2020年江苏中考数学真题分项汇编专题08 二次函数

这是一份2020年江苏中考数学真题分项汇编专题08 二次函数，共39页。试卷主要包含了的结论，二次函数的图象的顶点坐标为　　，有一块矩形地块，米，米，，与抛物线对称轴交于点等内容，欢迎下载使用。
专题08 二次函数
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
2．（2020•镇江）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于　　
A． B．4 C． D．
二．填空题（共4小题）
3．（2020•无锡）二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为　　．
4．（2020•南京）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是　　．
5．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为　　．
6．（2020•淮安）二次函数的图象的顶点坐标为　　．
三．解答题（共13小题）
7．（2020•无锡）有一块矩形地块，米，米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元米、60元米、40元米，设三种花卉的种植总成本为元．
（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

8．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点（其中且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．

9．（2020•苏州）如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．
（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点，、，．若，求、的值．

10．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．



11．（2020•南京）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为　　．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
12．（2020•泰州）如图，二次函数，，，的图象分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．

（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．

13．（2020•连云港）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．

14．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．
（1）点的坐标为：　　；
（2）当是直角三角形时，求的值；
（3）与有怎样的位置关系？请说明理由．


15．（2020•常州）如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．
（1）填空：　　；
（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；
（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

16．（2020•盐城）若二次函数的图象与轴有两个交点，，，，且经过点．过点的直线与轴交于点，与该函数的图象交于点（异于点．满足是等腰直角三角形，记的面积为，的面积为，且．
（1）抛物线的开口方向　　（填“上”或“下”；
（2）求直线相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．



17．（2020•淮安）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线1于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
（1）　　，　　；
（2）若点在点的上方，且，求的值；
（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的，的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、．若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标．




18．（2020•南通）已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线．关于的方程有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，试比较与的大小；
（3）若，两点在直线的两侧，且，求的取值范围．



19．（2020•镇江）如图①，直线经过点且平行于轴，二次函数、是常数，的图象经过点，交直线于点，图象的顶点为，它的对称轴与轴交于点，直线、分别与轴相交于、两点．
（1）当时，求点的坐标及的值；
（2）随着的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，是轴上位于点右侧的点，，交抛物线于点．若，求此时的二次函数表达式．





参考答案
一．选择题（共2小题）
1．（2020•南通）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
过点作，由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图2可知当时，点与点重合，
，
矩形的面积为．
故选：．
2．（2020•镇江）点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于　　
A． B．4 C． D．
【解答】点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，
故选：．
二．填空题（共4小题）
3．（2020•无锡）二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为　，或，　．
【解答】把点代入得，，
解得：，
，
，抛物线的对称轴为，
设点的坐标为：，，
当，
过作对称轴于，
则，
，
，
，
，，
当，
，
，
，，
综上所述，点的坐标为，或，．
4．（2020•南京）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．
【解答】①二次函数为常数）与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论①正确；
②在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论②正确；
③，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故结论③错误；
④抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
5．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为　3.75　．
【解答】根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．
故答案为：3.75．
6．（2020•淮安）二次函数的图象的顶点坐标为　　．
【解答】

，
顶点坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共13小题）
7．（2020•无锡）有一块矩形地块，米，米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元米、60元米、40元米，设三种花卉的种植总成本为元．
（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

【解答】（1）当时，，，

（2）米，米，
参考（1），由题意得：
；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
8．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点（其中且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
【解答】（1）①点在的图象上，横坐标为8，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，．
②假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，，
，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）①当点在轴的右侧时，设，
直线的解析式为，
，，
，
直线的解析式为，可得，，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，
直线的解析式为，
综上所述，满足条件的直线的解析式为或．

9．（2020•苏州）如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．
（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点，、，．若，求、的值．

【解答】（1）直线与抛物线的对称轴交于点，
故抛物线的对称轴为，即，解得：，
故抛物线的表达式为：；

（2）把代入并解得或3，
故点、的坐标分别为、，则，
四边形为平行四边形，
，故，
又，，，
故，．
或，
由，解得；
由，解得．
10．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．

【解答】（1）由题意可得，，，
．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过点作，垂足为，则．
平分，
，
，．
设线段的长为，则，，，
，
，
，
．
．
当时，线段的长度最大，最大为．
（3），
是圆的直径．
．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，．
四边形的面积，
，
．
四边形的面积为．
11．（2020•南京）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为　250　．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【解答】（1），，
当时，，，
小丽出发时，小明离地的距离为，
故答案为：250；
（2）设小丽出发第时，两人相距，则
，
当时，取得最小值，此时，
答：小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．
12．（2020•泰州）如图，二次函数，，，的图象分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．

（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．
【解答】（1）由题意，，
，
把代入得到．
（2）①如图1中，过点作轴于，过点作于．
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
②如图2中，由题意轴，
，
当时，，
解得，
，，
，
，
．
（3）如图3中，过点作轴于，过点作于，过点作交的延长线于．
设，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
点是抛物线的顶点．
13．（2020•连云港）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．

【解答】（1）当时，，解得或4，
，，，
由题意设抛物线的解析式为，
把代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线与是“共根抛物线”，，，
抛物线，的对称轴是直线，
点在直线上，
，如图1中，当，，共线时，的值最大，
此时点为直线与直线的交点，
直线的解析式为，
，
（3）由题意，，，，
，
，，
，
顶点，，
由题意，不可能是直角，
第一种情形：当时，
①如图中，当时，，
设，则，，
，，
，
，解得或（舍弃），
，．

②如图中，当时，同法可得，
，
解得或（舍弃），
，．
第二种情形：当．
①如图中，当时，，
过点作于．则，
，由图可知，，，，，
，，
，
由，可得，
，
，．
②当时，过点作于．
同法可得，，，，
，，，
由，可得，
，．
14．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．
（1）点的坐标为：　　；
（2）当是直角三角形时，求的值；
（3）与有怎样的位置关系？请说明理由．

【解答】（1）对于抛物线，对称轴，
，
故答案为．
（2）如图，连接．
对于抛物线，令，得到，
令，，解得或3，
，，，
，关于对称轴对称，
，，，
当时，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，则有，
解得或（不符合题意舍弃），
．
当时，，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
（3）结论：．
理由：由题意，，，，，
直线的解析式，直线的解析式为，
由，解得或，
，
由，解得或，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
相同，
．
15．（2020•常州）如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．
（1）填空：　　；
（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；
（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

【解答】（1）抛物线的图象过点，
，
，
故答案为：；
（2），
抛物线解析式为
抛物线的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，
点，，
（舍去），，
点，
，
顶点坐标，
如图1，当点在点上方时，过点作于，设与轴交于点，
点，点，点，，
点，，，
，，
，
点，点，点，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
点与点重合，
点是直线与抛物线的交点，
，
，，
点；
当点在点下方上，过点作于，在线段的延长线上截取，连接交抛物线于点，
，，
，
，
，
，
点，点，
直线解析式为：，
点，，
直线解析式为：，
，
解得，
点坐标为，，
，
点，，
直线解析式为：，
联立方程组，
解得：或，
点，；
综上所述：点的坐标为或，；
（3）如图，设直线与的交点为，作于，过点作轴，过点作，连接，，
点，点，
直线解析式为：，
，
，
点坐标为，，
点坐标为，，
，，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
，
又，
，

，，
点的横坐标为，
点，，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
点，
．
16．（2020•盐城）若二次函数的图象与轴有两个交点，，，，且经过点．过点的直线与轴交于点，与该函数的图象交于点（异于点．满足是等腰直角三角形，记的面积为，的面积为，且．
（1）抛物线的开口方向　上　（填“上”或“下”；
（2）求直线相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．

【解答】（1）如图，如二次函数的图象与轴有两个交点，，，，且经过点．
抛物线开口向上，
故答案为：上；
（2）①若，则与重合，直线与抛物线交于点，
因为直线与该函数的图象交于点（异于点，所以不合题意，舍去；
②若，则在轴的下方，与题意不符，舍去；
③若，则，，
，，
设直线为，将，，代入得，
解得，
直线相应的函数表达式为；
（3）过点作轴于，
，，
，
，
，
，
即点的纵坐标为5，代入中，得，
，
将、、三点的坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
17．（2020•淮安）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线1于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
（1）　1　，　　；
（2）若点在点的上方，且，求的值；
（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的，的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、．若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标．

【解答】（1）将点代入二次函数中，得，
，
二次函数的解析式为，
将点代入二次函数中，得，
故答案为：1，；
（2）设直线的解析式为，由（1）知，点，
，
，
，
直线的解析式为，
由（1）知，二次函数的解析式为，
点，
，，
点在点的上方，且，
，
或；
（3）①如图1，由（2）知，直线的解析式为，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于，交于，点，
，，，
，，
，
，
，
，
（由于点在直线上方，所以，舍去）或；
，
；
②如图2，
记直线与轴，轴的交点为，，
由（2）知，直线的解析式为，
，，
，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
过点，分别作过点平行于轴的直线的垂线，交于点，，
，
点在直线上，，
，
，
，
设点，
，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为①，
二次函数的解析式为②，
联立①②解得，或，
直线与该二次函数图象交点的横坐标为或．

18．（2020•南通）已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线．关于的方程有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，试比较与的大小；
（3）若，两点在直线的两侧，且，求的取值范围．
【解答】（1）抛物线经过，
①，
对称轴是直线，
②，
关于的方程有两个相等的实数根，
△③，
由①②③可得：，
抛物线的解析式为；
（2），
，
点，点在对称轴直线的左侧，
抛物线，
，即随的增大而增大，
，
，
；
（3）若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，
由题意可得，
，
若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，
由题意可得：，
不等式组无解，
综上所述：．
19．（2020•镇江）如图①，直线经过点且平行于轴，二次函数、是常数，的图象经过点，交直线于点，图象的顶点为，它的对称轴与轴交于点，直线、分别与轴相交于、两点．
（1）当时，求点的坐标及的值；
（2）随着的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，是轴上位于点右侧的点，，交抛物线于点．若，求此时的二次函数表达式．

【解答】（1）分别过点、作于点，于点，
轴，

，，
，，
，则，
将代入上式并解得：，
抛物线的表达式为：，
则点，，
则，，，，，
，解得：，，
；
（2）不变，理由：
过点，则，
解得：，
，
点，，
，，
由（1）的结论得：，，
；
（3）过点作轴于点，则，则，
，，
，
，
则，
，
，
，
，
，，
将点的坐标代入得：
，
解得：或（舍弃），
经检验，
故．



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