2022年四川省成都市成华区中考数学模拟试卷

这是一份2022年四川省成都市成华区中考数学模拟试卷，共34页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）•
1．（4分）实数2的相反数是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．
2．（4分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其中数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×108B．0.1412×1010
C．1.412×109D．1.412×108
4．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣3a3）2＝9a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．3a2b﹣2a2b＝1
5．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4
6．（4分）杂交水稻之父袁隆平说：“粮食安全要掌握在自己手里”，为了考察杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．23，24B．23，23C．24，25D．24，24
7．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧上，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线过原点B．abc＝0
C．4a+b＝0D．a﹣b+c＜0
二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
11．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，连接DE，点F是CE的中点，连接DF并延长，交BC的延长线于点G，若BC＝4，则CG的长为 ．
12．（4分）某校举办了“碳中和、碳达峰”知识竞赛活动，在获得一等奖的4名学生（两男两女）中，随机抽取2名学生担任“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，则抽到的2名学生恰好是一男一女的概率是 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，BD＝8．分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交BD于点G，连接GA．若GA与AD恰好垂直，则GA的长为 ．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cs30°+|3﹣|；
（2）化简：．
15．（8分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
16．（8分）高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为150米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°，求高楼的高度AB（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，在半径OA上取点C（不与点A，O重合），在⊙O上取点D，使BD＝BC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若tan∠E＝，OC＝1，求⊙O的半径．
18．（10分）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，6），以OA为边作Rt△ABO，使点B在第二象限，∠AOB＝90°，AO＝2BO．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求直线AB的表达式；
（3）过点B的反比例函数y＝（x＜0）与直线AB的另一个交点为C，求△BOC的面积．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
20．（4分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根，则+的值为 ．
21．（4分）若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为 ．
22．（4分）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝5，BB′＝3，则CE的长为 ．
23．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，若点D为平面上一个动点，且满足∠ADC＝60°，则线段BD长度的最小值为 ，最大值为 ．
二.解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知A型消毒液的单价比B型消毒液的单价低2元，用140元购买A型消毒液与用180元购买B型消毒液的瓶数相等．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的瓶数不少于A型消毒液瓶数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3分别交x，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝ax2+2x+c与x轴的另一交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点F在x轴上，点G在抛物线的对称轴上，以点B，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为斜边AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使得点B的对应点为B'．
（1）如图1，若PB'⊥AC，求证：PB＝BC；
（2）如图2，若PB＝2PA，求tan∠ACB'的值；
（3）连接AB'，是否存在点P，使AB′＝BC，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
2022年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）•
1．（4分）实数2的相反数是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解决此题．
【解答】解：根据相反数的表示的方法，实数2的相反数为﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的表示方法是解决本题的关键．
2．（4分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的意义画出相应的图形即可．
【解答】解：该组合体的三视图如图，
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．（4分）2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其中数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×108B．0.1412×1010
C．1.412×109D．1.412×108
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式的方法进行求解，即可得出答案．
【解答】解：1412000000＝1.412×109．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
4．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣3a3）2＝9a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．3a2b﹣2a2b＝1
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
B、（﹣3a3）2＝9a6，故本选项符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、3a2b﹣2a2b＝a2b，故本选项不符合题意
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（4分）杂交水稻之父袁隆平说：“粮食安全要掌握在自己手里”，为了考察杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．23，24B．23，23C．24，25D．24，24
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧上，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】连接OB、OC，如图，先利用正方形的性质得∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了正方形的性质．
8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线过原点B．abc＝0
C．4a+b＝0D．a﹣b+c＜0
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2及抛物线的对称性可判断选项A，C，由c＝0可判断选项B，由x＝﹣1时y＞0可判断选项D．
【解答】解：∵抛物线经过（4，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过（0，0），选项A正确．
将（0，0）代入y＝ax2+bx+c得c＝0，
∴abc＝0，选项B正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，选项C正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．（4分）分解因式：5x2﹣5y2＝ 5（x+y）（x﹣y） ．
【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），
故答案为：5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
11．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，连接DE，点F是CE的中点，连接DF并延长，交BC的延长线于点G，若BC＝4，则CG的长为 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝2，DE∥CG，证明△DFE∽△GFC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB和AC的中点，BC＝4，
∴DE＝BC＝2，DE∥CG，
∴△DFE∽△GFC，
∴＝，
∵点F是CE的中点，
∴EF＝CF，
∴CG＝DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
12．（4分）某校举办了“碳中和、碳达峰”知识竞赛活动，在获得一等奖的4名学生（两男两女）中，随机抽取2名学生担任“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，则抽到的2名学生恰好是一男一女的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生恰好是一男一女的结果为8种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生恰好是一男一女的结果为8种，
则抽到的2名学生恰好是一男一女的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，BD＝8．分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交BD于点G，连接GA．若GA与AD恰好垂直，则GA的长为 3 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出AG＝BG是解题的关键．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cs30°+|3﹣|；
（2）化简：．
【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂，将特殊角三角函数值代入，去绝对值，再算乘法，最后算加减；
（2）先将括号内通分计算，再分子、分母分解因式约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2×+2﹣3
＝2+1﹣+2﹣3
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查实数及分式的运算，解题的关键是掌握实数、分式混合运算的顺序及相关运算的法则．
15．（8分）北京2022年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣．某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数；
（2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1200名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数．
【分析】（1）用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数；
（2）先算出喜欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用360°乘百分比可得圆心角；
（3）用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：6÷15%＝40（名），40×30%＝12（名），
答：参加这次调查的学生总人数是40名，选择“冰壶”的学生人数是12名；
（2）360°×＝36°，
答：“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是36°；
（3）根据题意得：1200×＝540（名），
答：最喜欢“短道速滑”的学生有540名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
16．（8分）高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为150米，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°，求高楼的高度AB（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得DE＝BF＝50米，DF＝BE，先利用斜坡CD的坡度，求出CE的长，从而求出BE，DF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝BF＝50米，DF＝BE，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝50米，
∴＝，
∴CE＝2.4DE＝2.4×50＝120（米），
∵BC＝150米，
∴DF＝BE＝BC﹣CE＝150﹣120＝30（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，
∴AF＝DF•tan50°≈30×1.192＝35.76（米），
∴AB＝BF+AF＝50+35.76≈85.8（米），
∴高楼的高度AB为85.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，在半径OA上取点C（不与点A，O重合），在⊙O上取点D，使BD＝BC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若tan∠E＝，OC＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）由圆周角定理及切线的性质证出∠ADE＝∠E，则可得出结论；
（2）设CA＝x，则AE＝2x，由勾股定理得出（2x）2+（x+2）2＝（2x+2）2，解方程可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC+∠ADE＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠ADE＝90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
∴∠ACE+∠E＝90°，
∴∠ADE＝∠E，
∴AD＝AE；
（2）解：设CA＝x，则AE＝2x，
∴OA＝x+1，
∵AD＝AE，
∴AD＝2x，
∵BD＝BC，
∴BD＝x+2，
∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝BA2，
∴（2x）2+（x+2）2＝（2x+2）2，
∴x＝0（舍去）或x＝4，
∴AC＝4，
∴OA＝5，
即⊙O的半径为5．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定及利用勾股定理列方程是解题关键．
18．（10分）如图，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，6），以OA为边作Rt△ABO，使点B在第二象限，∠AOB＝90°，AO＝2BO．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式；
（2）求直线AB的表达式；
（3）过点B的反比例函数y＝（x＜0）与直线AB的另一个交点为C，求△BOC的面积．
【分析】（1）将A（m，6）代入y＝2x得：2m＝6，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入y＝，可得答案；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，利用△BOE∽△OAD，可得BE和OE的长，则得出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）设直线AB与y轴的交点为F，可得点F的坐标，将B（﹣3，）代入y＝（x＜0）得k2的值，联立方程组可得点C的坐标，则S△BOC＝S△BOF﹣S△COF，代入即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（m，6）代入y＝2x得：2m＝6，
∴m＝3，
∴A（3，6），
将A（3，6）代入y＝得：k1＝3×6＝18，
∴y＝，
∴反比例函数y＝的表达式为y＝（x＞0）；
（2）如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∵AD⊥x轴，
∴AD＝6，OD＝3，∠ODA＝90°，
∵BE⊥x轴，
∴∠BEO＝∠ODA＝90°，
∴∠EBO+∠BOE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝180°﹣∠AOB＝90°，
∴∠EBO＝∠AOD，
∴△BOE∽△OAD，
∴，
∵AO＝2BO，
∴，
∴OE＝3，BE＝，
∵点B在第二象限，
∴B（﹣3，），
设直线AB的表达式为：y＝m'x+n（m'≠0），代入A（3，6），B（﹣3，），得：
，
解得，
∴y＝，
∴直线AB的表达式为y＝；
（3）如图，设直线AB与y轴的交点为F，
∵y＝，
∴当x＝0时，y＝0+，
∴F（0，），
∴OF＝，
将B（﹣3，）代入y＝（x＜0）得：
k，
∴y＝，
联立，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴C（﹣2，），
∴S△BOC＝S△BOF﹣S△COF
＝
＝
＝，
∴△BOC的面积为．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，构造相似三角形求出点B的坐标是解题的关键．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】先分别求出两个数的平方，根据求出的结果再比较大小即可．
【解答】解：（2）2＝4﹣6＝24，52＝25，
∵24＜25，
∴2＜5，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
20．（4分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根，则+的值为 6 ．
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝2，再通分和利用完全平方公式把+变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝2，
所以+＝＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
21．（4分）若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为 m＞﹣7且m≠﹣3 ．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出m的取值范围．
【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），
解得：x＝，
∵原方程的解为正数且x≠2，
∴，
解得：m＞﹣7且m≠﹣3，
故答案为：m＞﹣7且m≠﹣3．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
22．（4分）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝5，BB′＝3，则CE的长为 ．
【分析】如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠AB′B，根据平行线的性质得到∠B′CF＝∠AB′B，根据相似三角形的性质得到FC＝，由旋转可知DD′＝BB′＝3求得C′D＝2，又由CF∥C′D，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，
∵菱形AB′C′D′中，AB′∥C′D′，
∴AB′∥CF∥C′D′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B，
∵∠AB′C′＝∠B，
∴∠FB′C＝∠BAB′，
∵AB′∥FC，
∴∠B′CF＝∠AB′B，
∵AB＝5，BB′＝3，
∴B′C＝2，
∴△ABB′∽△B′CF，
∴，
∴，
∴FC＝，
由旋转可知，△ABB′≌△ADD′，
∴DD′＝BB′＝3，
∴C′D＝2，
又由CF∥C′D，
∴△C′DE∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴EC＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，正确地作出辅助线是解题关键．
23．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，若点D为平面上一个动点，且满足∠ADC＝60°，则线段BD长度的最小值为 2﹣2 ，最大值为 2+2 ．
【分析】根据∠ADC＝60°，AC＝2，作Rt△ADC的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小或最大．将问题转化为点圆最值．可证得△COD为等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，CE＝DE＝1，由勾股定理可求得OB的长，最后求得BD的最值．
【解答】解：如图1，作Rt△ADC的外接圆O，（因为是求线段BD长度的最小值，故圆心O在AC的右侧），连接OB，当O、D、B三点共线时，BD的值最小．
∵∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
连接OC，
∵∠ADC＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
在Rt△ACD中，∠ADC＝60°，AC＝2，
∴AD＝＝＝4，
∴OD＝CD＝OC＝2，
作OE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝1，
∵OA＝OD，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AC＝，
在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴BC＝AC＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣1＝5，
∴OB＝＝＝2，
当O、D、B三点共线时，BD最小，为BD＝OB﹣OD＝2﹣2．
如图2，作Rt△ADC的外接圆O，（因为是求线段BD长度的最大值，故圆心O在AC的左侧），连接OB，当D、O、B三点共线时，BD的值最大．
同理证得BE＝BC+CE＝6+1＝7，OE＝，OC＝OD＝CD＝2，
∴OB＝＝＝2，
当D、O、B三点共线时，BD最大，为BD＝OB+OD＝2+2．
故答案为：2﹣2；2+2．
【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧．
二.解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知A型消毒液的单价比B型消毒液的单价低2元，用140元购买A型消毒液与用180元购买B型消毒液的瓶数相等．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的瓶数不少于A型消毒液瓶数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）用140元购买A型消毒液与用180元购买B型消毒液的瓶数相等，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；
（2）根据题意，可以写出费用和购买A型消毒液数量的函数关系，然后根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，可以得到A型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．
【解答】解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是（x+2）元，
得＝，
解得 x＝7，
经检验，x＝7是原分式方程的解，且符合实际意义．
∴x+2＝9，
答：A型消毒液的单价是7元；B型消毒液的单价是9元．
（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，
依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，
∵k＝﹣2＜0，
∴w随a的增大而减小．
∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，
∴90﹣a≥a．
解得a≤67 ，
∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23．
答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶；最低费用为676元．
【点评】本题考查一次函数的应用、方式方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x+3分别交x，y轴于点B，C，经过点B，C的抛物线y＝ax2+2x+c与x轴的另一交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点F在x轴上，点G在抛物线的对称轴上，以点B，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）求出点B、C的坐标，利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可；
（2）作AM⊥x轴交BC于M，作PN⊥x轴交BC于N，证明△ADM∽△PDN，根据相似三角形的性质得，设M（﹣1，m），可得M（﹣1，4），AM＝4，设P（n，﹣n2+2n+3），则N（n，﹣n+3），PN＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，利用二次函数的最值得当n＝时，的最大值为，即可求解；
（3）分两种情况：①BC为平行四边形的边时，②BC为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴的交点分别为B、C，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∵抛物线y＝ax2+2x+c过点B，C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）作AM⊥x轴交BC于M，作PN⊥x轴交BC于N，
∴AM∥PN，
∴∠AMD＝∠PND，
∵∠CDA＝∠NDP，
∴△ADM∽△PDN，
∴，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC：y＝﹣x+3，
∴A（﹣1，0），C（0，3），B（3，0），
设M（﹣1，m），
∴m＝1+3＝4，
∴M（﹣1，4），
∴AM＝4，
设P（n，﹣n2+2n+3），则N（n，﹣n+3），
∴PN＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
∴＝＝＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，的最大值为，
∴﹣n2+2n+3＝，
∴P（，）；
（3）①BC为平行四边形的边时，如图，
当四边形CBFG是平行四边形时，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∴G（1，3），
∴BF＝CG＝1，
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（4，0）；
当四边形CBG′F′是平行四边形时，
∴CB∥G′F′，CB＝G′F′，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（﹣2，0）；
②BC为平行四边形的对角线时，如图，
∵四边形CFBG是平行四边形，
∴CG∥BF，CG＝BF，
∵点G在抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴上，
∴对称轴为x＝﹣＝1，
∵C（0，3），
∴G（1，3），
∴BF＝CG＝1，
∵B（3，0），
∴点F的坐标为（2，0）；
综上，点F的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为斜边AB上一动点，将△BCP沿直线CP折叠，使得点B的对应点为B'．
（1）如图1，若PB'⊥AC，求证：PB＝BC；
（2）如图2，若PB＝2PA，求tan∠ACB'的值；
（3）连接AB'，是否存在点P，使AB′＝BC，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，PB'⊥AC，得PB'∥BC，有∠B'PC＝∠BCP，根据△BCP沿直线CP折叠，点B的对应点为B'，得∠B'PC＝∠BPC，即得∠BCP＝∠BPC，BP＝BC；
（2）设BC＝AC＝a，AC、PB'交于点D，过点D作DE⊥B'C于点E，根据PB＝2PA，得PB＝a，PA＝a，由折叠可知，∠PB'C＝∠B＝45°，B'C＝BC＝a，可△CDB'∽△PDA．得＝＝＝，设B'D＝x，则AD＝x，有CD＝AC﹣AD＝a﹣x，PD＝PB'﹣B'D＝a﹣x，代入＝，解得x＝a，即得B'E＝DE＝B'D＝a，CE＝B'C﹣B'E＝a，从而tan∠ACB'＝＝＝；
（3）分两种情况：①当B'在AC左侧时，过C作CH⊥AB于H，根据已知可证△AB'C是等边三角形，得∠AB'C＝∠B'AC＝60°，可得∠AB'P＝15°，∠B'AP＝105°，即得∠APB'＝60°，故∠B'PC＝∠BPC＝（180°﹣∠APB'）÷2＝60°，设PH＝m，则CP＝2m，CH＝m，可得BH＝CH＝AH＝m，AP＝AH﹣PH＝（﹣1）m，BP＝BH+PH＝（+1）m，故＝＝2﹣；②当B'在AC右侧时，过C作CH⊥AB于H，同理可得∠HCP＝∠HCB﹣∠BCP＝30°，设PH＝n，则CP＝2n，CH＝n，可得AP＝AH+PH＝（+1）n，BP＝BH﹣PH＝（﹣1）n，从而＝＝2+．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，PB'⊥AC，
∴PB'∥BC，
∴∠B'PC＝∠BCP，
∵△BCP沿直线CP折叠，点B的对应点为B'，
∴∠B'PC＝∠BPC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴BP＝BC；
（2）解：设BC＝AC＝a，AC、PB'交于点D，过点D作DE⊥B'C于点E，如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝a，∠A＝∠B＝45°，
∵PB＝2PA，
∴PB＝a，PA＝a，
由折叠可知，∠PB'C＝∠B＝45°，B'C＝BC＝a，
又∠A＝45°，
∴∠PB'C＝∠A，
又∠CDB'＝∠PDA，
∴△CDB'∽△PDA．
∴＝＝＝＝，
设B'D＝x，则AD＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣x，
PD＝PB'﹣B'D＝a﹣x，
∵＝，
∴＝，
解答x＝a，
∴B'D＝a，
∵DE⊥B'C，∠PB'C＝45°，
∴△B'DE是等腰直角三角形，
∴B'E＝DE＝B'D＝a，
∴CE＝B'C﹣B'E＝a﹣a＝a，
∴tan∠ACB'＝＝＝，
答：tan∠ACB'的值为；
（3）解：存在点P，使AB′＝BC，理由如下：
①当B'在AC左侧时，过C作CH⊥AB于H，如图：
∵△BCP沿直线CP折叠，点B的对应点为B'，
∴BC＝B'C，
∵AB'＝BC＝AC，
∴AB'＝B'C＝AC，
∴△AB'C是等边三角形，
∴∠AB'C＝∠B'AC＝60°，
∵∠PB'C＝∠B＝∠BAC＝45°，
∴∠AB'P＝15°，∠B'AP＝105°，
∴∠APB'＝60°，
∴∠B'PC＝∠BPC＝（180°﹣∠APB'）÷2＝60°，
在Rt△CPH中，设PH＝m，则CP＝2m，CH＝m，
∵△ACH、△BCH是等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝AH＝m，
∴AP＝AH﹣PH＝（﹣1）m，BP＝BH+PH＝（+1）m，
∴＝＝2﹣；
②当B'在AC右侧时，过C作CH⊥AB于H，如图：
同理可得AB'＝BC＝B'C＝AC，△AB'C是等边三角形，
∴∠BCB'＝∠ACB﹣∠ACB'＝30°，
∴∠BCP＝∠B'CP＝15°，
∵△ACH、△BCH是等腰直角三角形，
∴∠HCP＝∠HCB﹣∠BCP＝30°，
在Rt△HCP中，设PH＝n，则CP＝2n，CH＝n，
∴AH＝CH＝BH＝n，
∴AP＝AH+PH＝（+1）n，BP＝BH﹣PH＝（﹣1）n，
∴＝＝2+，
综上所述，的值为2﹣或2+．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质与应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边关系．