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_浙江省杭州市2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份_浙江省杭州市2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案），共19页。
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
2．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
4．（3分）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
9．（3分）实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．（4分）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 ．
12．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
13．（4分）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
16．（4分）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 ．
三.解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
20．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
21．（10分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、它是分式方程，故此选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
【分析】根据二次根式的加减法对A选项进行判断；利用二次根式的性质对B选项、C选项和D选项进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝4×3＝12，所以D选项正确．
故选：D．
4．（3分）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
【分析】根据平行四边形的性质即可进行判断．
【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
所以B选项正确．
故选：B．
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可．
【解答】解：A．当x＝2时，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意义，符合题意；
B．当x＝2时，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；
C．当x＝2时，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；
D．当x＝2时，﹣x＝﹣2＜0，无意义，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．
故选：C．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算判别式的值即可判断．
【解答】解：∵b＞0，c＜0，
∴△＝b2﹣4c＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、愿望AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB＝∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】构造一个二次函数背景，利用二次函数图象与系数的关系求解：把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，由于4a﹣2b+c＝0，自变量为﹣2时，函数值为0，说明抛物线与x轴有交点，根据二次函数图象与系数的关系即可得到b2﹣4ac≥0．
【解答】解：可把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，
∵4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2时，y＝0，
∴抛物线与x轴有公共点，
∴b2﹣4ac≥0．
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
【分析】连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EO＝BC＝10，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
【解答】解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴阴影部分的面积为120，
故选：C．
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．（4分）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 6 ．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6，
故答案是：6．
12．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 7 ．
【分析】由根与系数的关系可求出x1+x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝7，
故答案为：7．
13．（4分）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ 2 ．
【分析】将化简，再根据同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解：∵＝2与最简二次根式是同类二次根式，
∴a+1＝3，
解得a＝2，
故答案为：2．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为 34° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝53°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝73°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝107°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝53°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝53°+20°＝73°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝107°，
∴∠FED′＝107°﹣73°＝34°；
故答案为：34°．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
16．（4分）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 2 ．
【分析】根据矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18得到相应的等式，整理为整式后，设矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数，用求根公式求解即可．
【解答】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）．
则＝18，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0．
两边都除以b2，
令t＝，则4t2+（8﹣18）t+4＝0．
解得t＝+＝2．
故答案为：2．
三.解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据负整数指数幂、零指数幂和分母有理化进行计算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2；
（2）原式＝4﹣1+2﹣
＝5﹣．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴（5x+2）（7x﹣6）＝0，
则5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得x1＝﹣，x2＝；
（2）∵（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
∴（x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
【分析】连接BE、DF，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，再由AE＝CF得出DE＝BF，则四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
20．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论；
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，根据停放自行车的面积为54平方米，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，
依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意；
当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是1米．
21．（10分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；
（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝3﹣3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∵∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+AM＝6，
解得：AM＝3﹣3，
∴AC＝2AM＝6﹣6．
22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得++1＝0，即可证得x＝是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得＝1．
【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得++1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据＝m＝，可得AB＝BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；
②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∵cos∠ABC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
2．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
4．（3分）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
9．（3分）实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．（4分）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 ．
12．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
13．（4分）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
16．（4分）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 ．
三.解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
20．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
21．（10分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、它是分式方程，故此选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
【分析】根据二次根式的加减法对A选项进行判断；利用二次根式的性质对B选项、C选项和D选项进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝4×3＝12，所以D选项正确．
故选：D．
4．（3分）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
【分析】根据平行四边形的性质即可进行判断．
【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
所以B选项正确．
故选：B．
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可．
【解答】解：A．当x＝2时，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意义，符合题意；
B．当x＝2时，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；
C．当x＝2时，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；
D．当x＝2时，﹣x＝﹣2＜0，无意义，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．
故选：C．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算判别式的值即可判断．
【解答】解：∵b＞0，c＜0，
∴△＝b2﹣4c＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、愿望AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB＝∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】构造一个二次函数背景，利用二次函数图象与系数的关系求解：把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，由于4a﹣2b+c＝0，自变量为﹣2时，函数值为0，说明抛物线与x轴有交点，根据二次函数图象与系数的关系即可得到b2﹣4ac≥0．
【解答】解：可把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，
∵4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2时，y＝0，
∴抛物线与x轴有公共点，
∴b2﹣4ac≥0．
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
【分析】连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EO＝BC＝10，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
【解答】解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴阴影部分的面积为120，
故选：C．
二、填空题（共24分，每小题4分）
11．（4分）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 6 ．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6，
故答案是：6．
12．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 7 ．
【分析】由根与系数的关系可求出x1+x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝7，
故答案为：7．
13．（4分）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ 2 ．
【分析】将化简，再根据同类二次根式的定义求解即可．
【解答】解：∵＝2与最简二次根式是同类二次根式，
∴a+1＝3，
解得a＝2，
故答案为：2．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为 34° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝53°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝73°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝107°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝53°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝53°+20°＝73°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝107°，
∴∠FED′＝107°﹣73°＝34°；
故答案为：34°．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
16．（4分）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 2 ．
【分析】根据矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18得到相应的等式，整理为整式后，设矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数，用求根公式求解即可．
【解答】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）．
则＝18，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0．
两边都除以b2，
令t＝，则4t2+（8﹣18）t+4＝0．
解得t＝+＝2．
故答案为：2．
三.解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据负整数指数幂、零指数幂和分母有理化进行计算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2；
（2）原式＝4﹣1+2﹣
＝5﹣．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴（5x+2）（7x﹣6）＝0，
则5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得x1＝﹣，x2＝；
（2）∵（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
∴（x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
【分析】连接BE、DF，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，再由AE＝CF得出DE＝BF，则四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
20．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度即可确定结论；
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，根据停放自行车的面积为54平方米，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，
依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意；
当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是1米．
21．（10分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．
【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；
（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝3﹣3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∵∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：
则∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+AM＝6，
解得：AM＝3﹣3，
∴AC＝2AM＝6﹣6．
22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得++1＝0，即可证得x＝是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得＝1．
【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得++1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据＝m＝，可得AB＝BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；
②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∵cos∠ABC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
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