2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷

这是一份2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A=x|x2−4≤0，B=x|2x+a≤0，且A∩B=x|−2≤x≤1，则a=( )
A.−4B.−2C.2D.4

2. 函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1

3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：​∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

4. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A.10名B.18名C.24名D.32名

6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A.2种B.3种C.6种D.8种

7. x+y2xx+y5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A.5B.10C.15D.20

8. 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)=x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有f(x)≥−89，则m的取值范围是( )
A.(−∞, 94]B.(−∞, 73]C.(−∞, 52]D.(−∞, 83]
二、多选题

我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

“关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.0
已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A.a2+b2≥12 B.2a−b>12
C.lg2a+lg2b≥−2D.a+b≤2

已知ax2+1xna>0的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
三、填空题

已知二项式(2x+x)5，则展开式中x3的系数为________．

甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是________．

设函数f(x)=exx+a，若f′(1)=e4，则a=________.

从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有________个；其中奇数有________个．
四、解答题

某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23,34,35，他们出线与未出线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；

(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

1证明：MN//平面C1DE;

2求二面角A−MA1−N的正弦值.

已知函数fx=ex+ax2−x.
(1)当a=1时，讨论fx的单调性；

(2)当x≥0时，fx≥12x3+1，求a的取值范围．

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位： μg/m3），得下表：

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过$150"$的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附： K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d

已知函数fx=aex−1−lnx+lna.
(1)当a=e时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若fx≥1，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
一元二次不等式的解法
【解析】
根据二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得关于a的方程，解方程可得a．
【解答】
解：由已知得A=x|−2≤x≤2，B=x|x≤−a2，
又因为A∩B=x|−2≤x≤1，
所以有−a2=1，
从而a=−2.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】
解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，
∴ f′(1)=4−6=−2.
又f(1)=1−2=−1，
∴ 函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，
即y=−2x+1．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
散点图
【解析】
将散点图近似判断为所学函数图象，根据近似函数图象选择合适的回归方程即可.
【解答】
解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
y=a+blnx.
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.
【解答】
解：求解二次不等式a2>a可得：a>1或a<0，
据此可知：a>1是a2>a的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
生活中概率应用
【解析】
由题意可得至少需要志愿者为1600+500−120050=18名.
【解答】
解：积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，即次日产生新的订单不超过1600份的概率为0.95.其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份新订单的配货，即需要志愿者配货的订单为500+400=900份，故需要900÷50=18名志愿者．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．
【解答】
解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：C32A22=6．
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
先写出(x+y)5的通项公式，分别与(x+y2x)中的每一项相乘从而求得x3y3的系数.
【解答】
解：x+y5的通项公式为C5rx5−ryr(r=0，1，2，3，4，5)，
所以r=1时，y2xC51x4y=5x3y3，
r=3时，xC53x2y3=10x3y3，
所以x3y3的系数为15.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
函数与方程的综合运用
分段函数的应用
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
因为f(x+1)＝2f(x)，∴ f(x)＝2f(x−1)，分段求解析式，结合图象可得．
【解答】
解：∵ f(x+1)=2f(x)，
∴ f(x)=2f(x−1).
∵ x∈(0, 1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14, 0]，
∴ x∈(1, 2]时，x−1∈(0, 1],
f(x)=2f(x−1)=2(x−1)(x−2)∈[−12, 0]，
∴ x∈(2, 3]时，x−1∈(1, 2]，
f(x)=2f(x−1)=4(x−2)(x−3)∈[−1, 0].
作出函数f(x)的图象：
当x∈(2, 3]时，由4(x−2)(x−3)=−89，
解得x=73或x=83，
若对任意x∈(−∞, m]，都有f(x)≥−89，
则m≤73．
故选B.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
根据折线图给出信息判断即可.
【解答】
解：从第1天到第7天复产指数逐日增加，从第7天到第9天复产指数逐日减少，从第9天到第11天复产指数逐日增加，同样，复工指数也分别在第1天到第2天，第7天到第8天，第10天到第11天逐日减少，所以A选项错；
从图中可以看出这11天期间，复工指数增量略大于复产指数的增量，所以B选项错；
从图中可以看出第3天至第11天复工复产指数均在80%线之上，所以C选项对；
从图中纵坐标变化可以看出第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，所以D选项对.
故选CD．
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由题可知函数fx=x2−2ax+a的图象始终在x轴上方，即Δ<0,即可得 0【解答】
解：关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R，
∴ 函数fx=x2−2ax+a的图象始终在x轴上方，即Δ<0，
∴ −2a2−4a<0，解得： 0∵ a|0∴ 0≤a≤1和a≥0是关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R的必要不充分条件．
故选BD.
【答案】
A,B,D
【考点】
基本不等式
【解析】
选项A左边是代数式形式，右边是数字形式，且已知a+b=1，故可考虑通过基本不等式和重要不等式建立a2+b2与a+b的关系；
选项B先利用指数函数的增减性将原不等式简化为二元一次不等式，然后利用不等式的性质及已知条件判断；
选项C需要利用对数的运算和对数函数的增减性将不等式转化为关于a, b的关系式，然后利用基本不等式建立与已知条件a+b的关系；
选项D基本不等式的变形应用.
【解答】
解：A，已知a>0，b>0，且a+b=1，
因为a+b2≤a2+b22，
所以a+b2≤2a2+2b2，
则a2+b2≥12，故A正确；
B，要证2a−b>12，只需证明a−b>−1即可，即a>b−1，
由于a>0，b>0且a+b=1，
所以 a>0，b−1<0，故B正确；
C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2a+b22=−2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C错误；
D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确．
故选ABD．
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式定理及相关概念
二项式定理的应用
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(ax2+1x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(ax2)n−r(1x)r=an−rCnrx2n−52r，
∴ 第5项系数为an−4Cn4，第7项的系数为an−6Cn6，
由第5项与第7项的系数相等，可知n=10，
又∵ 展开式的各项系数之和为1024，即当x=1时，(a+1)10=1024，解得a=1，
展开式中奇数项的二项式系数和为2n−1=512，故A错误；
由n=10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，故B正确；
当2n−52r=0时，即r=8时，展开式中存在常数项，故C正确；
当2n−52r=15时，r=2，系数为18C102=45，故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
10
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
由C54(2x)1(x)4=10x3，可得到答案．
【解答】
解：2x+x5的通项公式为C5r(2x)5−r(x)r(r=0，1，2，3，4，5)，
由5−r+12r=3可得：r=4，
故C54(2x)1(x)4=10x3，
所以展开式中x3的系数为10．
故答案为：10.
【答案】
0.18
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
相互独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108，
如果前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072，
综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.18．
故答案为：0.18.
【答案】
1
【考点】
导数的运算
【解析】
先求出函数的导数，再根据f′(1)=e4，求得a的值.
【解答】
解：∵ f(x)=exx+a，
∴ f′(x)=ex(x+a)−ex(x+a)2=ex(x+a−1)(x+a)2.
∵ f′(1)=e1(1+a−1)(1+a)2=e4，
解得a=1.
故答案为：1.
【答案】
120,72
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
对于第一空：由排列数公式计算可得答案；
对于第二空：分两步进行分析：四位数的个位可以为1，3，5，其选法有3种，在剩下的4个数字中任取3个数，进行全排列，安排在千位、百位、十位，由分步计算原理计算可答案．
【解答】
解：根据题意，对于第一空：从1,2,3,4,5这五个数字中任取4个数，进行全排列，
有A54=120种情况，即可以有120个符合题意的四位数；
对于第二空：要求四位数为奇数，则个位的选法有3种，
在剩下的4个数字中任取3个数，进行全排列，
安排在千位、百位、十位，有A43=24种情况，
则有3×24=72个四位奇数.
故答案为：120；72．
四、解答题
【答案】
解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，
“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D．
则PD=1−PABC¯=1−13×14×25=2930.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
Pξ=0=PABC¯=130；
Pξ=1=PABC¯+PA¯BC¯+PAB¯C=1360；
Pξ=2=PABC¯+PAB¯C+PA¯BC=920；
Pξ=3=PABC=310．
所以ξ的分布列为
Eξ=0×130+1×1360+2×920+3×310=12160．
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，
“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D．
则PD=1−PABC¯=1−13×14×25=2930.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
Pξ=0=PABC¯=130；
Pξ=1=PABC¯+PA¯BC¯+PAB¯C=1360；
Pξ=2=PABC¯+PAB¯C+PA¯BC=920；
Pξ=3=PABC=310．
所以ξ的分布列为
Eξ=0×130+1×1360+2×920+3×310=12160．
【答案】
解：(1)由题意可知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0，故q2+q−2=0，
解得q=−2或q=1（舍）.
(2)由(1)知an=a1qn−1=(−2)n−1，
记数列{nan}的前n项和为Sn，
则Sn=1×(−2)0+2×(−2)1+⋯+n×(−2)n−1①，
−2Sn=1×(−2)1+2×(−2)2+⋯+n×(−2)n②，
①−②得：
3Sn=(−2)0+(−2)1+(−2)2+⋯+
(−2)n−1−n×(−2)n
=(−2)n−1−2−1−n×(−2)n
=(−n−13)⋅(−2)n+13，
∴ Sn=(−13n−19)⋅(−2)n+19.
【考点】
等差中项
数列的求和
等比数列的通项公式
【解析】
(1)根据等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
(2)由(1)易得an，nan，从而可得Sn，−2Sn，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理得最后答案．
【解答】
解：(1)由题意可知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2.
因为a1≠0，故q2+q−2=0，
解得q=−2或q=1（舍）.
(2)由(1)知an=a1qn−1=(−2)n−1，
记数列{nan}的前n项和为Sn，
则Sn=1×(−2)0+2×(−2)1+⋯+n×(−2)n−1①，
−2Sn=1×(−2)1+2×(−2)2+⋯+n×(−2)n②，
①−②得：
3Sn=(−2)0+(−2)1+(−2)2+⋯+
(−2)n−1−n×(−2)n
=(−2)n−1−2−1−n×(−2)n
=(−n−13)⋅(−2)n+13，
∴ Sn=(−13n−19)⋅(−2)n+19.
【答案】
1证明：连接ME，B1C，
在△B1BC中，M，E为BB1和BC中点，
∴ ME//B1C，且ME=12B1C.
∵ A1D=//B1C且N为A1D的中点，
∴ND=12A1D=ME.
∴ ND//ME且ND=ME，
∴ 四边形NDEM是平行四边形，
∴ NM//DE.
∵ NM⊄平面C1DE且DE⊂平面C1DE，
∴ MN//平面C1DE.
2解：取AC与BD的交点O，四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
以OA为x轴，OB为y轴，过原点O平行于BB1的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ A(3,0,0) M(0,1,2)，A1(3,0,4), N32,−12,2,
∴ MA1→=(3,−1,2)，MA→=(3,−1,−2)，MN→=32,−32,0.
设m→=x1,y1,z1，n→=x2,y2,z2
分别为平面AMA1和平面MA1N的一个法向量，
∴ m→⋅MA1→=0，m→⋅MA→=0，
当x1=1时，m→=(1,3,0)，
∴ n→⋅MA1→=0，n→⋅MN→=0，
当x2=3时，n→=(3,1,−1)，
∴ csm→,n→=m→⋅n→|m→|⋅|n→|
=3+3+01+(3)2+0⋅(3)2+1+1
=155，
∴ sinm→,n→=1−1552=105,
∴ 二面角A−MA1−N的正弦值为105.
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1证明：连接ME，B1C，
在△B1BC中，M，E为BB1和BC中点，
∴ ME//B1C，且ME=12B1C.
∵ A1D=//B1C且N为A1D的中点，
∴ND=12A1D=ME.
∴ ND//ME且ND=ME，
∴ 四边形NDEM是平行四边形，
∴ NM//DE.
∵ NM⊄平面C1DE且DE⊂平面C1DE，
∴ MN//平面C1DE.
2解：取AC与BD的交点O，四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
以OA为x轴，OB为y轴，过原点O平行于BB1的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ A(3,0,0) M(0,1,2)，A1(3,0,4), N32,−12,2,
∴ MA1→=(3,−1,2)，MA→=(3,−1,−2)，MN→=32,−32,0.
设m→=x1,y1,z1，n→=x2,y2,z2
分别为平面AMA1和平面MA1N的一个法向量，
∴ m→⋅MA1→=0，m→⋅MA→=0，
当x1=1时，m→=(1,3,0)，
∴ n→⋅MA1→=0，n→⋅MN→=0，
当x2=3时，n→=(3,1,−1)，
∴ csm→,n→=m→⋅n→|m→|⋅|n→|
=3+3+01+(3)2+0⋅(3)2+1+1
=155，
∴ sinm→,n→=1−1552=105,
∴ 二面角A−MA1−N的正弦值为105.
【答案】
解：(1)当a=1时， fx=ex+x2−x，
所以f′x=ex+2x−1，
f″(x)=ex+2>0，
所以函数f′x在R上单调递增.
注意到f′0=0，
所以当x∈−∞,0时， f′x<0，
当x∈0,+∞时， f′x>0，
所以函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．
(2)当x≥0时，fx≥12x3+1恒成立，
①当x=0时， a∈R；
②当x>0时，即a≥12x3+x+1−exx2恒成立，
记hx=12x3+x+1−exx2 ，
所以h′x=2−xex−12x2−x−1x3，
记gx=ex−12x2−x−1，
因为当x≥0时，
g′x=ex−x−1，
g′′x=ex−1≥0恒成立，
所以g′x在0,+∞上单调递增，
所以[g′x]min=g′0=0，
所以g′x≥0恒成立，
所以gx在0,+∞上单调递增，
所以gxmin=g0=0，
由g(x)≥0，
可得：ex−12x2−x−1≥0恒成立，
令h′x=0可得x=2，
当x∈0,2时，h′x>0，hx在0,2上单调递增，
当x∈2,+∞时，h′x<0，hx在2,+∞上单调递减，
所以hxmax=h2=7−e24，
所以a≥7−e24，
综上，a的取值范围为[7−e24,+∞).
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)先求出a=1时，f(x)的解析式，然后对f(x)求导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
(2)分类讨论：当x=0时，不等式恒成立；当x>0时，运用参数分离和构造函数建立新函数，然后求新函数的导数，利用导数判断单调性和最值，进而得到参数的取值范围．
【解答】
解：(1)当a=1时， fx=ex+x2−x，
所以f′x=ex+2x−1，
f″(x)=ex+2>0，
所以函数f′x在R上单调递增.
注意到f′0=0，
所以当x∈−∞,0时， f′x<0，
当x∈0,+∞时， f′x>0，
所以函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．
(2)当x≥0时，fx≥12x3+1恒成立，
①当x=0时， a∈R；
②当x>0时，即a≥12x3+x+1−exx2恒成立，
记hx=12x3+x+1−exx2 ，
所以h′x=2−xex−12x2−x−1x3，
记gx=ex−12x2−x−1，
因为当x≥0时，
g′x=ex−x−1，
g′′x=ex−1≥0恒成立，
所以g′x在0,+∞上单调递增，
所以[g′x]min=g′0=0，
所以g′x≥0恒成立，
所以gx在0,+∞上单调递增，
所以gxmin=g0=0，
由g(x)≥0，
可得：ex−12x2−x−1≥0恒成立，
令h′x=0可得x=2，
当x∈0,2时，h′x>0，hx在0,2上单调递增，
当x∈2,+∞时，h′x<0，hx在2,+∞上单调递减，
所以hxmax=h2=7−e24，
所以a≥7−e24，
综上，a的取值范围为[7−e24,+∞).
【答案】
解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过$150"$的概率
P=32+18+6+8100=0.64.
(2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，
由K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=100×64×10−16×10280×20×74×26=7.484>6.635，
PK2≥0.635=0.01.
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
【考点】
独立性检验
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(1)根据题目已知信息利用频率估计概率；
(2)根据题目给定信息画出2×2列联表；
(3)根据列联表计算K的观测值K2，得出统计结论.
【解答】
解：(1)用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过$150"$的概率
P=32+18+6+8100=0.64.
(2)根据所给数据，可得下面的2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，
由K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=100×64×10−16×10280×20×74×26=7.484>6.635，
PK2≥0.635=0.01.
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
【答案】
解：(1)当a=e时，fx=ex−lnx+1，
所以f′x=ex−1x，
所以f′1=e−1.
因为f1=e+1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e+1=e−1x−1.
当x=0时，y=2，
当y=0时， x=−2e−1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1.
(2)由fx≥1，可得aex−1−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=elnx+lnx.
令gt=et+t，
则g′(t)=et+1>0，
所以gt在R上单调递增，
所以glna+x−1>glnx，
所以lna+x−1>lnx，即lna>lnx−x+1.
令hx=lnx−x+1，
所以h′x=1x−1=1−xx.
当00， 函数hx单调递增，
当x>1时， h′x<0，函数hx单调递减，
所以hx≥h1=0，
所以lna≥0，
所以a≥1.
故a的范围为[1,+∞).
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；
(2)不等式等价于ex−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=elnx+lnx，令g(t)=et+t，根据函数单调性可得lna>lnx−x+1，再构造函数h(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围.
【解答】
解：(1)当a=e时，fx=ex−lnx+1，
所以f′x=ex−1x，
所以f′1=e−1.
因为f1=e+1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e+1=e−1x−1.
当x=0时，y=2，
当y=0时， x=−2e−1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1.
(2)由fx≥1，可得aex−1−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=elnx+lnx.
令gt=et+t，
则g′(t)=et+1>0，
所以gt在R上单调递增，
所以glna+x−1>glnx，
所以lna+x−1>lnx，即lna>lnx−x+1.
令hx=lnx−x+1，
所以h′x=1x−1=1−xx.
当00， 函数hx单调递增，
当x>1时， h′x<0，函数hx单调递减，
所以hx≥h1=0，
所以lna≥0，
所以a≥1.
故a的范围为[1,+∞).
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
ξ
0
1
2
3
P
130
1360
920
310
ξ
0
1
2
3
P
130
1360
920
310
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10