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2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学模拟（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学模拟（一）（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学模拟（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数的绝对值是（ ）
A． B． C．2017 D．
2．下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．点P(−2， −3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．(−3， 0) B．(−3， 6) C．(−3，-6) D．(−1， 0)
5．当时，代数式的值是（ ）．
A． B． C． D．
6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或4
7．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（ ）．
A． B． C． D．
10．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，则代数式的值为__．
12．如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
13．已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_______________．
14．如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________
15．已知整数，，，……满足下列条件：，，，……依此类推则___________．
16．有 6 张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 m，则使关于 x 的分式方程有正数解，且使一元二次方程 mx2+4x+4=0 有两个实数根的概率为_____．
17．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
18．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是___．（把所有正确的结论的序号都填上）
19．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为_____（计算结果不取近似值）．
三、解答题
20．（1）计算：
（2）解方程：
21．先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
23．我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 人；表中m= ，n= ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
25．如图，在中，，，是的中点，以为直径的⊙与的三边分别交于点、、，连接、，与交于点﹒
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的直径的长；
（3）设，，求与之间的函数关系式﹒
26．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9 万台
4.3 万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．
（参考数据：，，，）
27．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
28．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用倒数以及绝对值的定义分别分析得出答案．
【详解】
解：的倒数为-2017，其绝对值是：2017．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了倒数以及绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
2．C
【详解】
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中：
A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选C．
3．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000076=7.6×10-8 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．A
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】
解：将点P(−2， −3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∴-2-1=-3，-3+3=0，
∴所得到的点的坐标为(−3， 0)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的关系，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加，解题的关键是熟记这一规律．
5．B
【分析】
根据，得，；再结合乘方、二次根式、绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了乘方、二次根式、绝对值、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、二次根式、绝对值的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】
把代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得 ，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及解一元二次方程．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．D
【详解】
从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故答案选D．
考点：勾股定理的应用；概率.
8．B
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】
解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故选B．
【点睛】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
9．A
【详解】
如图，作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，∴．
设CD=a，则BC=2a，AC=4a，AD=AC-CD=3a，
在Rt△BCD中，．
在Rt△ABC中，．
在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE2+DE2=AD2，即x2+（2x）2=9a2，解得：x= ，即DE=．
在Rt△BDE中，．故选A．
10．B
【详解】
试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图象在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
11．1
【详解】
∵，
∴.
12．2+2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
13．
【详解】
由ABCD四点坐标可得，四边形ABCD为矩形
所以，能将矩形ABCD分成面积相等的两部分的直线必须经过矩形对角线的交点
即线段AC和线段BD的交点（暂设它为E），
因为矩形的对角线互相平分，
所以E点为BD中点，
在Rt三角形ABD中，
根据中位线定理，得E（5，3）
把E（5，3）代入函数，得
3=5-3+2
解得=0.5
14．0.5π
【分析】
阴影部分的面积=扇形ABB′面积+三角形A B′C′的面积-三角形ABC的面积.
【详解】
如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2
∴S△ABC=AC•BC=．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′.
∴S阴影=S扇形ABB′+ S△AB′C′-S△ABC
=+-
=0.5.
故答案为0.5.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
15．-1008
【详解】
，
=-1，
=-1，
=-2，
=-2，
……
所以，n是奇数时，an=-，n是偶数时，an=-，
所以a2017==-1008，
故答案为-1008.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查,根据所求出的数,观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键.
16．
【分析】
由有6张正面分别标有-1,-2,-3,0,1,4的不透明卡片,使关于x的分式方程有正数解,且使一元二次方程mx2+4x+4=0有两个实数根的有:-1,-2,-3,0,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
解:分式方程两边同乘以(x-2)得:1-mx+2(x-2)=-1,
x=且x≠2,
关于x的分式方程有正数解
2-m>0且2-m≠1,
m<2且m≠1;
一元二次方程mx2+4x+4=0有两个实数根,
△=16-16m≥0,且m≠0
m≤1; 且m≠0
综上所述，满足条件的卡片的数为:-1,-2,-3,
所求的概率为:=.
故答案为:.
【点睛】
此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
17．.
【分析】
由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而
表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.
【详解】
如图，连接DC，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.
∴△ADC的面积为4.
∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，
∴设A点坐标为 (x,).
∵OC＝2AB，∴OC=2x.
∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.
∴梯形BOCA的面积=，解得.
【点睛】
反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.
18．①②③
【详解】
解：如图，连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD=∠COF=30°．
∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°．
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°．所以①正确．
同理可得∠AMN=30°．
∵△DEF为等边三角形，∴DE=DF．∴弧DE=弧DF．∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF．
∵弧AD=弧CF，∴弧AE=弧DC．∴∠ADE=∠DAC．∴ND=NA．
在△DNQ和△ANM中，∵∠DQN=∠AMN，∠DNQ=∠ANM，DN=AN．
∴△DNQ≌△ANM（AAS）．所以②正确．
∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，∴QD=QC．
∵ND=NA，∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，即△DNQ的周长等于AC的长．所以③正确．
∵△DEF为等边三角形，∴∠NDQ=60°．
∵∠DQN=30°，∴∠DNQ=90°．∴QD＞NQ．
∵QD=QC，∴QC＞NQ．所以④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③
19．14﹣2
【分析】
首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【详解】
解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
【点睛】
本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等．
20．（1） ；（2） ，
【分析】
（1）将原式按照零指数幂、绝对值、特殊的三角函数值、负整数指数幂计算各项的值，再相加减即可求解．
（2）先将方程转化成标准形式，再利用因式分解法将左边因式分解得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可 ．
【详解】
（1）原式=5 ．
（2）由题意得，
，
，
，
，，
解得：，．
【点睛】
本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，掌握运算法则和因式分解法解方程是解答本题的关键．
21．，4．
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算可得．
【详解】
解：
，
∵且，
∴，
则原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（1）改造前坡顶与地面的距离BE为24米；（2）BF至少是8米
【详解】
整体分析：
（1）Rt△ABE中，根据斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F作FG⊥AD于点G，用∠FAG的余切求出AG即可.
解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，i==，
设BE=12k，AE=5k，则AB=13k=26，k=2，
∴AE=10（米），BE=24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，
在Rt△AFG中，cot53°==0.75，
∴AG=18，
∴BF=GE=AG﹣AE=8米，
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
23．解：（1）50；10；15；（2）；（3）
【分析】
（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；
（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；
（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．
【详解】
解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，
∴学生总数为：4÷8%=50；
∴n=50×30%=15，
m=50-4-15-21=10．
（2）；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为=．
24．（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.
【分析】
（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可.
【详解】
（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线上，
∴，解得m=﹣6，
∴双曲线的解析式为，
∵点B在双曲线上，且OC=6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴，解得：a=±1（负值舍去），∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y=kx+b过点A，B，
∴，解得：，
∴直线的解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1.
25．（1）答案见解析；（2）； （3）
【分析】
（1）利用圆的性质即可直接得出结论；
（2）可以先设，，再用将，，分别表示出来，再根据勾股定理建立方程求即可；
（3）设，，得出，进而得到关于的代数式，再用可得出，从而得出，，代入即可得出与的函数关系式．
【详解】
（1），
为⊙的直径，
，
为斜边上的中线，
，
，
，
．
（2）如图，将点、连接起来，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，，
是斜边上的中线，
，，
又，
，
，
为⊙的直径，，
，
，
，
在和中，
，，
，
即，
，
．
（3）在中，，
设，，则，
由（2）得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题是关于圆的综合题，主要考查了圆的有关计算，的圆周角所对的弦是直径，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，条件较多，难度较大，需要考生认真分析条件，准确构造出相似三角形是解答本题的关键．
26．（1）该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元；（2）52.8
【分析】
（1）先根据表中的信息，用待定系数法确定出p，x的一次函数关系式，然后根据月度的总销售额=月销售量×销售的单价，可列出关于销售金额和x的函数关系式，然后根据函数的性质即可得出最大销售金额以及相应的x的值即月份；
（2）由于3至5月份的销售量和售价都是同2月份进行比较，因此要先表示出2月份的销售数量和单价，根据（1）中销售量与月份，售价与月份的函数关系式先求出12月份的售价和销售量，进而可根据“今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%”来表示出2月份的销售量和售价，那么可根据3至5月份的销售总额为936÷13%（万元）来列出关于m%的方程，即可求出m的值．
【详解】
（1）设p与x的函数关系为p=kx+b（k≠0），
根据题意，得
解得，
所以，p=0.1x+3.8．
设月销售金额为w万元，
则w=py=（0.1x+3.8）（-50x+2600）．
化简，得W=-5x2+70x+9880，
所以，W=-5（x-7）2+10125．
当x=7时，w取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
（2）去年12月份每台的售价为-50×12+2600=2000（元），
去年12月份的销售量为0.1×12+3.8=5（万台）．
根据题意，得2000（1-m%）×[5（1-1.5m%）+1.5]×13%×3=936，
令m%=t，原方程可化为7.5t2-14t+5.3=0，
∴．
∴t1≈0.528，t2≈1.339（舍去）．
答：m的值约为52.8．
27．（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．
【分析】
（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【详解】
解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−DN=BC．
故答案为：BM−DN=BC；
（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
设EF=a，则FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的长为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．
28．（1）y=2x2﹣2；点B的坐标为（1，0）；（2）满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）；（3）不存在满足条件的点Q，理由见解析．
【分析】
（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标．
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标．
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2．
∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2．
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．
当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1．
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）设P（m，n），
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则，即，解得．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，）．
②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E，
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，∵，
∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）．
②当P（m，2m﹣2）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）．
综上所述，不存在满足条件的点Q．
【点睛】
二次函数综合题，曲线上点的坐标理性认识各式的关系，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，反证法的应用，分类思想的应用．
2021年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生考试数学模拟（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数的绝对值是（ ）
A． B． C．2017 D．
2．下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．点P(−2， −3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．(−3， 0) B．(−3， 6) C．(−3，-6) D．(−1， 0)
5．当时，代数式的值是（ ）．
A． B． C． D．
6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或4
7．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（ ）．
A． B． C． D．
10．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，则代数式的值为__．
12．如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
13．已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_______________．
14．如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________
15．已知整数，，，……满足下列条件：，，，……依此类推则___________．
16．有 6 张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 m，则使关于 x 的分式方程有正数解，且使一元二次方程 mx2+4x+4=0 有两个实数根的概率为_____．
17．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
18．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是___．（把所有正确的结论的序号都填上）
19．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为_____（计算结果不取近似值）．
三、解答题
20．（1）计算：
（2）解方程：
21．先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1： ， 且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
23．我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 人；表中m= ，n= ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
25．如图，在中，，，是的中点，以为直径的⊙与的三边分别交于点、、，连接、，与交于点﹒
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的直径的长；
（3）设，，求与之间的函数关系式﹒
26．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9 万台
4.3 万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）．
（参考数据：，，，）
27．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
28．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
直接利用倒数以及绝对值的定义分别分析得出答案．
【详解】
解：的倒数为-2017，其绝对值是：2017．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了倒数以及绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
2．C
【详解】
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中：
A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选C．
3．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000076=7.6×10-8 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．A
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】
解：将点P(−2， −3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∴-2-1=-3，-3+3=0，
∴所得到的点的坐标为(−3， 0)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的关系，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加，解题的关键是熟记这一规律．
5．B
【分析】
根据，得，；再结合乘方、二次根式、绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了乘方、二次根式、绝对值、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、二次根式、绝对值的性质，从而完成求解．
6．C
【分析】
把代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得 ，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及解一元二次方程．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．D
【详解】
从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故答案选D．
考点：勾股定理的应用；概率.
8．B
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】
解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故选B．
【点睛】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
9．A
【详解】
如图，作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，∴．
设CD=a，则BC=2a，AC=4a，AD=AC-CD=3a，
在Rt△BCD中，．
在Rt△ABC中，．
在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE2+DE2=AD2，即x2+（2x）2=9a2，解得：x= ，即DE=．
在Rt△BDE中，．故选A．
10．B
【详解】
试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图象在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
11．1
【详解】
∵，
∴.
12．2+2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
13．
【详解】
由ABCD四点坐标可得，四边形ABCD为矩形
所以，能将矩形ABCD分成面积相等的两部分的直线必须经过矩形对角线的交点
即线段AC和线段BD的交点（暂设它为E），
因为矩形的对角线互相平分，
所以E点为BD中点，
在Rt三角形ABD中，
根据中位线定理，得E（5，3）
把E（5，3）代入函数，得
3=5-3+2
解得=0.5
14．0.5π
【分析】
阴影部分的面积=扇形ABB′面积+三角形A B′C′的面积-三角形ABC的面积.
【详解】
如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2
∴S△ABC=AC•BC=．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′.
∴S阴影=S扇形ABB′+ S△AB′C′-S△ABC
=+-
=0.5.
故答案为0.5.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
15．-1008
【详解】
，
=-1，
=-1，
=-2，
=-2，
……
所以，n是奇数时，an=-，n是偶数时，an=-，
所以a2017==-1008，
故答案为-1008.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查,根据所求出的数,观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键.
16．
【分析】
由有6张正面分别标有-1,-2,-3,0,1,4的不透明卡片,使关于x的分式方程有正数解,且使一元二次方程mx2+4x+4=0有两个实数根的有:-1,-2,-3,0,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
解:分式方程两边同乘以(x-2)得:1-mx+2(x-2)=-1,
x=且x≠2,
关于x的分式方程有正数解
2-m>0且2-m≠1,
m<2且m≠1;
一元二次方程mx2+4x+4=0有两个实数根,
△=16-16m≥0,且m≠0
m≤1; 且m≠0
综上所述，满足条件的卡片的数为:-1,-2,-3,
所求的概率为:=.
故答案为:.
【点睛】
此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
17．.
【分析】
由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而
表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.
【详解】
如图，连接DC，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.
∴△ADC的面积为4.
∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，
∴设A点坐标为 (x,).
∵OC＝2AB，∴OC=2x.
∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.
∴梯形BOCA的面积=，解得.
【点睛】
反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.
18．①②③
【详解】
解：如图，连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD=∠COF=30°．
∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°．
∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°．所以①正确．
同理可得∠AMN=30°．
∵△DEF为等边三角形，∴DE=DF．∴弧DE=弧DF．∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF．
∵弧AD=弧CF，∴弧AE=弧DC．∴∠ADE=∠DAC．∴ND=NA．
在△DNQ和△ANM中，∵∠DQN=∠AMN，∠DNQ=∠ANM，DN=AN．
∴△DNQ≌△ANM（AAS）．所以②正确．
∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，∴QD=QC．
∵ND=NA，∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，即△DNQ的周长等于AC的长．所以③正确．
∵△DEF为等边三角形，∴∠NDQ=60°．
∵∠DQN=30°，∴∠DNQ=90°．∴QD＞NQ．
∵QD=QC，∴QC＞NQ．所以④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③
19．14﹣2
【分析】
首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【详解】
解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
【点睛】
本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等．
20．（1） ；（2） ，
【分析】
（1）将原式按照零指数幂、绝对值、特殊的三角函数值、负整数指数幂计算各项的值，再相加减即可求解．
（2）先将方程转化成标准形式，再利用因式分解法将左边因式分解得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可 ．
【详解】
（1）原式=5 ．
（2）由题意得，
，
，
，
，，
解得：，．
【点睛】
本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，掌握运算法则和因式分解法解方程是解答本题的关键．
21．，4．
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算可得．
【详解】
解：
，
∵且，
∴，
则原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（1）改造前坡顶与地面的距离BE为24米；（2）BF至少是8米
【详解】
整体分析：
（1）Rt△ABE中，根据斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F作FG⊥AD于点G，用∠FAG的余切求出AG即可.
解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，i==，
设BE=12k，AE=5k，则AB=13k=26，k=2，
∴AE=10（米），BE=24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，
在Rt△AFG中，cot53°==0.75，
∴AG=18，
∴BF=GE=AG﹣AE=8米，
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
23．解：（1）50；10；15；（2）；（3）
【分析】
（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；
（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；
（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．
【详解】
解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，
∴学生总数为：4÷8%=50；
∴n=50×30%=15，
m=50-4-15-21=10．
（2）；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为=．
24．（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.
【分析】
（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可.
【详解】
（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线上，
∴，解得m=﹣6，
∴双曲线的解析式为，
∵点B在双曲线上，且OC=6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴，解得：a=±1（负值舍去），∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y=kx+b过点A，B，
∴，解得：，
∴直线的解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1.
25．（1）答案见解析；（2）； （3）
【分析】
（1）利用圆的性质即可直接得出结论；
（2）可以先设，，再用将，，分别表示出来，再根据勾股定理建立方程求即可；
（3）设，，得出，进而得到关于的代数式，再用可得出，从而得出，，代入即可得出与的函数关系式．
【详解】
（1），
为⊙的直径，
，
为斜边上的中线，
，
，
，
．
（2）如图，将点、连接起来，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，，
是斜边上的中线，
，，
又，
，
，
为⊙的直径，，
，
，
，
在和中，
，，
，
即，
，
．
（3）在中，，
设，，则，
由（2）得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题是关于圆的综合题，主要考查了圆的有关计算，的圆周角所对的弦是直径，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，条件较多，难度较大，需要考生认真分析条件，准确构造出相似三角形是解答本题的关键．
26．（1）该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元；（2）52.8
【分析】
（1）先根据表中的信息，用待定系数法确定出p，x的一次函数关系式，然后根据月度的总销售额=月销售量×销售的单价，可列出关于销售金额和x的函数关系式，然后根据函数的性质即可得出最大销售金额以及相应的x的值即月份；
（2）由于3至5月份的销售量和售价都是同2月份进行比较，因此要先表示出2月份的销售数量和单价，根据（1）中销售量与月份，售价与月份的函数关系式先求出12月份的售价和销售量，进而可根据“今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%”来表示出2月份的销售量和售价，那么可根据3至5月份的销售总额为936÷13%（万元）来列出关于m%的方程，即可求出m的值．
【详解】
（1）设p与x的函数关系为p=kx+b（k≠0），
根据题意，得
解得，
所以，p=0.1x+3.8．
设月销售金额为w万元，
则w=py=（0.1x+3.8）（-50x+2600）．
化简，得W=-5x2+70x+9880，
所以，W=-5（x-7）2+10125．
当x=7时，w取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
（2）去年12月份每台的售价为-50×12+2600=2000（元），
去年12月份的销售量为0.1×12+3.8=5（万台）．
根据题意，得2000（1-m%）×[5（1-1.5m%）+1.5]×13%×3=936，
令m%=t，原方程可化为7.5t2-14t+5.3=0，
∴．
∴t1≈0.528，t2≈1.339（舍去）．
答：m的值约为52.8．
27．（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．
【分析】
（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【详解】
解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−DN=BC．
故答案为：BM−DN=BC；
（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
设EF=a，则FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的长为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．
28．（1）y=2x2﹣2；点B的坐标为（1，0）；（2）满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）；（3）不存在满足条件的点Q，理由见解析．
【分析】
（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标．
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标．
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2．
∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2．
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．
当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1．
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）设P（m，n），
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则，即，解得．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，）．
②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E，
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，∵，
∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）．
②当P（m，2m﹣2）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）．
综上所述，不存在满足条件的点Q．
【点睛】
二次函数综合题，曲线上点的坐标理性认识各式的关系，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，反证法的应用，分类思想的应用．
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