初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教案

这是一份初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教案，共11页。教案主要包含了教师准备，学生准备，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

知识与技能：掌握解分式方程的基本方法和步骤.
过程与方法：经历和体会解分式方程的基本步骤,使学生进一步了解“转化”思想,能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的方法.
情感态度与价值观：培养学生养成自觉反思、求解和自觉检验的良好习惯,运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信心.
教学重难点：
【重点】
1.掌握解分式方程的基本方法和步骤.
2.掌握将分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
【难点】
1.解分式方程的基本方法和步骤.
2.检验分式方程的解.
教学准备：
【教师准备】 复习分式方程的定义和讲解教材例题的课件.
【学生准备】 复习分式方程的定义.
教学过程：
1.新课导入：
导入一:
【问题1】 写出1x2-4与x4-2x的最简公分母.
【问题2】 解一元一次方程2x3-1=x+14.
[设计意图] 通过回顾找最简公分母、解一元一次方程的步骤,引导学生过渡到解分式方程.提醒学生注意解一元一次方程每一步易犯的错误,同时老师还应强调检验方程的根的重要性,并为解分式方程的验根打下基础.
导入二:
【问题】 什么是方程的解?你能设法求出分式方程1400x-14002.8x=9的解吗?
生1:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
生2:解法1:1400x-500x=9,900x=9,x=100.
生3:解法2:1400×2.8-14002.8x=9,1.8×14002.8x=9,900x=9,x=100.
生4:解法3:1400-500=9x,9x=900,x=100.
生5:解法4:1400×2.8-1400=2.8x×9,2.8×9x=1.8×1400,x=100.
[设计意图] 由复习的内容引出本节内容,激发学生的求解欲望,引导学生利用不同的方式解决这个问题.
2.新知构建：
[过渡语] 方程其实就是等式,在解方程的过程中,以前学习的方法是继续可以借鉴的.
例题讲解
(教材例1)解方程1x-2=3x.
〔解析〕 根据等式的基本性质,方程两边都乘x(x-2),化分式方程为整式方程.
解:方程两边都乘x(x-2),得
x=3(x-2).
解这个方程,得x=3.
检验:将x=3代入原方程,得
左边=1,右边=1,左边=右边.
所以,x=3是原方程的根.
[设计意图] 通过观察,使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题的讲解,让学生明确解分式方程的一般步骤.通过观察类比,学生容易发现只要方程两边同时乘最简公分母,可以约去分母,使方程转化为学过的一元一次方程,从而解决问题.
(教材例2)解方程480x-6002x=45.
解:方程两边都乘2x,得
960-600=90x.
解这个方程,得x=4.
经检验,x=4是原方程的根.
[设计意图] 使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法,并强调一定要检验.
[教学注意] 让学生规范书写过程.在解题过程中,要提醒学生可先化简原方程,从而达到简便运算的目的.
(教材议一议)在解方程1-xx-2=12-x-2时,小亮的解法如下:
方程两边都乘x-2,得
1-x=-1-2(x-2).
解这个方程,得x=2.
你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.
〔解析〕 在这里,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.
产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.
因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零,有时也要看是否符合实际意义.
[设计意图] 让学生通过解这个方程,展开讨论,了解分式方程会产生增根的原因,体会分式方程检验的必要性.
[知识拓展] 1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.
3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检验是解分式方程必要的步骤.
3.课堂小结
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.
4.检测反馈
1.关于x的方程2x-1=1的解是( )
A.x=4B.x=3C.x=2D.x=1
答案:B
2.分式方程5x+2=3x的解为( )
A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4
答案:C
3.方程2x=3x+1的根是 .
解析:方程两边同乘最简公分母x(x+1),得3x=2x+2,解这个方程,得x=2,经检验,x=2是原方程的根.所以方程2x=3x+1的根是x=2.故填x=2.
4.解方程5x-2=3x.
解:方程两边都乘最简公分母x(x-2),得:
5x=3(x-2).
解这个方程,得x=-3.
检验:把x=-3代入原方程的左边和右边,得:
左边=5-3-2=-1,右边=3-3=-1,左边=右边,
因此,x=-3是原方程的解.
5.解方程x-2x+2-16x2-4=x+2x-2.
解:方程两边同乘x2-4,得:
(x-2)2-16=(x+2)2,
即x2-4x+4-16=x2+4x+4,
解这个方程,得x=-2.
检验:把x=-2代入x2-4,得x2-4=0.
所以原方程无解.
5.板书设计
第2课时
例题讲解
6.布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第128页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第128页习题5.8的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.解分式方程3x+1-2x=-3x2+x时会产生增根,则增根的值是( )
A.x=0B.x=0和x=-1
C.x=-1D.无法确定
2.把分式方程2x+4=1x转化为一元一次方程时,方程两边需同乘( )
A.xB.2x
C.x+4D.x(x+4)
3.分式方程1x=5x+3的解是 .
【能力提升】
4.若关于x的分式方程m-1x-1=2的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m>-1B.m≥1
C.m>-1且m≠1D.m≥-1且m≠1
5.若关于x的方程1x-2+kx+2=3x2-4无解,求k的值.
【拓展探究】
6.已知方程x+1x=2+12的解是x1=2,x2=12;x+1x=3+13的解是x1=3,x2=13;x+1x=4+14的解是x1=4,x2=14……
(1)写出下面两个方程的解:
①x+1x=10+110, ;
②x+1x=a+1a, .
(2)试写出方程x+1x+1=a+1a+1的解.
7.小明解方程1x-x-2x=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
【答案与解析】
1.C(解析:增根是使原分式方程的分母为零的x的值.)
2.D(解析:方程两边都乘最简公分母x(x+4).)
3.x=34解析:方程两边同乘x(x+3),得x+3=5x,解得x=34.经检验,x=34是原方程的解.故填x=34.
4.D(解析:去分母,得m-1=2x-2,解得x=m+12,由题意,得m+12≥0且m+12≠1,解得m≥-1且m≠1,故选D.)
5.解:去分母,得x+2+k(x-2)=3,x=2k+1k+1,所以当k=-1时原分式方程无解;当2k+1k+1=2时情况不存在,当2k+1k+1=-2,即k=-34时原分式方程无解.(分式的分母不能为零)
6.解:(1)①x1=10,x2=110,②x1=a,x2=1a. (2)x1=a,x2=-aa+1.
7.解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母错误;步骤②去括号错误;步骤⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下:去分母,得1-(x-2)=x,去括号,得1-x+2=x,移项,得-x-x=-1-2,合并同类项,得-2x=-3,两边同除以-2,得x=32.经检验,x=32是原方程的解,所以原方程的解是x=32.
教学反思：
成功之处：
学生已经明确解分式方程时,在方程的两边要同乘最简公分母,将分式方程化为整式方程.
不足之处：个别学生在解方程时会忽略验根,这时候应该教给学生必要的方法策略.
再教设计：在教学中,注意引导学生理解化归的思想,即将分式方程转化为整式方程.
教材习题解答
随堂练习(教材第128页)
1.提示:(1)x=4. (2)x=1.
2.提示:x=480.
习题5.8(教材第128页)
1.提示:(1)x=1. (2)x=3. (3)y=3是增根,原方程无解.
2.提示:不对,x=12是原方程的增根.
3.解:设原计划每天铺设x m管道,根据题意,得3000x-3000(1+25%)x=30,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,(1+25%)x=25,所以实际每天铺设25 m管道.
4.解:设甲厂产品的合格率为x%,则乙厂产品的合格率为(x-5)%,根据题意得48x%=45(x-5)%,解得x=80.经检验,x=80是原方程的解,所以甲厂产品的合格率为80%.
备课资源
经典例题：
例题：读下列材料:
方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1;
方程1x-1x-1=1x-3-1x-4的解为x=2;
方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3;
(1)请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并猜想这个方程的解;
(2)利用(1)所得的结论,写出一个解为x=2014的分式方程.
解:(1)1x-n-1x-(n+1)=1x-(n+3)-1x-(n+4).
其解为x=n+2.
(2)n+2=2014,n=2012,其对应方程为1x-2012-1x-2013=1x-2015-1x-2016.
教学研讨
1.分式方程的增根或无解问题
例1：关于x的方程3-2xx-3+2+mx3-x=-1无解,求m的值.
〔解析〕 分式方程无解时有两种情况:①所得整式方程的解恰好是原分式方程的增根;②最后化成整式方程是“0·x=非0常数”的形式.
解:原方程去分母,得
3-2x-(2+mx)=-(x-3).
整理,得(m+1)x=-2.
①当x=3时,原方程无解,此时m=-53;
②当m=-1时,方程(m+1)x=-2无解,即原方程也无解.
故当m=-53或m=-1时,原方程无解.
[解题技巧] 当题目只是说分式方程有增根时,只需对第①种情况进行讨论;当题目说分式方程无解时,则需同时对①②两种情况进行讨论.
2.确定字母系数的取值范围
例2：已知关于x的方程xx-3-2=mx-3有一个正数解,求m的取值范围.
〔解析〕 先根据解分式方程的步骤求出分式方程的解,并根据x>0且x≠3列出不等式,即可求出m的取值范围.
解:方程两边同乘x-3,得:
x-2(x-3)=m,解得x=6-m.
∵x>0且x≠3,
∴6-m>0且6-m≠3,
解得m<6且m≠3.
故m的取值范围是m<6且m≠3.
[解题技巧] 此类题型中要注意x的取值不能是原分式方程的增根,例如此题中易漏掉对x≠3的讨论.