人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用课堂检测

【精选】5.4 数列的应用-2课时练习

一．填空题

1．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列.①；第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列.则根据以上两步可得________.

2．在数列{an}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且an＝（an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，则an＝_____．

3．________.

4．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____________.

5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，那么（）是斐波那契数列的第________项

6．(数学文卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期中考试第14题) 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第______天，两马相逢.

7．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．

8．存在的实数的取值范围是_____________

9．由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.

10．已知数列满足，则的最小值为_______.

11．如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上（其中点的坐标为），矩形的面积记为，则=_______．

12．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.

13．________．

14．若，则_______，__________.

15．若，则实数的取值范围是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求出新数列，再利用裂项相消法求和，进而得解.

详解：由题意知，得到的新数列为，，，，，

所以

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力，属于中档题.

2．【答案】an＝2n2+n

【解析】，可得．由已知条件推出，然后求解数列的通项公式．

【详解】

解：，

当，，取得最大值3，

．，

，，

是以为首项，为公差的等差数列，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了数列递推关系．三角函数求值．法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．【答案】

【解析】由，再求解即可.

【详解】

解：因为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列的极限的运算，属基础题.

4．【答案】.

【解析】根据数列的单调性及定义域的取值情况,即可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的取值范围.

【详解】

数列满足,且数列是单调递增数列

所以为单调递增函数

则满足,解不等式组可得

即当时数列是单调递增数列

故答案为:

【点睛】

本题考查了数列的单调性应用,分段函数与数列的综合应用,注意数列自变量取值为正整数这一特征,属于中档题.

5．【答案】

【解析】利用，结合叠加法，即可得出结论．

【详解】

解：∵，

∴，

，

，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题．

6．【答案】16

【解析】良马．驽马每天的行程分别构成等差数列 ，其中，公差分别为13．-0.5 .假设第n天后两马相遇。由题意得 ，整理得 ，解得 （舍去负值），所以第16天相遇。

【点睛】将良马．驽马每天的行程看成等差数列，将相遇问题转化为数列求和问题。

7．【答案】4

【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造不等式求出的值.

【详解】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

所以，即，

解得：且，

所以两只老鼠最少在第4天相遇.

故答案为：.

【点睛】

本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能力．运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用为整数的特点，直接求得不等式的解.

8．【答案】

【解析】由存在，可得，，解出即可.

【详解】

解：存在，

，且，

解得：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列极限的运算性质，是基础题.

9．【答案】464

【解析】根据等比数列求和公式求解

【详解】

由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为

【点睛】

本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题

10．【答案】.

【解析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中,由数列中的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.

详解：因为,所以,

从而

,

,

累加可得,

而

所以,

则,

因为在递减,在递增

当时,,

当时,,

所以时取得最小值,最小值为.

故答案为:

【点睛】

本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.

11．【答案】2

【解析】先计算Sn，再利用数列极限的求法，即可得到结论．

【详解】

解：设Qn（x1，y），Pn（n，y），则Sn＝y（n﹣x1）（n﹣x1）

∴2﹣0＝2

故答案为：2

【点睛】

本题考查数列的极限，解题的关键是求出矩形的面积，属于中档题．

12．【答案】

【解析】根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果.

【详解】

，，，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，，

由得：，即，

，且，满足题意的最小正整数.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论．

详解：解：

故答案为:．

【点睛】

本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．

14．【答案】0    6 

【解析】根据极限的思想，，则分子，分母最高次幂的系数比为2，列方程组即可得到的值.

【详解】

，

所以有分子，分母最高次幂系数相同，且最高次幂的系数比即为极限，

，解得

故答案为：0，6.

【点睛】

本题考查极限求值，解题的关键在于理清对应项以及对应项的系数比，是基础题.

15．【答案】

【解析】将题干化简为，可知当时满足题意，根据极限思想，可得关于实数的不等式，解不等式即可.

【详解】

解：由题意得，

则，

，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查已知极限求参数，考查绝对值不等式，同时考查学生的计算能力，是基础题.