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初中数学4 分式方程教学设计
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这是一份初中数学4 分式方程教学设计，共15页。教案主要包含了学生准备，活动内容，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
知识与技能：通过创设日常生活中的情境,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性.
过程与方法：经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.
情感态度与价值观：通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识.
教学重难点：
【重点】 分式方程的应用.
【难点】 在实际问题中建立分式方程的模型.
教学准备：【学生准备】 复习分式方程的有关知识.
教学过程：
1.新课导入：
导入一:
【活动内容】
1.解分式方程的一般步骤.
2.解方程x+1x-1-4x2-1=1.
3.一元一次方程解应用题的一般步骤.
生1:解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边同乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.
生2:解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,经检验,x=1是原方程的增根,所以原方程无解.
生3:可以简单记为:审——设——列——解——验——答.
[设计意图] 回顾上节课知识,检查学生的掌握情况,引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤,以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.
导入二:
情境:某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%.求这种服装的成本.(要求用多种方法解答)
生1:这种服装的成本为1501+25%=120(元).
生2:设这种服装的成本为x元,根据题意,得x·(1+25%)=150,解得x=120,即这种服装的成本为120元.
生3:设这种服装的成本为x元,根据题意,得150-xx=25%,解得x=120,经检验,x=120是所列方程的解.即这种服装的成本为120元.
[设计意图] 从学生已有知识入手,创设一个发生在学生身边的问题情境,让学生带着任务去学习,激发他们的好奇心和探究问题的兴趣,自然又快捷的揭示本节课要研究的问题,同时启发学生解决问题的策略是多样化的,防止学生形成思维定势.
2.新知构建：
一、引例
[过渡语] 如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢?先请同学们看教材的这个引例.
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
(1)你能找出这一情境的等量关系吗?
(2)根据这一情境你能提出哪些问题?
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?
〔解析〕 引导学生从不同的角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.
解:(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.
第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.
出租房屋间数=所有房屋出租的租金每间的租金.
(2)求出租的房屋总间数;求出第一年每间房屋的租金.(答案不唯一)
(3)设第一年每间房屋的租金是x元,则第二年每间房屋的租金是(x+500)元,根据题意,得:
96000x=102000x+500.
解得x=8000.
经检验,x=8000是所列方程的根.
即第一年每间房屋的租金是8000元.
[设计意图] 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,形成解决问题的一些基本策略,并从中体验解题策略的多样性,培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
二、例题讲解
(教材例3)某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.
〔解析〕 此题的主要等量关系是:
小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量=5 m3.
所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量,而用水量可以用水费除以水的单价得出.
于是,设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年的水价是1+13x元/m3.
填表如下:
解:设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年居民用水的价格是1+13x元/m3.根据题意,得:
301+13x-15x=5.
解这个方程,得x=32.
经检验,x=32是所列方程的根.
32×1+13=2(元/m3).
所以,该市今年居民用水的价格是2元/m3.
[设计意图] 引导学生从不同角度寻求等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识,引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.
(补充例题)某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?
〔解析〕 这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用的时间为 h,提速后列车的平均速度为 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用的时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为sx h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用的时间为s+50x+v h.
根据行驶时间的等量关系,得sx=s+50x+v.
方程两边同乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得x=sv50.
检验:由v,s都是正数,得x=sv50是原方程的根.
所以,原分式方程的解为x=sv50.
答:提速前列车的平均速度为sv50 km/h.
[知识拓展] 列分式方程解应用题的步骤:
(1)审题;
(2)设未知数;
(3)找出相等关系,列出分式方程;
(4)解这个分式方程;
(5)检验,看方程的解是否满足方程并符合题意;
(6)写出答案.
3.课堂小结：
用分式方程解决实际问题应按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
检测反馈：
1.某单位向一所希望小学赠送1080件文具,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为( )
A.1080x=1080x-15+12
B.1080x=1080x-15-12
C.1080x=1080x+15-12
D.1080x=1080x+15+12
解析:由单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个,寻找等量关系,可得方程.故选B.
2.在5月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛,当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 .
解析:根据沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用的时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等,列出方程求解.故填40千米/时.
3.某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6 m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个,且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料.
解:设制作每个乙盒用x m材料,则制作每个甲盒用(1+20%)x m材料,
由题意,得6x-6(1+20%)x=2.
解得x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解,
所以(1+20%)·x=0.6.
答:制作每个甲盒用0.6 m材料,制作每个乙盒用0.5 m材料.
板书设计
第3课时
一、引例
二、例题讲解
6.布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第129页随堂练习.
【选做题】
教材第130页习题5.9的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一项工程,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要4天完成,求两人合作需要的天数.如果设两人合作需要x天完成,那么所列方程是( )
A.x6+x4=2B.6+4=x
C.6+4=1xD.16+14=1x
2.A,B两地相距1350 km,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟,已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶3,求两车的速度.设大汽车的速度为3x km/h,则小汽车的速度为5x km/h,所列方程是( )
A.13503x+12=13505x+5
B.13503x-12=13505x+5
C.13503x-12=13505x-5
D.13503x+12=13505x-5
3.在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了90下,小群跳了120下,已知小群每分钟比小林多跳20下,设小林每分钟跳x下,则可列方程为 .
4.甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工作效率相同,结果提前两天完成任务,设甲计划完成此项工作的天数是x,则x的值是 .
【能力提升】
5.小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家,她去时经过环湾高速公路,全程约84千米,返回时经过跨海大桥,全程约45千米.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍,所用时间却比返回时多20分钟.求小丽所乘汽车返回时的平均速度.
6.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,若甲单独整理需要40分钟完工,若甲、乙共同整理20分钟后,乙需要再单独整理20分钟才能完工.
(1)乙单独整理需要多少分钟完工?
(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
7.某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台,由于改进了技术,每天生产的台数比原计划多50%,结果提前两天完成任务.求改进技术后每天生产通讯设备多少台.
8.一列火车从车站开出,预计行程为450千米,当它出发3小时后,因特殊情况而多停一站,因此耽误30分钟,后来把速度提高了20%,结果准时到达目的地,求这列火车原来的速度.
9.李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家取道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
【拓展探究】
10.端午节前夕,小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同,每个咸鸭蛋的价格相同).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元,花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同,求粽子与咸鸭蛋的价格各是多少.
【答案与解析】
1.D
2.A(解析:由大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟列方程可得.故选A.)
3.120x+20=90x
4.6(解析:由提前两天完成任务得到等量关系,列方程x-2x+x-4x=1,解得x=6.故填6.)
5.解:设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/
时,根据题意,得841.2x-45x=2060.解这个方程,得x=75,经检验,x=75是原方程的解.答:小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时.
6.解:(1)设乙单独整理需要x分钟完工,根据题意,得2040+20+20x=1.解得x=80.经检验,x=80是原分式方程的解.答:乙单独整理需要80分钟完工. (2)设甲至少整理y分钟才能完工,根据题意,得3080+y40≥1.解得y≥25.答:甲至少整理25分钟才能完工.
7.解:设改进技术前每天生产x台,根据题意,得60x=601.5x+2.解得x=10.经检验,x=10是原方程的解,则1.5x=15.所以改进技术后每天生产通讯设备15台.
8.解:设这列火车原来的速度为x千米/时,根据题意,得450x=3+12+450-3x(1+20%)x,解得x=75.经检验,x=75是原方程的解.所以这列火车原来的速度为75千米/时.
9.解:(1)设步行的速度为x米/分,则骑自行车的速度为3x米/分.根据题意,得2100x=21003x+20,解得x=70.经检验,x=70是原分式方程的解.答:李明步行的速度为70米/分. (2)根据题意,得210070+21003×70+1=41<42,所以李明能在联欢会开始前赶到学校.
10.解:设咸鸭蛋的价格为x元/个,则粽子的价格为(1.8+x)元/个,根据题意,得30x+1.8=12x,去分母,得30x=12x+21.6,解得x=1.2,经检验,x=1.2是分式方程的解,且符合题意.1.8+x=1.8+1.2=3(元),故咸鸭蛋的价格为1.2元/个,粽子的价格为3元/个.
教学反思：
成功之处：本节课循序渐进,合理设计教学问题,有效地组织教学活动,既发挥教师的主导作用,又体现学生的主体地位,较好地完成了教学目标.
不足之处：个别学生对实际应用题的理解不够清晰,影响了列方程的正确性.
再教设计：教学中应结合具体的教学内容采用“想问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义,掌握必要的基础知识与基本技能,提高应用数学知识的意识与能力,提高学好数学的信心.
教材习题解答
随堂练习(教材第129页)
解:设这种文学书的价格为x元,则科普书的价格为1.5x元,根据题意,得15x=151.5x+1,解得x=5,经检验,x=5是原方程的解,1.5x=7.5,所以这种科普书和文学书的价格分别是7.5元和5元.
习题5.9(教材第130页)
1.解:设甲种原料的单价为2x元,则乙种原料的单价为3x元,根据题意,得20002x+10003x=2000+10009,解得x=4.经检验,x=4是原方程的解,2x=8,故甲种原料的单价为8元.
2.解:设这种服装的成本价为每件x元,根据题意,得150-xx=25%,解得x=120.经检验,x=120是原方程的解,故这种服装的成本价为每件120元.
3.解:设乙每小时加工这种零件x个,则甲每小时加工这种零件(x+10)个,根据题意,得150x+10=120x,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解,x+10=50.所以甲每小时加工这种零件50个,乙每小时加工这种零件40个.
复习题(教材第131页)
1.提示:(1)-c7ab. (2)-a+2a. (3)x-42.
2.提示:(1)13x. (2)-a2x2. (3)原式=5(x-y)3x2y·9xy2(x+y)(x-y)=15yx(x+y). (4)原式=(a+b)(a-b)4a(a+3b)·a+3ba-b=a+b4a.
3.解:(1)c2-a2abc. (2)6x2-9. (3)2a+1. (4)a+bab(a-b). (5)m2m+1. (6)-m+2n2m2n.
4.提示:(1)x=0. (2)无解. (3)x=-13.
5.解:(1)设m=5k,n=3k,k≠0,原式=m(m-n)+m(m+n)m2-n2-n2m2-n2=2m2-n2m2-n2=50k2-9k225k2-9k2=4116. (2)因为x+1x2=4,所以x2+2+1x2=4,所以x2+1x2=2. (3)Ax-1+Bx-2=A(x-2)(x-1)(x-2)+B(x-1)(x-1)(x-2)=(A+B)x-(2A+B)(x-1)(x-2),所以A+B=3,2A+B=4,解得A=1,B=2.
6.解:(1)当x取不等于1的任何实数时,分式都有意义. (2)当x取不等于1的任何实数时, 分式都有意义. (3)当x取不等于0的任何实数时,分式都有意义.
7.解:不对.因为x2x=x应用了分式的基本性质:分子、分母都除以同一个不为0的x,分式的值不变,所以x≠0.
8.解:a=b,且a≠-1.
9.提示:(1)a1-x%. (2)ma+nbm+n.
10.解:设客车原来的平均速度为x km/h,则新修的高速公路开通后,客车的平均速度为(1+50%)x km/h.根据题意,得360x-360(1+50%)x=2,解得x=60.经检验,x=60是原方程的解.所以客车原来的平均速度为60 km/h.
11.解:设慢车的速度为x km/h,则快车的速度为1.2x km/h.根据题意,得120x-1201.2x=12,解得x=40.经检验,x=40是原方程的解.所以慢车的速度为40 km/h.
12.解:设采用新工艺前每小时加工x个零件,则采用新工艺后每小时加工1.3x个零件.根据题意,得1300x-13001.3x=10,解得x=30.经检验,x=30是原方程的解×30=39.所以采用新工艺前、后每小时分别加工零件30个和39个.
13.解:(1)这个学校八年级的学生总数大于240人,但不大于300人. (2)设这个学校八年级有x名学生,根据题意,得120x×300=120x+60×360,解得x=300.经检验,x=300是原方程的解.所以这个学校八年级有300名学生.
14.解:设第一批购进这种衬衫x件,则第二批购进这种衬衫2x件,根据题意,得1760002x-80000x=4,解得x=2000.经检验,x=2000是原方程的解.58×(2000+2×2000-150)+80%×58×150-80000-176000=90260(元).所以商厦共盈利90260元.
15.解:(1)他来回一趟所需的时间t=lx+n+lx-n. (2)l=(x2-n2)t2x.
16.解:标价比成本高p%的含义是:标价=成本×(1+p%).降价幅度最多为d%的含义是:最低价(成本)=标价×(1-d%).由题意可得d=100p100+p.
17.解:甲购买饲料的平均单价是m+n2元/kg.乙购买饲料的平均单价是2mnm+n元/kg.乙购买饲料的平均单价较低.
18.解:(1)增大了,因为ab-a+1b+1=a-bb(b+1)<0. (2)所得分式的值增大了. (3)所得分式的值增大了.(理由略)
备课资源
教学建议
列分式方程解应用题时要注意检验:一是要检验所求的解是否是原方程的解;二是要检验所求的解是否符合题意.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,正确列出方程,再进行求解.另外,还要注意从多角度去思考、分析.注意检验和解释结果的合理性.
经典例题
例题：金泉街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标.接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天;
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预算的施工费用为50万元,为缩短工期,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.
解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要23x天,根据题意,得
1023x+30123x+1x=1,
解得x=90.
经检验,x=90是原方程的解,且符合题意.
所以23x=60,即甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天.
(2)不够用,应追加0.4万元.理由如下:设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,
则有y160+190=1,解得y=36,
需施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元),
因为50.4>50,所以工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.
去年12月
今年7月
水费(元)
15
30
用水价格(元/m3)
x
1+13x
用水量(m3)
15x
301+13x
教学目标：
知识与技能：通过创设日常生活中的情境,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性.
过程与方法：经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.
情感态度与价值观：通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识.
教学重难点：
【重点】 分式方程的应用.
【难点】 在实际问题中建立分式方程的模型.
教学准备：【学生准备】 复习分式方程的有关知识.
教学过程：
1.新课导入：
导入一:
【活动内容】
1.解分式方程的一般步骤.
2.解方程x+1x-1-4x2-1=1.
3.一元一次方程解应用题的一般步骤.
生1:解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边同乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.
生2:解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,经检验,x=1是原方程的增根,所以原方程无解.
生3:可以简单记为:审——设——列——解——验——答.
[设计意图] 回顾上节课知识,检查学生的掌握情况,引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤,以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.
导入二:
情境:某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%.求这种服装的成本.(要求用多种方法解答)
生1:这种服装的成本为1501+25%=120(元).
生2:设这种服装的成本为x元,根据题意,得x·(1+25%)=150,解得x=120,即这种服装的成本为120元.
生3:设这种服装的成本为x元,根据题意,得150-xx=25%,解得x=120,经检验,x=120是所列方程的解.即这种服装的成本为120元.
[设计意图] 从学生已有知识入手,创设一个发生在学生身边的问题情境,让学生带着任务去学习,激发他们的好奇心和探究问题的兴趣,自然又快捷的揭示本节课要研究的问题,同时启发学生解决问题的策略是多样化的,防止学生形成思维定势.
2.新知构建：
一、引例
[过渡语] 如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢?先请同学们看教材的这个引例.
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
(1)你能找出这一情境的等量关系吗?
(2)根据这一情境你能提出哪些问题?
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?
〔解析〕 引导学生从不同的角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.
解:(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.
第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.
出租房屋间数=所有房屋出租的租金每间的租金.
(2)求出租的房屋总间数;求出第一年每间房屋的租金.(答案不唯一)
(3)设第一年每间房屋的租金是x元,则第二年每间房屋的租金是(x+500)元,根据题意,得:
96000x=102000x+500.
解得x=8000.
经检验,x=8000是所列方程的根.
即第一年每间房屋的租金是8000元.
[设计意图] 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,形成解决问题的一些基本策略,并从中体验解题策略的多样性,培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
二、例题讲解
(教材例3)某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.
〔解析〕 此题的主要等量关系是:
小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量=5 m3.
所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量,而用水量可以用水费除以水的单价得出.
于是,设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年的水价是1+13x元/m3.
填表如下:
解:设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年居民用水的价格是1+13x元/m3.根据题意,得:
301+13x-15x=5.
解这个方程,得x=32.
经检验,x=32是所列方程的根.
32×1+13=2(元/m3).
所以,该市今年居民用水的价格是2元/m3.
[设计意图] 引导学生从不同角度寻求等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识,引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.
(补充例题)某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?
〔解析〕 这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用的时间为 h,提速后列车的平均速度为 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用的时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为sx h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用的时间为s+50x+v h.
根据行驶时间的等量关系,得sx=s+50x+v.
方程两边同乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得x=sv50.
检验:由v,s都是正数,得x=sv50是原方程的根.
所以,原分式方程的解为x=sv50.
答:提速前列车的平均速度为sv50 km/h.
[知识拓展] 列分式方程解应用题的步骤:
(1)审题;
(2)设未知数;
(3)找出相等关系,列出分式方程;
(4)解这个分式方程;
(5)检验,看方程的解是否满足方程并符合题意;
(6)写出答案.
3.课堂小结：
用分式方程解决实际问题应按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
检测反馈：
1.某单位向一所希望小学赠送1080件文具,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为( )
A.1080x=1080x-15+12
B.1080x=1080x-15-12
C.1080x=1080x+15-12
D.1080x=1080x+15+12
解析:由单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个,寻找等量关系,可得方程.故选B.
2.在5月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛,当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 .
解析:根据沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用的时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等,列出方程求解.故填40千米/时.
3.某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6 m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个,且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料.
解:设制作每个乙盒用x m材料,则制作每个甲盒用(1+20%)x m材料,
由题意,得6x-6(1+20%)x=2.
解得x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解,
所以(1+20%)·x=0.6.
答:制作每个甲盒用0.6 m材料,制作每个乙盒用0.5 m材料.
板书设计
第3课时
一、引例
二、例题讲解
6.布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第129页随堂练习.
【选做题】
教材第130页习题5.9的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一项工程,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要4天完成,求两人合作需要的天数.如果设两人合作需要x天完成,那么所列方程是( )
A.x6+x4=2B.6+4=x
C.6+4=1xD.16+14=1x
2.A,B两地相距1350 km,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟,已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶3,求两车的速度.设大汽车的速度为3x km/h,则小汽车的速度为5x km/h,所列方程是( )
A.13503x+12=13505x+5
B.13503x-12=13505x+5
C.13503x-12=13505x-5
D.13503x+12=13505x-5
3.在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了90下,小群跳了120下,已知小群每分钟比小林多跳20下,设小林每分钟跳x下,则可列方程为 .
4.甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工作效率相同,结果提前两天完成任务,设甲计划完成此项工作的天数是x,则x的值是 .
【能力提升】
5.小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家,她去时经过环湾高速公路,全程约84千米,返回时经过跨海大桥,全程约45千米.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍,所用时间却比返回时多20分钟.求小丽所乘汽车返回时的平均速度.
6.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,若甲单独整理需要40分钟完工,若甲、乙共同整理20分钟后,乙需要再单独整理20分钟才能完工.
(1)乙单独整理需要多少分钟完工?
(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
7.某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台,由于改进了技术,每天生产的台数比原计划多50%,结果提前两天完成任务.求改进技术后每天生产通讯设备多少台.
8.一列火车从车站开出,预计行程为450千米,当它出发3小时后,因特殊情况而多停一站,因此耽误30分钟,后来把速度提高了20%,结果准时到达目的地,求这列火车原来的速度.
9.李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家取道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
【拓展探究】
10.端午节前夕,小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同,每个咸鸭蛋的价格相同).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元,花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同,求粽子与咸鸭蛋的价格各是多少.
【答案与解析】
1.D
2.A(解析:由大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟列方程可得.故选A.)
3.120x+20=90x
4.6(解析:由提前两天完成任务得到等量关系,列方程x-2x+x-4x=1,解得x=6.故填6.)
5.解:设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/
时,根据题意,得841.2x-45x=2060.解这个方程,得x=75,经检验,x=75是原方程的解.答:小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时.
6.解:(1)设乙单独整理需要x分钟完工,根据题意,得2040+20+20x=1.解得x=80.经检验,x=80是原分式方程的解.答:乙单独整理需要80分钟完工. (2)设甲至少整理y分钟才能完工,根据题意,得3080+y40≥1.解得y≥25.答:甲至少整理25分钟才能完工.
7.解:设改进技术前每天生产x台,根据题意,得60x=601.5x+2.解得x=10.经检验,x=10是原方程的解,则1.5x=15.所以改进技术后每天生产通讯设备15台.
8.解:设这列火车原来的速度为x千米/时,根据题意,得450x=3+12+450-3x(1+20%)x,解得x=75.经检验,x=75是原方程的解.所以这列火车原来的速度为75千米/时.
9.解:(1)设步行的速度为x米/分,则骑自行车的速度为3x米/分.根据题意,得2100x=21003x+20,解得x=70.经检验,x=70是原分式方程的解.答:李明步行的速度为70米/分. (2)根据题意,得210070+21003×70+1=41<42,所以李明能在联欢会开始前赶到学校.
10.解:设咸鸭蛋的价格为x元/个,则粽子的价格为(1.8+x)元/个,根据题意,得30x+1.8=12x,去分母,得30x=12x+21.6,解得x=1.2,经检验,x=1.2是分式方程的解,且符合题意.1.8+x=1.8+1.2=3(元),故咸鸭蛋的价格为1.2元/个,粽子的价格为3元/个.
教学反思：
成功之处：本节课循序渐进,合理设计教学问题,有效地组织教学活动,既发挥教师的主导作用,又体现学生的主体地位,较好地完成了教学目标.
不足之处：个别学生对实际应用题的理解不够清晰,影响了列方程的正确性.
再教设计：教学中应结合具体的教学内容采用“想问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义,掌握必要的基础知识与基本技能,提高应用数学知识的意识与能力,提高学好数学的信心.
教材习题解答
随堂练习(教材第129页)
解:设这种文学书的价格为x元,则科普书的价格为1.5x元,根据题意,得15x=151.5x+1,解得x=5,经检验,x=5是原方程的解,1.5x=7.5,所以这种科普书和文学书的价格分别是7.5元和5元.
习题5.9(教材第130页)
1.解:设甲种原料的单价为2x元,则乙种原料的单价为3x元,根据题意,得20002x+10003x=2000+10009,解得x=4.经检验,x=4是原方程的解,2x=8,故甲种原料的单价为8元.
2.解:设这种服装的成本价为每件x元,根据题意,得150-xx=25%,解得x=120.经检验,x=120是原方程的解,故这种服装的成本价为每件120元.
3.解:设乙每小时加工这种零件x个,则甲每小时加工这种零件(x+10)个,根据题意,得150x+10=120x,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解,x+10=50.所以甲每小时加工这种零件50个,乙每小时加工这种零件40个.
复习题(教材第131页)
1.提示:(1)-c7ab. (2)-a+2a. (3)x-42.
2.提示:(1)13x. (2)-a2x2. (3)原式=5(x-y)3x2y·9xy2(x+y)(x-y)=15yx(x+y). (4)原式=(a+b)(a-b)4a(a+3b)·a+3ba-b=a+b4a.
3.解:(1)c2-a2abc. (2)6x2-9. (3)2a+1. (4)a+bab(a-b). (5)m2m+1. (6)-m+2n2m2n.
4.提示:(1)x=0. (2)无解. (3)x=-13.
5.解:(1)设m=5k,n=3k,k≠0,原式=m(m-n)+m(m+n)m2-n2-n2m2-n2=2m2-n2m2-n2=50k2-9k225k2-9k2=4116. (2)因为x+1x2=4,所以x2+2+1x2=4,所以x2+1x2=2. (3)Ax-1+Bx-2=A(x-2)(x-1)(x-2)+B(x-1)(x-1)(x-2)=(A+B)x-(2A+B)(x-1)(x-2),所以A+B=3,2A+B=4,解得A=1,B=2.
6.解:(1)当x取不等于1的任何实数时,分式都有意义. (2)当x取不等于1的任何实数时, 分式都有意义. (3)当x取不等于0的任何实数时,分式都有意义.
7.解:不对.因为x2x=x应用了分式的基本性质:分子、分母都除以同一个不为0的x,分式的值不变,所以x≠0.
8.解:a=b,且a≠-1.
9.提示:(1)a1-x%. (2)ma+nbm+n.
10.解:设客车原来的平均速度为x km/h,则新修的高速公路开通后,客车的平均速度为(1+50%)x km/h.根据题意,得360x-360(1+50%)x=2,解得x=60.经检验,x=60是原方程的解.所以客车原来的平均速度为60 km/h.
11.解:设慢车的速度为x km/h,则快车的速度为1.2x km/h.根据题意,得120x-1201.2x=12,解得x=40.经检验,x=40是原方程的解.所以慢车的速度为40 km/h.
12.解:设采用新工艺前每小时加工x个零件,则采用新工艺后每小时加工1.3x个零件.根据题意,得1300x-13001.3x=10,解得x=30.经检验,x=30是原方程的解×30=39.所以采用新工艺前、后每小时分别加工零件30个和39个.
13.解:(1)这个学校八年级的学生总数大于240人,但不大于300人. (2)设这个学校八年级有x名学生,根据题意,得120x×300=120x+60×360,解得x=300.经检验,x=300是原方程的解.所以这个学校八年级有300名学生.
14.解:设第一批购进这种衬衫x件,则第二批购进这种衬衫2x件,根据题意,得1760002x-80000x=4,解得x=2000.经检验,x=2000是原方程的解.58×(2000+2×2000-150)+80%×58×150-80000-176000=90260(元).所以商厦共盈利90260元.
15.解:(1)他来回一趟所需的时间t=lx+n+lx-n. (2)l=(x2-n2)t2x.
16.解:标价比成本高p%的含义是:标价=成本×(1+p%).降价幅度最多为d%的含义是:最低价(成本)=标价×(1-d%).由题意可得d=100p100+p.
17.解:甲购买饲料的平均单价是m+n2元/kg.乙购买饲料的平均单价是2mnm+n元/kg.乙购买饲料的平均单价较低.
18.解:(1)增大了,因为ab-a+1b+1=a-bb(b+1)<0. (2)所得分式的值增大了. (3)所得分式的值增大了.(理由略)
备课资源
教学建议
列分式方程解应用题时要注意检验:一是要检验所求的解是否是原方程的解;二是要检验所求的解是否符合题意.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,正确列出方程,再进行求解.另外,还要注意从多角度去思考、分析.注意检验和解释结果的合理性.
经典例题
例题：金泉街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标.接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天;
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预算的施工费用为50万元,为缩短工期,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.
解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要23x天,根据题意,得
1023x+30123x+1x=1,
解得x=90.
经检验,x=90是原方程的解,且符合题意.
所以23x=60,即甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天.
(2)不够用,应追加0.4万元.理由如下:设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,
则有y160+190=1,解得y=36,
需施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元),
因为50.4>50,所以工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.
去年12月
今年7月
水费(元)
15
30
用水价格(元/m3)
x
1+13x
用水量(m3)
15x
301+13x
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