平面的距离为2,∴OC=2.

设球的半径为R.

在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=5.

即R2=5,

∴该球的表面积为4πR2=20π.

【答案】20π

15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是        ;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为        . 

【解析】

将三棱锥P-ABC置于长方体中(如图所示),其中PP1⊥平面ABC,

由PA与底面ABC所成的角为60°,可得PP1=,即点P到底面ABC的距离为.

由△PP1A≌△PP1C,得P1A=P1C=1,

由图可知,PB是长方体外接球的直径,也就是三棱锥P-ABC外接球的直径,所以球的表面积为4π·=5π.

【答案】  5π

16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.

则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为        . 

【解析】

如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,过点B与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,

则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),D.

设向量n=(x0,y0,1)为平面CDE的一个法向量,

则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.

∵=(0,1,0),=,∴x0=,y0=0,即n=(,0,1).

又平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,1),

∴cos<n,m>===.

∴平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为.

【答案】