广东省高州市2021届九年级下学期期中考试数学（A）试题（word版 含答案）

2020-2021学年第二学期期中考试

九年级数学试卷（A）

注意事项：

1.本测试卷共6页，考试时间共90分钟，满分为120分。

2.全部答案必须在答题卷上完成，在非答题卷上作答无效。

3.答题卷必须保持整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上。

1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为(    )

A． B． 

B．C． D．

                                        第2题图                   第5题图

3．已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（　　）

A．m＜n          B．m＞n      C．m＝n     D．m，n的大小不确定

4．若，则(    )

A．3 B．6 C．9 D．12

5．如图，把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（  ）

A． B． C． D．

6．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（    ）

A． B． C． D．

第6题图                       第7题图                    第9题图

7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3）     B．点（2，3）      C．点（5，1）     D．点（6，1）

8．若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（  　）

A．12 B． C． D．

10．如图1，在等边三角形ABC和矩形DEFG中，AC＝DE，点C，D，G都在直线l上，且AC⊥l于点C，DE⊥l于点D，且D，B，E三点共线，将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形DEFG和△ABC无重叠部分，设矩形DEFG运动的时间为t秒，矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积为S，图2为S随t的变化而变化的函数图象，则函数图象中点H的纵坐标是（　　）

A． B． 

C． D．3

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上。

11．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形是_____边形（填该多边形的边数）．

12．如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平形四边形．一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在5号板区域的概率是_____．

第12题图                  第13题图                   第14题图

13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝，则线段DF的长为_____．

14．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为_____．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A的坐标是（0，﹣2），点B的坐标是

（﹣1，0），且＝，点C在第一象限且恰好在反比例函数y＝上，则k的值为____．

第15题图              第16题图                 第17题图

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是________

17．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：

①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是__________．

三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题6分，共18分）

18．计算：

19．先化简，再求值：

，其中x为不等式的正整数解．

20．在△ABC中，AB＝AC

（1）求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若∠A＝50°，求∠PBC的度数．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：

（1）请直接出y与x之间的函数关系式；

（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；

（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

22．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

23．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的，两点，已知点的纵坐标是3．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点，如果△ABC的面积为36，求平移后的直线的函数表达式．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：AE=CK；

（2）如果AB=a，AD=（a为大于零的常数），求BK的长：

（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

25．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

2020-2021学年第二学期期中考试

九年级数学（A）

参考答案

1．A  2．D  3．B  4．C  5．A 

6．A  7．C  8．A  9．D   10．C

11．八    12．  13．  

14．      15．3   16．  17．②④⑤；    

18．解：原式……………………4分

…………………6分

19．解：原式 …………………2分

=，

= …………………3分

解不等式得x≤2，正整数解为x＝1，2，…………………4分

当x=1时，原式无意义；

当x=2时，原式…………………4分

20．解：（1）如图，点P即为△ABC的外接圆圆心；……………………3分

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝25°，

∵PA＝PB，

∴∠BPD＝2∠BAP＝50°，

∵∠BDP＝90°，

∴∠PBD＝90°﹣50°＝40°．

即∠PBC＝40°答：∠PBC的度数为40°．……………………6分

21．解：（1）y与x的函数关系式为 y＝−10x＋300；……………………2分

（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，

由题意得 w＝（x−10）•y＝（x−10）（−10x＋300）＝−10x2＋400x−3000＝−10（x−20）2＋1000，

∵−10＜0，∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．

答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；

……………………5分

（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，

由题意可得 z＝−10x2＋400x−3000−300＝−10x2＋400x−3300，

令z＝450，即−10x2＋400x−3300＝450，

x2−40x＋375＝0，   解得x1＝15，x2＝25，

∵−10＜0，∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元，且不高于25元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元．……………………8分

22．解：（1）∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=又∵CMP=∠OMC=90° ∴PC==2

∵OC=2,PO=4 ∴∴∠PCO=90°

∴PC与☉O相切    ……………………4分

（2）GE·GF为定值，理由如下： 如答图2，连接GA、AF、GB ∵G为中点 ∴

∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽△FGA ∴

∴GE·GF=∵AB为直径，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2

∴GE·GF==8……………………8分

23. （1）根据题意得：

解得：，即点的坐标为

∵点在反比例函数的图象上，

∴

∴反比例函数的表达式为；……………………3分

（2）如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，

设平移后的解析式为，……………………4分

∴

∵该直线平行直线，

∴

∵△ABC的面积为36，

∴……………………5分

由对称性可知：，……………………6分

∴

∴

∴

∴平移后的直线的函数表达式为．……………………8分

24证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK，……………………………………………………………………………3分

（2）∵AB=a，AD==BC，

∴AC===,

∵BK⊥AC，∠ABC=90°，

∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：AB×BC=AC×BK，
∴a×a=×BK，   ∴BK=a．………………………………………6分

（3）解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，

∴EF=EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE2=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，

∴AC=9，
则AO=，
故⊙O的半径是，GH的长是6．

………………………………………………………………………………………………10分

25．解：（1）∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．……………………………………………………3分

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，﹣x2+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE

=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1

=﹣x2+x+

=﹣（x﹣）2+

∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，

把x=时，y=﹣（﹣2）2+9=．

此时点P坐标为（，）．……………………………………………………6分

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，

解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．

当y=0时，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．∴a=时，四边形PMEF周长最小．………………………………………………10分