2021届高考数学二轮复习专题小题专练06数列(B)

小题专练06

数列(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:等差数列基本量的计算,★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=8,S9=81,则公差d等于(    ).

A.0 B.-1 C.- D.

2.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知{an}为等差数列,其公差为-1,且a5是a1与a7的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(    ).

A.-110 B.-90 C.20 D.35

3.(考点:等差数列的性质,★)已知等差数列{an}中,a3+a6+a9=π,那么cos(a7+a5)=(    ).

A. B.- C.- D.-

4.(考点:等差数列求和,★)设Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,且an+1=-3SnSn+1,则++…+=(    ).

A.766 B.750 C.715 D.699

5.(考点:等比数列求和,★★)设数列{an}满足an+1=-3an,a1=3,数列{|an|}的前n项和为Sn,则S2021=(    ).

A.(32021-1) B.(32021-2)

C.(32020-1) D.(1-32021)

6.(考点:等比数列的性质,★★)已知等比数列{an}的各项均为正数,向量n=(a11,a10),m=(a7,a8),且m·n=4,则log2a1+log2a2+…+log2a17=(    ).

A.5   B.  C.   D.2+log25

7.(考点:等差数列的综合,★★)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=2,d=1,则的最小值是(    ).

A.    B.   C.2+   D.2-

8.(考点:错位相减法求和,★★★)已知{an}是首项为1的等差数列,{bn}是公比为的等比数列,数列{an·bn}的前2项分别为1和,则数列的前n项和为(    ).

A.(3n-1)×2n B.×4n+

C.(3n-1)×2n-1 D.×4n-1+

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等差数列,★★)设数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,且S9<S10,S10=S11>S12,则下列结论正确的是(    ).

A.d>0 B.a11=0

C.S11>S7 D.Sn无最大值

10.(考点:等比数列,★★)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,下列选项中一定能成为该数列“基本量”的是(    ).

A.S1与S2 B.a2与S3

C.a1与a3 D.q与a3

11.(考点:等差数列,★★)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值可以为(    ).

A.1 B.3 C.10 D.14

12.(考点:数列的综合应用,★★★)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=16,a2+a3=10,则下列说法正确的是(    ).

A.q=2

B.数列是等比数列

C.S3=

D.数列{log2an}是公差为2的等差数列

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:数列基本量的计算,★★)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2,若bn=, 则 an=        ;数列{bn}的前n项和Tn=        . 

14.(考点:等比数列的通项公式,★★)在数列{an}中,a1=3,an+1=6an+10,则数列{an}的通项公式为an=        . 

15.(考点:等差数列的综合,★★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=12,S17>0,S18<0,则{Sn}中第        项最大. 

16.(考点:数列的性质,★★★)已知数列{an}是递增数列,且对任意的n∈N*,an=2n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是        . 

答案解析：

1.(考点:等差数列基本量的计算,★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=8,S9=81,则公差d等于(    ).

A.0 B.-1 C.- D.

【解析】S9==9a5=81,解得a5=9,

所以d===-.

【答案】C

2.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知{an}为等差数列,其公差为-1,且a5是a1与a7的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为(    ).

A.-110 B.-90 C.20 D.35

【解析】a5=a1+4d=a1-4,a7=a1+6d=a1-6,因为a5是a1与a7的等比中项,所以=a1a7,即(a1-4)2=a1(a1-6),解得a1=8,所以S10=10×8+×(-1)=35.故选D.

【答案】D

3.(考点:等差数列的性质,★)已知等差数列{an}中,a3+a6+a9=π,那么cos(a7+a5)=(    ).

A. B.- C.- D.-

【解析】∵等差数列{an}中,a3+a6+a9=π,

∴3a6=π,∴a6=,

∴a7+a5=2a6=,

∴cos(a7+a5)=cos=-.

【答案】D

4.(考点:等差数列求和,★)设Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,且an+1=-3SnSn+1,则++…+=(    ).

A.766 B.750 C.715 D.699

【解析】因为an+1=-3SnSn+1,

所以Sn+1-Sn=-3SnSn+1,

所以-=3.

又=1,

所以是以1为首项,3为公差的等差数列,

所以++…+=22×1+×3=715.

故选C.

【答案】C

5.(考点:等比数列求和,★★)设数列{an}满足an+1=-3an,a1=3,数列{|an|}的前n项和为Sn,则S2021=(    ).

A.(32021-1) B.(32021-2)

C.(32020-1) D.(1-32021)

【解析】∵an+1=-3an,∴|an+1|=3|an|,又|a1|=3,∴数列{|an|}是首项为3,公比为3的等比数列,

∴S2021==(32021-1).

【答案】A

6.(考点:等比数列的性质,★★)已知等比数列{an}的各项均为正数,向量n=(a11,a10),m=(a7,a8),且m·n=4,则log2a1+log2a2+…+log2a17=(    ).

A.5 B.

C. D.2+log25

【解析】由题意可知m·n=a11·a7+a10·a8=2a1·a17=4,

所以a1·a17=2,

所以log2a1+log2a2+…+log2a17=log2(a1·a17=log2=.

【答案】C

7.(考点:等差数列的综合,★★)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=2,d=1,则的最小值是(    ).

A. B.

C.2+ D.2-

【解析】∵an=a1+(n-1)d=n+1,Sn=,

∴==≥=,当且仅当n=1时取等号,

∴的最小值是.故选B.

【答案】B

8.(考点:错位相减法求和,★★★)已知{an}是首项为1的等差数列,{bn}是公比为的等比数列,数列{an·bn}的前2项分别为1和,则数列的前n项和为(    ).

A.(3n-1)×2n B.×4n+

C.(3n-1)×2n-1 D.×4n-1+

【解析】设等差数列{an}的公差为d,

依题意得a1b1=1,故b1=1,

a2b2=(a1+d)·=,故d=1,

所以an=n,bn=,

所以=n×4n-1.

令Tn=1×40+2×41+3×42+…+(n-1)×4n-2+n×4n-1,

则4Tn=1×41+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,

所以Tn-4Tn=1×40+41+42+43+…+4n-1-n×4n,

所以-3Tn=-n×4n,

所以Tn=×4n+.

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等差数列,★★)设数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,且S9<S10,S10=S11>S12,则下列结论正确的是(    ).

A.d>0 B.a11=0

C.S11>S7 D.Sn无最大值

【解析】由S9<S10,得a10>0,又∵S10=S11,∴a11=0,故B正确;

由S11>S12,得a12<0,故d=a12-a11<0,故A错误;

对于C项,S11>S7,即a8+a9+a10+a11>0,可得2(a9+a10)>0,由结论a10>0,d<0,得a9>0,故C正确;

∵S9<S10,S10=S11>S12,∴S10与S11均为Sn的最大值,故D错误.

【答案】BC

10.(考点:等比数列,★★)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,下列选项中一定能成为该数列“基本量”的是(    ).

A.S1与S2 B.a2与S3

C.a1与a3 D.q与a3

【解析】A正确,已知S1与S2,即a1=S1,a2=S2-S1,q=是唯一定值;B不正确,知道a2与S3,由a2=a1q得a1=,S3=a1+a1q+a1q2,将a1=代入替换,得关于q的方程a2q2+(a2-S3)q+a2=0,不一定有唯一解;C不正确,知道a1与a3,a3=a1q2,不能确定唯一的q值;D正确,知道q与a3,a3=a1q2,则a1唯一确定.故选AD.

【答案】AD

11.(考点:等差数列,★★)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值可以为(    ).

A.1 B.3 C.10 D.14

【解析】由题意可得===,则====3+,

由于为整数,则2n+1为21的正约数,则n的可能取值有1,3,10,

所以正整数n的可能取值有1,3,10.

【答案】ABC

12.(考点:数列的综合应用,★★★)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=16,a2+a3=10,则下列说法正确的是(    ).

A.q=2

B.数列是等比数列

C.S3=

D.数列{log2an}是公差为2的等差数列

【解析】因为数列{an}为等比数列,又a1·a4=16,所以a2·a3=16,又a2+a3=10,

所以或

又公比q为整数,则

所以an=22n-3,Sn==.

对于选项A,由以上可得q=4,故选项A错误;

对于选项B,Sn+=,==4,则数列是等比数列,故选项B正确;

对于选项C,S3==,故选项C正确;

对于选项D,log2an+1-log2an=(2n-1)-(2n-3)=2,即数列{log2an}是公差为2的等差数列,故选项D正确.

【答案】BCD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:数列基本量的计算,★★)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2,若bn=, 则 an=        ;数列{bn}的前n项和Tn=        . 

【解析】当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.当n=1时,a1=1满足上式,故an=2n-1.

若bn=,则bn=22n-1,故数列{bn}的前n项和Tn==(4n-1).

【答案】2n-1  (4n-1)

14.(考点:等比数列的通项公式,★★)在数列{an}中,a1=3,an+1=6an+10,则数列{an}的通项公式为an=        . 

【解析】因为an+1=6an+10,所以an+1+2=6an+12=6(an+2),即{an+2}是首项为5,公比为6的等比数列,

所以an+2=5×6n-1,则an=5×6n-1-2.

【答案】5×6n-1-2

15.(考点:等差数列的综合,★★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=12,S17>0,S18<0,则{Sn}中第        项最大. 

【解析】因为S17>0,S18<0,a3=12>0,

所以a1>0,d<0,且a1+a17>0,a1+a18<0.

由等差数列的性质可知,

2a9>0,a10+a9<0,

故当n=9时,Sn取得最大值.

【答案】9

16.(考点:数列的性质,★★★)已知数列{an}是递增数列,且对任意的n∈N*,an=2n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是        . 

【解析】因为数列{an}是递增数列,

所以an+1-an>0(n∈N*)恒成立.

又an=2n2+λn(n∈N*),所以2(n+1)2+λ(n+1)-(2n2+λn)>0恒成立,即4n+2+λ>0恒成立,

所以λ>-(4n+2)(n∈N*)恒成立.

而当n∈N*时,-(4n+2)的最大值为-6,所以λ的取值范围为(-6,+∞).

【答案】(-6,+∞)