高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用课时作业

【名师】5.4 数列的应用课时练习

一．单项选择

1．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（    ）

A．3 B．2 C．7 D．5

2．我们常把叫“费马数”，设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最大正整数的值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为（    ）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的前n项和为，记，若数列也为等比数列，则（    ）

A．12 B．32 C． D．

5．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知数列的通项公式为，则其前项和为（    ）

A． B． C． D．

7．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（    ）万元.（四舍五入，精确到整数）

（参考数据：，，）

A．36 B．37 C．38 D．39

8．数列满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．将数列和中的所有项按从小到大排成如下数阵：

用表示第i行第j列的数.则（    ）

A．1647 B．1570 C．1490 D．1442

10．某大学毕业生为自主创业于年月初向银行贷款元，与银行约定按“等额本金还款法”分年进行还款，从年月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于上年月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（     ）

（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：年按个月计算）

A．元 B．元 C．元 D．元

11．科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础研究经费为（    ）

A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右

12．若不等式对任意恒成立，则最小的整数（    ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

13．设数列的前项和为，其通项公式为，则（    ）

A．110 B．105 C．100 D．55

14．在数列中，且，则它的前项和（    ）

A． B． C． D．

15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S7＝35，将a3，a7，a11，a15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前10项的和T10＝（　　）

A．10212 B．9212 C．11212 D．12212

参考答案与试题解析

1．【答案】AD

【解析】计算到，，，，，，，，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.

详解：，故，，，，，，，.

故，不是“谷值点”；，，故是“谷值点”；

，，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.

故选：.

【点睛】

本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2．【答案】A

【解析】分析：由对数的定义求得，再由等比数列前项和公式求得，用裂项相消法求得和，然后解不等式可得．

详解：，

，

则，

所以

，

即有，即为，解得，

则的最大值为2.

故选：A．

【点睛】

本题考查求等比数列的前项和公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

3．【答案】D

【解析】分析：相邻两项相加，然后再求和．

详解：由题意．

故选：D．

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

4．【答案】D

【解析】分析：设等比数列的公比为q，对q分和两种情况进行讨论即可.

详解：解：设等比数列的公比为q，

①当时，，不可能为等比数列；

②当时，，，

，

若数列为等比数列，必有，解得，有．

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是（1）要分和两种情况进行讨论；

（2）当时，利用等比数列前n项和公式及分组求和法求出，然后结合等比数列通项公式即可求解.

5．【答案】D

【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．

【详解】

解：由，可得，解得，则.

∴，

故选：

【点睛】

本题考查了函数的性质．数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．【答案】A

【解析】分析：，然后可算出答案.

详解：因为

所以其前项和为

故选：A

7．【答案】B

【解析】分析：设每次还款额为万元，根据复利计算可知，解方程可求得结果

详解：解：设每次还款额为万元，由题意得

，

，

故选：B

8．【答案】A

【解析】分析：由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.

详解：，取，

相减，

，

则推出

当时，

原式

故选：A

【点睛】

方法点睛：在数列求和中的方法：（1）裂项求和法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）倒序相加法等.

9．【答案】A

【解析】分析：由数阵的规律求出此数列一共有45项，分别求出前45项中等比和等差的项数，分组求和即可.

详解：由，可知是第45个数，推理可知前45项中，占有6项，占有39项，数列的第项为，则有

.

故选：A

10．【答案】C

【解析】分析：分析可知所少的部分为按原计划还款时后个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算可得后个月的利息，从而得到结果.

详解：截止年月，两种还款方式所还利息也相同，且两种还款方式最终所还本金相同，

按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自年月起至原计划结束时所还的利息，即共计个月的利息；

每月应还本金为，

年月还完后本金还剩，

年月应还利息为：；

年月应还利息为：；

年月应还利息为：；，

最后一次应还利息为：；

后个月的利息合计为：.

即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少元.

故选：C.

11．【答案】D

【解析】分析：由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于, 再根据2025年基础研究经费占比要达到8%以上，即可求出2025年我国基础研究经费的最低值，从而选出正确选项.

详解：由题意可知，2025年我国全社会研发经费投入不得低于亿元，又因为2025年基础研究经费占比要达到8%以上，

所以2025年我国基础研究经费不得低于 亿元

故选：D

12．【答案】C

【解析】构造数列，分析的单调性，将问题转化为，从而求解出的取值范围.

【详解】

设，所以，

所以，

所以，所以是单调递减的数列，

所以，所以，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据数列的单调性求解参数，难度较难.证明数列单调性的方法：根据与的关系判断出数列的单调性（当恒为正或者负时，可以考虑利用与的大小关系判断数列单调性）.

13．【答案】A

【解析】分析：利用分组求和，求可将数列的两部分分别求和即得.

详解：由已知条件得，

故选：A.

14．【答案】A

【解析】分析：利用累乘法求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法可求得的值.

详解：，，，

因此，.

故选：A.

【点睛】

结论点睛：常见的裂项公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

15．【答案】A

【解析】分析：先设等差数列的公差，根据公式求和，判断是等比数列{bn}的前三项，再求得公比和，代入计算，最后利用错位相减法求即可.

详解：设等差数列{an}的公差为，则，解得.

故，即，

由题意知，是等比数列{bn}的前三项，即，公比，故.

故，，

，两式作差得，，所以.

故选：A.