数学选择性必修 第三册5.4 数列的应用练习题

【名师】5.4 数列的应用-2作业练习

一．填空题

1．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五．六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五．六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.

2．若 ，则实数t的取值范围是_____________.

3．________.

4．我国年底的人口总数为，要实现到年底我国人口总数不超过（其中），则人口的平均自然增长率的最大值是__________．

5．如图，是一块半径为2的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为1的半圆得到图形，在的左下端剪去一个半径为的半圆得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径可得图形，记纸板的面积为，求：_____________

6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．

7．已知数列满足，，则的整数部分是________.

8．明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸）

9．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________．

10．计算________.

11．数列中，，则____________．

12．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数解析式为___________________

13．化简：_______.

14．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么的值为______．

15．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重__________斤．”

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】由题分析设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，进而求得等差数列基本量，最后带入前n项和求和公式求得九节总容量.

详解：设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故

故答案为：；

【点睛】

本题考查在数学文化中的等差数列求通项公式的基本量与前n项和，属于基础题.

2．【答案】

【解析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．

【详解】

解：当|t|≥2时，，

可得 ，可得t＝﹣2.

当|t|＜2时，

可得： ，

综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．

故答案为：[﹣2，2）．

【点睛】

本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．

3．【答案】

【解析】化简式子，可得，然后根据极限的概念简单计算即可.

详解：由题可知：

故答案为：

【点睛】

本题考查极限的概念和计算，属基础题.

4．【答案】

【解析】由题意得,从年底到年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比，然后由数列的第10项小于或等于N列式即可.

【详解】

设年底的人口总数为，年底我国人口总数的最大值，

则由题意可知，从年底到年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比，

所以，即，故人口的平均自然增长率的最大值是．

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列的概念．通项公式及指数不等式的解法；属于基础运算题.

5．【答案】

【解析】由已知，每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，

则为的面积减去后面剪掉的半圆面积的和，利用无穷等比数列各项和的公式即可求出．

【详解】

解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列在生产实际中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

6．【答案】2019

【解析】设第年开始超过万元，则，化简得，即，取，即开始超过万元的年份为年．

考点：等比的通项公式及其应用．

7．【答案】3

【解析】由题意化简得，得出，结合“裂项法”求得，再由，得到单调递增，进而求得的范围，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

可得，

所以，即，

所以

，

又由，可得，

因为，所以，即，数列单调递增，

计算可知，，，，，，，

∴，∴，即的整数部分是.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了数列递推公式的应用，数列的 “裂项法”求和，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

8．【答案】4.5    571.5 

【解析】女子每天的织布数量成等比数列，由等比数列求和公式可构造方程求得第一天的织布量，再次利用等比数列求和公式可求得天织布总量.

详解：由题意知：该女子每天的织布数量成等比数列，且公比，

设第一天的织布量为（尺），

则前四天共织布（尺），解得：，

一周（天）织布的数量（尺）.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查等比数列的应用，涉及到等比数列前项和公式的应用，属于基础题.

9．【答案】260

【解析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前项和公式，求得所求的坐标总数.

【详解】

因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，

所以座位数构成等差数列.

因为，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.

10．【答案】

【解析】首先分子和分母同时除以，再根据直接求结果.

详解：

故答案为：3

【点睛】

本题考查极限计算，这类问题常常对原极限形式变形后，利用公式，以及等形式求极限，属于基础题型.

11．【答案】1

【解析】利用极限运算法则求解即可

【详解】

故答案为：1

【点睛】

本题考查数列的极限，是基础题

12．【答案】

【解析】利用等比数列的通项公式求出前3年的人口，利用归纳推理可得结果.

【详解】

1992年底世界人口为54.8亿.

1年后的人口数为 ;

2年后的人口数为 ；

3年后的人口数为 ;

年后的人口数为.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式以及归纳推理的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.

13．【答案】2

【解析】先化简，再根据特殊极限求解

【详解】

故答案为：2

【点睛】

本题考查数列极限，考查基本化简求解能力，属基础题.

14．【答案】

【解析】

【分析】

由第一行构成等差数列，求得，由第二行构成等差数列，求得，

由第三列构成等比数列，求得，由第四列构成等比数列，求得，即可求解的值，得到答案.

【详解】

由题意，设第一行构成等差数列，可得，

则，即，解得，所以，

设第二行构成等差数列，可得，则，解得，

所以，

设第三列构成等比数列，可得，则，所以，

设第四列构成等比数列，可得，

则，所以，

所以.

故答案为：.

15．【答案】9

【解析】设每一尺的重量构成等差数列，根据等差数列性质得到答案.

【详解】

设每一尺的重量构成等差数列

根据题意知：

则

故答案为9

【点睛】

本题考查了等差数列的应用，利用等差数列的性质可以简化运算，意在考查学生的应用能力.