2020-2021学年广东珠海高三上数学月考试卷 (1)

这是一份2020-2021学年广东珠海高三上数学月考试卷 (1)，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A=x|y=4−x2，B=x|y=lnx+1，则A∩B=( )
A.−2,2B.−2,2C.−1,2D.−1,2

2. 设函数f(x)=−x+1，x≤0，2x，x>0， 则ff−2=( )
A.−8B.−6C.6D.8

3. 函数fx=xex+e−x的图象大致为 ( )
A.B.
C.D.

4. 已知fx=x2lnx+1，则曲线y=fx在x=1处的切线方程为( )
A.y=−xB.y=−x+2C.y=xD.y=x−2

5. 已知偶函数f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式(x−3)f(x−3)>0的解集为( )
A.(−∞, 1)∪(3, 5)B.(−∞, −2)∪(1, 2)C.(−2, 0)∪(2, +∞)D.(1, 3)∪(5, +∞)

6. 已知i为虚数单位，若11−i=a+bi(a, b∈R)，则ab=( )
A.1B.2C.22D.2

7. 已知某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表所示：
从散点图分析，y与x线性相关，且y=0.95x+a，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.2.6万元B.7.3万元C.8.3万元D.9.3万元

8. (x2−2x−3)(x+2)5的展开式中，x5项的系数为( )
A.−23B.17C.20D.63

9. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)A.(−2, +∞)B.(0, +∞)C.(1, +∞)D.(4, +∞)

10. 2021年湖北省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理与化学，并且他们都对政治、地理、生物三科没有偏好，则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为( )
A.16B.512C.58D.49
二、多选题

若2x+110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则下列等式成立的是( )
A.a0=1B.a0=0
C.a0+a1+a2+⋯+a10=310D.a0+a1+a2+⋯+a10=3

定义在R上的奇函数fx满足fx−3=−fx，当x∈0,3时，fx=x2−3x，下列等式成立的是 ( )
A.f2019+f2020=f2021B.f2019+f2021=f2020
C.2f2019+f2020=f2021D.f2019=f2020+f2021
三、填空题

已知函数fx=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极小值10，则ba的值为________.

已知函数f(x)=lg2(x+1)(x>0)，−x2−2x(x≤0)， 若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

1lg0.1+lne3= ________；0.062514+614−−π0−3338=________.

函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，且在0,+∞上为减函数，则实数m的值为________.
四、解答题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=19，S5=55．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{1anan+1}的前n项和Tn．

已知函数fx=lnx+ax2−3x的图象在点1,f1处的切线平行于x轴．
(1)求实数a的值；

(2)求函数fx的极值．

2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？

(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．

已知函数f(x)=2x+alnx(a>0)．
(1)若函数y=f(x)图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若关于x的不等式f(x)<2有解，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东珠海高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
交集及其运算
【解析】
先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：集合 A=x|y=4−x2，B=x|y=lnx+1，
故A=−2,2，B=−1,+∞，
∴ A∩B=(−1,2].
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)=−x+1，x≤0，2x，x>0，
∴ f(−2)=2+1=3，
∴ f(f(−2))=f(3)=23=8.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数的定义域为R， f−x=−fx，
所以函数fx为奇函数，图象关于原点对称，排除B；
因为f−1<0，排除D；
因为当x→+∞时，fx→0，排除C.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f′x=2xlnx+x，
f′1=1，f1=1，
所以曲线y=fx在x=1处的切线方程为y=x.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可．
【解答】
解：∵ 偶函数f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，
∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递减.
∵ f(−2)=0，
∴ f(2)=0.
不等式(x−3)f(x−3)>0等价于x−3>0,f(x−3)>f(2) 或x−3<0,f(x−3)即x−3>0,x−3<2或x−3<0,x−3<−2,
解得3即不等式(x−3)f(x−3)>0解集为(−∞, 1)∪(3, 5).
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数相等的充要条件
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a与b的值，则答案可求．
【解答】
解：由11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i=a+bi，
得a=b=12，
∴ ab=1212=22．
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把6代入，预报出结果．
【解答】
解：由题意，x¯=0+1+3+44=2，
y¯=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5，
∴ 样本中心点为(2, 4.5).
∵ 数据的样本中心点在线性回归直线y=0.95x+a上，
∴ 4.5=0.95×2+a，
∴ a=2.6，
∴ x=6时，y=0.95×6+2.6=8.3(万元)．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
根据题意，利用(x+2)5的展开式中的通项Tr+1=∁5rx5−r⋅2r，通过对r取值即可求得(x2−2x−3)(x+2)5的展开式中，含x5项的系数．
【解答】
解：∵ (x+2)5的展开式通项公式为：Tr+1=C5rx5−r⋅2r，
令r分别取0，1，2，
∴ 展开式中含x5项为−3x5−2x×5×2x4+x2×(10×22x3)=17x5，
∴ 含x5项的系数是17．
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数g(x)=f(x)ex，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．
【解答】
解：构造函数g(x)=f(x)ex，则函数的导数为
g′(x)=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2，
∵ f′(x)∴ g′(x)<0，
即g(x)在R上单调递减.
又∵ f(0)=2，
∴ g(0)=f(0)e0=2，
则不等式f(x)−2ex<0化为f(x)ex<2，
它等价于g(x)<2，
即g(x)∴ x>0，
即所求不等式的解集为(0, +∞)．
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意甲、乙、丙、丁4人选课包含基本事件总数n=C31C31C31C31=81，
则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同包含的基本事件个数m=C42A33=36，
所以甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率P=C42A33C31C31C31C31=3681=49.
故选D．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令x=0，解得a0=110=1.
令x=1，解得a0+a1+a2+⋯+a10=2+110=310.
故选AC．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为定义在R上的奇函数fx，
所以f−x=−fx.
因为fx−3=−fx，
所以fx=−fx+3，
所以fx+6=fx，
所以fx是周期为6的周期函数.
因为当x∈0,3时， fx=x2−3x，
所以f3=0，f2=−2，f1=−2，
所以f2019=f336×6+3=f3=0，
f2020=f337×6−2=f−2=−f2=2，
f2021=f337×6−1=f−1=−f1=2，
所以f2019+f2020=0+2=f2021，A正确；
f2019+f2021=0+2=f2020，B正确；
2f2019+f2020=2×0+2=f2021，C正确；
f2019=0≠f2020+f2021=2+2=4，D错误.
故选ABC．
三、填空题
【答案】
−12
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： ∵1,10在函数上，代入可得f1=1+a+b−a2−7a=10．
f′x=3x2+2ax+b，且f(x)在x=1处取得极小值，
∴ f′1=3+2a+b=0.
联立1+a+b−a2−7a=10，3+2a+b=0，
解得a=−2，b=1或a=−6，b=9.
当a=−2，b=1时， f′x=3x2−4x+1，
令f′x>0，解得x∈−∞,13∪1,+∞，
令f′x<0，解得x∈13,1，
∴ fx在−∞,13，1,+∞上单调递增，在13,1上单调递减，
∴ f(x)在x=1时取得极小值，满足题意；
当a=−6，b=9时， f′x=3x2−12x+9，
令f′x>0，解得x∈−∞,1∪3,+∞，
令f′x<0，解得x∈1,3，
∴ fx在−∞,1，3,+∞上单调递增，在1,3上单调递减．
此时f(x)在x=1时取得极大值，不满足题意.
综上，只有a=−2，b=1时满足题意，
此时ba=−12.
故答案为：−12.
【答案】
(0, 1)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．
【解答】
解：将函数y=lg2xx>0的图象向左移动一个单位，
可得函数fx在区间0,+∞上为单调递增函数，且fx>0.
因为二次函数fx=−x2−2x=−x+12+1在−∞,−1上单调递增，且fx<1，
在−1,0上单调递减且0≤fx≤1.
令g(x)=f(x)−m=0，
得m=f(x)，
作出y=f(x)与y=m的图象，如图所示：
要使函数g(x)=f(x)−m有3个零点，
则y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0故答案为：(0, 1)．
【答案】
2,0.5
【考点】
对数及其运算
有理数指数幂的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1lg0.1+lne3=1−1+3=2 ，
0.062514+614−−π0−3338
=0.5+254−1−3278
=0.5+2.5−1−1.5=0.5.
故答案为：2；0.5.
【答案】
−1
【考点】
幂函数的性质
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，
要使函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，
则m2−m−1=1，
解得m=2或m=−1.
当m=2时，m2+m−3=3，
y=x3在(0, +∞)上是增函数，不满足题意；
当m=−1时，m2+m−3=−3，
y=x−3在(0, +∞)上是减函数，满足题意.
故答案为：−1.
四、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵ a5=19，S5=55，
∴ a1+4d=19，5a1+5×4d2=55，得a1=3，d=4，
∴ an=4n−1．
即数列{an}的通项公式为an=4n−1.
(2)∵ 1anan+1=1(4n−1)(4n+3)
=14(14n−1−14n+3)，
∴Tn=14(13−17+17−111+…+
14n−1−14n+3)
=n3(4n+3).
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．
【解答】
解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵ a5=19，S5=55，
∴ a1+4d=19，5a1+5×4d2=55，得a1=3，d=4，
∴ an=4n−1．
即数列{an}的通项公式为an=4n−1.
(2)∵ 1anan+1=1(4n−1)(4n+3)
=14(14n−1−14n+3)，
∴Tn=14(13−17+17−111+…+
14n−1−14n+3)
=n3(4n+3).
【答案】
解：(1)依题意得f′x=1x+2ax−3，
∴ f′1=1+2a−3=0，
解得a=1.
(2)由(1)得f′x=2x2−3x+1x=2x−1x−1x，
函数fx的定义域为0,+∞.
令f′x=0，得x=12或x=1.
当x∈0,12∪1,+∞时， f′x>0，
当x∈12,1时， f′x<0，
∴ fx在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
故函数fx的极小值为f1=−2，
极大值为f12=−ln2−54.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意得f′x=1x+2ax−3，
∴ f′1=1+2a−3=0，
解得a=1.
(2)由(1)得f′x=2x2−3x+1x=2x−1x−1x，
函数fx的定义域为0,+∞.
令f′x=0，得x=12或x=1.
当x∈0,12∪1,+∞时， f′x>0，
当x∈12,1时， f′x<0，
∴ fx在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
故函数fx的极小值为f1=−2，
极大值为f12=−ln2−54.
【答案】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
独立性检验
【解析】
（1）补充完整的列联表，求出K2≈16.67>10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
【解答】
解：(1)补充完整的列联表如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(20×10−40×30)260×40×50×50
≈16.67>10.828，
∴ 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C22C62=115，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C42C62=25，
∴ X的分布列为：
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．
【答案】
解：(1)f′(x)=−2x2+ax(x>0)，
∵ a>0，
∴ 当1x=a4时，f′(x)取最大值a28，
∴ a28=2.
∵ a>0，
∴ a=4.
此时f′(x)=−2x2+4x=4x−2x2，
在(0, 12)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(12, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增.
∴ f(x)的单调递减区间为(0, 12).
(2)∵ f′(x)=ax−2x2，其中x>0且a>0，
∴ 在(0, 2a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(2a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴ f(x)≥f(2a)=a+aln2a．
∵ 关于x的不等式f(x)<2有解，
∴ a+aln2a<2.
∵ a>0，
∴ ln2a+1−2a<0.
令g(x)=lnx+1−x，
∴ g′(x)=1x−1=1−xx，
在(0, 1)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(1, +∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴ g(x)≤g(1)=0，
∴ ln2a+1−2a<0等价于2a>0且2a≠1，
∴ a的取值范围是a>0且a≠2．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′(x)=−2x2+ax(x>0)，
∵ a>0，
∴ 当1x=a4时，f′(x)取最大值a28，
∴ a28=2.
∵ a>0，
∴ a=4.
此时f′(x)=−2x2+4x=4x−2x2，
在(0, 12)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(12, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增.
∴ f(x)的单调递减区间为(0, 12).
(2)∵ f′(x)=ax−2x2，其中x>0且a>0，
∴ 在(0, 2a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(2a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴ f(x)≥f(2a)=a+aln2a．
∵ 关于x的不等式f(x)<2有解，
∴ a+aln2a<2.
∵ a>0，
∴ ln2a+1−2a<0.
令g(x)=lnx+1−x，
∴ g′(x)=1x−1=1−xx，
在(0, 1)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(1, +∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴ g(x)≤g(1)=0，
∴ ln2a+1−2a<0等价于2a>0且2a≠1，
∴ a的取值范围是a>0且a≠2．x（万元）
0
1
3
4
y（万元）
2.2
4.3
4.8
6.7
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
815
25
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
P
115
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