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浙江省杭州市2020-2021学年下学期期中考试八年级数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省杭州市2020-2021学年下学期期中考试八年级数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了认真填一填，全面答一答解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
2．（3分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝x﹣1的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
4．（3分）下列命题：①是最简二次根式；②方程x2+4＝0有两个实数根；③一组数据1，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，平均数变小；④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于90°
B．有一个内角小于或等于90°
C．每一个内角都小于90°
D．每一个内角都大于90°
6．（3分）给出下列化简：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①② D．③④
7．（3分）某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试
跳远成绩（cm）
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．190，200 B．9，9 C．15，9 D．185，200
8．（3分）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DE，AB相交于点G，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；④△DBF≌△EFA，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系内，点A（）关于原点中心对称的点的坐标是 ．
12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2 ．
13．（4分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 ．
14．（4分）若三角形的周长为10cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 cm．
15．（4分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此 元时，商场每天盈利达1500元．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝ ；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝ ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）化简
（1）
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛
（1）根据图示填写下表；
平均数（分）
中位数（分）
众数
七年级
85
八年级
85
100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，求四边形ABCD的面积．
21．（10分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
22．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到
23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得 x+3≥0，
解得 x≥﹣5．
故选：A．
2．（3分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝x﹣1的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x﹣1）（x+2）﹣（x﹣8）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+6）＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝1，
故选：C．
4．（3分）下列命题：①是最简二次根式；②方程x2+4＝0有两个实数根；③一组数据1，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，平均数变小；④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用最简二次根式的定义、一元二次方程根的判别式、统计的知识及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①是最简二次根式，符合题意；
②方程x7+4＝0没有实数根，故原命题错误；
③一组数据3，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，中位数变小，故原命题错误；
④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
5．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于90°
B．有一个内角小于或等于90°
C．每一个内角都小于90°
D．每一个内角都大于90°
【分析】至少有一个角不小于90°的反面是每个角都小于90°，据此即可假设．
【解答】解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°．
故选：C．
6．（3分）给出下列化简：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①② D．③④
【分析】利用二次根式的性质对①④进行判断；根据二次根式的乘法法则对②进行判断；根据二次根式的加减法对③进行判断．
【解答】解：，所以①正确；
×＝2＝6×5＝12；
2﹣，所以③错误；
＝＝，所以④错误．
故选：C．
7．（3分）某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试
跳远成绩（cm）
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．190，200 B．9，9 C．15，9 D．185，200
【分析】根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
【解答】解：在这一组数据中200是出现次数最多的，
故众数是200cm；
在这45个数中，处于中间位置的第23个数是190．
所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是190，200．
故选：A．
8．（3分）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的最大整数值．
【解答】解：方程整理得，（k﹣1）x2+x+3＝0，
根据题意得：△＝12﹣12（k﹣1）＝﹣12k+13≥0，
解得：k≤，且k≠3，
则k的最大整数解为0．
故选：C．
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣4即a（x﹣1）2+b（x﹣4）+2＝0，
设t＝x﹣4，
所以at2+bt+2＝6，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝7（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣5）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DE，AB相交于点G，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；④△DBF≌△EFA，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，即可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【解答】解：连接FC，如图．
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC．
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC．
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC．
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝6AF＝4AG．
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA．
综上所述：①②③④都正确．
故选：D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系内，点A（）关于原点中心对称的点的坐标是 （﹣，﹣2） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣．
故答案为：（﹣，﹣2）．
12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝2，由直角三角形的性质可得DE＝AE，由勾股定理可求DE的长．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵DE2+AE8＝AD2＝4，
∴DE＝，
故答案为．
13．（4分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 26 ．
【分析】根据平均数的变化规律可得：数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4，再进行计算即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x2的平均数是15，
∴数据2x1﹣3，2x2﹣8，2x3﹣8的平均数是2×15﹣4＝26；
故答案为：26．
14．（4分）若三角形的周长为10cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 5 cm．
【分析】根据三角形的中位线的概念和三角形的中位线定理，知它的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半进行计算．
【解答】解：根据连接三角形的两边中点的线段叫三角形的中位线以及三角形的中位线等于第三边的一半，则
它的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半，即为．
故答案为：3．
15．（4分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此 150或170 元时，商场每天盈利达1500元．
【分析】设销售单价为x元，则每天可销售（200﹣x）件，根据商场每天销售该种商品的盈利＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x7＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝ 3：4 ；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝ ．
【分析】（1）连接AC，则由S△ABC＝S△ACD，即可求出底边的比值；
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，证明△AFD≌△MFC，解直角三角形求得EM的长度，进而求解．
【解答】解：（1）连接AC，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴S△ABC＝S△ACD，
即•BC•AE＝，
∵AE＝6，AF＝2，
∴3BC＝4AF，
∴CD：BC＝7：4，
故答案为：3：5．
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BM，
∴∠ADF＝∠MCF，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
在△AFD和△MFC，
，
∴△AFD≌△MFC（ASA），
∴AD＝CM，AF＝FM，
∴AM＝2AF＝16，
∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝8＝8，
∵AE＝4，
∴EN＝AN﹣AE＝2，
∴EM＝＝14，
∵E为BC中点，
∴EC＝＝AD＝，
∴EM＝EC+CM＝CM＝，
∴AD＝EM＝，
故答案为：．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）化简
（1）
（2）．
【分析】（1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；
（2）原式先计算乘除运算，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+6＝；
（2）原式＝﹣4．
18．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（3x﹣1）（x﹣3）＝4，
则2x﹣1＝2或x﹣3＝0，
解得x4＝，x7＝3．
（2）∵（3x﹣2）2﹣（4x﹣7）2＝0，
∴（8x﹣4+4x﹣5）（3x﹣4﹣5x+3）＝0，
∴5x﹣4+4x﹣4＝0或3x﹣8﹣4x+3＝4，
∴x1＝1，x6＝﹣1．
19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛
（1）根据图示填写下表；
平均数（分）
中位数（分）
众数
七年级
85
85
100
八年级
85
80
100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义进行解答即可得出答案；
（2）分别求出七年级、八年级的方差，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）七年级平均数为：（75+80+85+85+100）＝85（分），
七年级的众数是100分；
八年级的中位数是80分．
故答案为：85，100；
（2）七年级的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）8+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）3]＝70，
八年级的方差是：[（70﹣85）6+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）8+（80﹣85）2]＝160．
∵七年级的方差＜八年级的方差，
∴七年级代表队选手成绩较为稳定．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠E，可证AD∥BE，可得结论；
（2）先证△ABE是等边三角形，可求S△ABF的面积，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝AF×BF＝＝，
∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
21．（10分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（2k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣2）2﹣4k（3k﹣3）＝4k6﹣12k+9＝（2k﹣8）2，
∴△＝（2k﹣6）2≥0，
当k＝4时，3x﹣3＝2，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+7k﹣3+3k﹣5＝0，
解得k＝．
故k的值；
（3）解：kx5﹣（4k﹣3）x+4k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（2k﹣3），
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝2，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1．
22．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 24 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到
【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣24＜0，即可得出饲养场的面积不能达到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（3﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（3＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+6＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣4x＝48﹣3×6＝30（米），不合题意；
当x＝10时，48﹣7x＝48﹣3×10＝18（米）．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣4（y﹣1）+1＝（48﹣7y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝6．
∵△＝（﹣16）2﹣4×3×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ 40° ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝α，由三角形的内角和可得∠DAE＝2∠ABC＝100°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDF＝α，由三角形的内角和定理可求∠EDF+∠ADE＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证得BD＝CF．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2∠ABC＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝＝40°，
故答案为：40°；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDF＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，8∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD，
②证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
2．（3分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝x﹣1的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
4．（3分）下列命题：①是最简二次根式；②方程x2+4＝0有两个实数根；③一组数据1，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，平均数变小；④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于90°
B．有一个内角小于或等于90°
C．每一个内角都小于90°
D．每一个内角都大于90°
6．（3分）给出下列化简：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①② D．③④
7．（3分）某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试
跳远成绩（cm）
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．190，200 B．9，9 C．15，9 D．185，200
8．（3分）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DE，AB相交于点G，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；④△DBF≌△EFA，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系内，点A（）关于原点中心对称的点的坐标是 ．
12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2 ．
13．（4分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 ．
14．（4分）若三角形的周长为10cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 cm．
15．（4分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此 元时，商场每天盈利达1500元．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝ ；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝ ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）化简
（1）
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛
（1）根据图示填写下表；
平均数（分）
中位数（分）
众数
七年级
85
八年级
85
100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，求四边形ABCD的面积．
21．（10分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
22．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到
23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
2020-2021学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．（3分）二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠﹣3
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得 x+3≥0，
解得 x≥﹣5．
故选：A．
2．（3分）下面四个图标中，中心对称图形个数是（ ）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝x﹣1的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x1＝1，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x﹣1）（x+2）﹣（x﹣8）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+6）＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝1，
故选：C．
4．（3分）下列命题：①是最简二次根式；②方程x2+4＝0有两个实数根；③一组数据1，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，平均数变小；④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用最简二次根式的定义、一元二次方程根的判别式、统计的知识及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①是最简二次根式，符合题意；
②方程x7+4＝0没有实数根，故原命题错误；
③一组数据3，2，3，4，4，10，剩下的数据与原数据相比，中位数变小，故原命题错误；
④若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形为八边形，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
5．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于90°
B．有一个内角小于或等于90°
C．每一个内角都小于90°
D．每一个内角都大于90°
【分析】至少有一个角不小于90°的反面是每个角都小于90°，据此即可假设．
【解答】解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°．
故选：C．
6．（3分）给出下列化简：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①② D．③④
【分析】利用二次根式的性质对①④进行判断；根据二次根式的乘法法则对②进行判断；根据二次根式的加减法对③进行判断．
【解答】解：，所以①正确；
×＝2＝6×5＝12；
2﹣，所以③错误；
＝＝，所以④错误．
故选：C．
7．（3分）某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试
跳远成绩（cm）
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．190，200 B．9，9 C．15，9 D．185，200
【分析】根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
【解答】解：在这一组数据中200是出现次数最多的，
故众数是200cm；
在这45个数中，处于中间位置的第23个数是190．
所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是190，200．
故选：A．
8．（3分）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的最大整数值．
【解答】解：方程整理得，（k﹣1）x2+x+3＝0，
根据题意得：△＝12﹣12（k﹣1）＝﹣12k+13≥0，
解得：k≤，且k≠3，
则k的最大整数解为0．
故选：C．
9．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣4即a（x﹣1）2+b（x﹣4）+2＝0，
设t＝x﹣4，
所以at2+bt+2＝6，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝7（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣5）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
10．（3分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，DE，AB相交于点G，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；④△DBF≌△EFA，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，即可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【解答】解：连接FC，如图．
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC．
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC．
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC．
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝6AF＝4AG．
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA．
综上所述：①②③④都正确．
故选：D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系内，点A（）关于原点中心对称的点的坐标是 （﹣，﹣2） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣．
故答案为：（﹣，﹣2）．
12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝2，由直角三角形的性质可得DE＝AE，由勾股定理可求DE的长．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵DE2+AE8＝AD2＝4，
∴DE＝，
故答案为．
13．（4分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 26 ．
【分析】根据平均数的变化规律可得：数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4，再进行计算即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x2的平均数是15，
∴数据2x1﹣3，2x2﹣8，2x3﹣8的平均数是2×15﹣4＝26；
故答案为：26．
14．（4分）若三角形的周长为10cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 5 cm．
【分析】根据三角形的中位线的概念和三角形的中位线定理，知它的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半进行计算．
【解答】解：根据连接三角形的两边中点的线段叫三角形的中位线以及三角形的中位线等于第三边的一半，则
它的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半，即为．
故答案为：3．
15．（4分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此 150或170 元时，商场每天盈利达1500元．
【分析】设销售单价为x元，则每天可销售（200﹣x）件，根据商场每天销售该种商品的盈利＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x7＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝ 3：4 ；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝ ．
【分析】（1）连接AC，则由S△ABC＝S△ACD，即可求出底边的比值；
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，证明△AFD≌△MFC，解直角三角形求得EM的长度，进而求解．
【解答】解：（1）连接AC，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴S△ABC＝S△ACD，
即•BC•AE＝，
∵AE＝6，AF＝2，
∴3BC＝4AF，
∴CD：BC＝7：4，
故答案为：3：5．
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BM，
∴∠ADF＝∠MCF，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
在△AFD和△MFC，
，
∴△AFD≌△MFC（ASA），
∴AD＝CM，AF＝FM，
∴AM＝2AF＝16，
∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝8＝8，
∵AE＝4，
∴EN＝AN﹣AE＝2，
∴EM＝＝14，
∵E为BC中点，
∴EC＝＝AD＝，
∴EM＝EC+CM＝CM＝，
∴AD＝EM＝，
故答案为：．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）化简
（1）
（2）．
【分析】（1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；
（2）原式先计算乘除运算，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+6＝；
（2）原式＝﹣4．
18．（8分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（3x﹣1）（x﹣3）＝4，
则2x﹣1＝2或x﹣3＝0，
解得x4＝，x7＝3．
（2）∵（3x﹣2）2﹣（4x﹣7）2＝0，
∴（8x﹣4+4x﹣5）（3x﹣4﹣5x+3）＝0，
∴5x﹣4+4x﹣4＝0或3x﹣8﹣4x+3＝4，
∴x1＝1，x6＝﹣1．
19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛
（1）根据图示填写下表；
平均数（分）
中位数（分）
众数
七年级
85
85
100
八年级
85
80
100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义进行解答即可得出答案；
（2）分别求出七年级、八年级的方差，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）七年级平均数为：（75+80+85+85+100）＝85（分），
七年级的众数是100分；
八年级的中位数是80分．
故答案为：85，100；
（2）七年级的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）8+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）3]＝70，
八年级的方差是：[（70﹣85）6+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）8+（80﹣85）2]＝160．
∵七年级的方差＜八年级的方差，
∴七年级代表队选手成绩较为稳定．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠E，可证AD∥BE，可得结论；
（2）先证△ABE是等边三角形，可求S△ABF的面积，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∴S△ABF＝AF×BF＝＝，
∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
21．（10分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（2k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣2）2﹣4k（3k﹣3）＝4k6﹣12k+9＝（2k﹣8）2，
∴△＝（2k﹣6）2≥0，
当k＝4时，3x﹣3＝2，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+7k﹣3+3k﹣5＝0，
解得k＝．
故k的值；
（3）解：kx5﹣（4k﹣3）x+4k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（2k﹣3），
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝2，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1．
22．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 24 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到
【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长；
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论；
（3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣24＜0，即可得出饲养场的面积不能达到210平方米．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（3﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（3＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+6＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣4x＝48﹣3×6＝30（米），不合题意；
当x＝10时，48﹣7x＝48﹣3×10＝18（米）．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣4（y﹣1）+1＝（48﹣7y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝6．
∵△＝（﹣16）2﹣4×3×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
23．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ 40° ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝α，由三角形的内角和可得∠DAE＝2∠ABC＝100°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDF＝α，由三角形的内角和定理可求∠EDF+∠ADE＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证得BD＝CF．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2∠ABC＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝＝40°，
故答案为：40°；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDF＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，8∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD，
②证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
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