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2021年河北省初中毕业生升学文化课考试（一）数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年河北省初中毕业生升学文化课考试（一）数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图1所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．估算＋÷的运算结果应在( )
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
5．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
6．已知点A(－1，0)和点B(1，2)，将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应.若点A′的坐标为(1，－3)，则点B′的坐标为( )
A．(3，0)B．(3，－3)C．(3，－1)D．(－1，3)
7．一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．-4C．4D．3
8．石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．对于命题“若，则”，下列的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．B．
C．D．
10．一组数据2，3，5，5，5，6，9．若去掉一个数据5，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
11．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．不是定值
12．有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（ ）
A．6B．3C．2D．1
13．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线
14．洛书被世界公认为组合数字的鼻祖，它是中华民族对人类伟大贡献之一，它是在一个正方形方格中，每个小方格内均有不同的数，任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等．如图是一个洛书，上面只有部分数字可见，则对应的数是（ ）
A．1B．4C．6D．8
15．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线1，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，，CD＝AD＝3．点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEC的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EC于点H、K．若BG＝，∠FEG＝45°．则HK＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________．
18．如图，在中，，点分别是边上的点，于点．当时，________．
19．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式为_____________．
（2）根据图象直接写出kx＋b＜的x的取值范围为_____________．
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为_____________．
三、解答题
20．已知有理数-3，1．
（1）在下列数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A，B表示；
（2）若｜m｜=2，在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n．
①计算m+n-mn；
②解关于x的不等式mx+4＜n，并把解集表示在下列数轴上．
21．对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝．
（解决问题）
（1）填空：M{sin45°，cs60°，tan60°}＝__________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为__________；
（2）如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值．
22．小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？
（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；
（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
23．如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：ΔOPA≌ΔOPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
24．如图，A（0，4），B（0，2），AC∥x轴，且与直线交于点C，CD⊥x轴于点D，P是折线AC－CD上一点设过点B．P的直线为l．
（1）点C的坐标为___________；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是___________．
（2）当l⊥OC时，求直线l的解析式；
（3）若l与线段OC有交点，设该交点为E，是否存在OE＝OB的情况？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．石家庄某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18．以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，这项费用每年均需投入．除上述费用外，没有其他费用，设改造x亩，每亩蔬菜年销售金额为k元
（1）设当年收益为y元，求y与x的函数关系式（用含k的式子表示）；
（2）按前三年计算，若k＝1500，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时可以得到最大收益？
（3）若20≤x≤60时，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求k的取值范围．
注：收益＝销售金额－（改造费＋辅助设备费＋种子、人工费）．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．
超市
女工人数占比
62.5%
62.5%
50%
75%
参考答案
1．C
【分析】
由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】
∵，∴的倒数是.
故选C
2．D
【分析】
根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．
【详解】
A、（2a）3=8a3，故本选项错误；
B、a3+a2不能合并，故本选项错误；
C、a8÷a4=a4，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】
圆柱的主视图是长方形，正方体的主视图是正方形，由此判断即可
【详解】
∵圆柱的主视图是长方形，正方体的主视图是正方形，
∴该几何体的主视图为
故选B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是画三视图的关键．
4．D
【详解】
，所以选D.
5．C
【详解】
分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
解答：解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选C．
6．C
【详解】
∵A(−1,0)平移后对应点A′的坐标为(1,−3)，
∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B(1,2)平移后B′的坐标是：(3,−1).
故选C.
7．D
【详解】
试题分析：方程中△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程中△=（﹣1）2﹣4×3=﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选D．
考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．
8．B
【分析】
根据总费用÷总人数为人均分摊费用，计算两次的分摊费用，后根据题意列出方程即可
【详解】
设该活动小组原有x人，则出发后的人数为（x+2）人，根据题意，得
，
故选B
【点睛】
本题考查了分式方程解应用题，熟练掌握列分式方程的基本要领是解题的关键．
9．D
【分析】
说明命题为假命题，即，的值满足，但不成立，把四个选项中的，的值分别代入验证即可．
【详解】
解：在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“若，则”不能成立，故选项中，的值能说明命题为假命题；
故选：．
【点睛】
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
10．D
【详解】
A、原来数据的平均数是×（2+3+5+5+5+6+9）=5，去掉一个数据5后平均数仍为5，故A与要求不符；
B、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，故B与要求不符；
C、原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，故C与要求不符；
D、原来数据的方差是：×[（2–5）2+（3–5）2+3×（5–5）2+（6–5）2+（9–5）2]= ，
去掉一个数据5后，方差是×[（2–5）2+（3–5）2+2×（5–5）2+（6–5）2+（9–5）2]=5，发生变化的是方差．故选D．
11．B
【分析】
由折叠可得∠ABE=∠A'BE，由题意可证Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF=∠FBA'，即可求∠EBF的值．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∵折叠
∴AB=A'B，∠ABE=∠A'BE
∴A'B=BC，且BF=BF
∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）
∴∠A'BF=∠CBF
∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF=90°
∴∠EBF=45°
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
12．B
【分析】
根据示意图，确定数字4的相邻面的数字，剩下的就是其对面的数字
【详解】
解：由题图可知，与相邻的数字有，，，，所以数字对面的数字为．
故选B
【点睛】
本题考查了正方体的相邻面和相对面的判定，看懂示意图，确定邻面的数字是解题的关键．
13．C
【分析】
根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．
【详解】
解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．
14．C
【分析】
直接利用任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，得出等式进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：，
解得：．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等式是解题关键．
15．A
【分析】
根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与x轴交点坐标（-1，0）和对称轴与x轴交点（1，0）可对②作判断；根据对称性得：AH=BH，根据线段的和与差可对③作判断；根据M'的坐标和l到x轴的距离可对④作判断．
【详解】
①由题意得：a＞0，开口向上，
∵抛物线对称轴是x＝1，且经过点（﹣1，0），
∴抛物线过x轴另一个点为（3，0），
∴当x＝3.1时，y＞0；
故①正确；
②当P在O点时，AP＝PH，
∵a＞0，
∴P不可能与O重合，
故②不正确；
③BP﹣AP＝（BH+PH）﹣AP＝AH+PH﹣AP＝2PH＝2，
故③正确；
④把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+k中，k＝﹣4a，
当a＝2时，a+4＝6，﹣（﹣4a）＝8，点M'在l的上方，
故④不正确；
所以正确的有：①③，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．
16．B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到AC=3，根据相似三角形的性质得到，求得CK=，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到EM=AD=3，AM=DE=2，由勾股定理得到EG=，求得EK=，根据相似三角形的性质得到，设HE=3x，HK=x，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ADC=90°，CD=AD=3，
∴AC=3，
∵AB=5，BG=，
∴AG=，
∵AB∥DC，
∴△CEK∽△AGK，
∴，
∴，
∴，
∵CK+AK=3，
∴CK=，
如图，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，
∴EM=AD=3，AM=DE=2，
∴MG=，
∴EG=，
∵，
∴EK=，
∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，
∴△HEK∽△HCE，
∴，
∴HE=3x，HK=x，
∵△HEK∽△HCE，
∴，
∴，
解得： x=，
∴HK=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．x＞4
【分析】
根据分母不为0和二次根式被开方数大于等于0列不等式即可．
【详解】
根据题意列不等式得，，
解得，x＞4；
故答案为：x＞4．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于等于0和分母不为0，列出不等式．
18．4
【分析】
设，依据，，判定四边形是平行四边形，再根据，即可得出，进而得到方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设，
，，，
中，，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，，
又，
，
，
即，
解得，
，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，难度不大．
19． 0＜x＜4 E．
【分析】
(1)由且，利用三线合一得到O是AB的中点，求出的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P坐标代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
(2)观察图象即可求解；
(3)假设存在这样的D点，是四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．
【详解】
(1)∵，，，
∴O是AB的中点，即，
∴，，
将代入反比例解析式得：，
即反比例解析式为，
(2)观察图象可知：时的取值范围为，
(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，
连接DC交PB于F，如图所示：
∵四边形BCPD为菱形，
∴，
∴，
将代入反比例函数，得，
∴D点的坐标为
∴则反比例函数图象上存在点D，是四边形BCPD为菱形，
此时D坐标为，
延长DP交轴于点E，则点E为所求，
则为最大，
设直线PD的表达式为：，
将点P、D的坐标代入上式得：
，
解得：，
故直线PD的表达式：，
令，则，
故点．
【点睛】
此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）①16；②x＞-1；数轴表示见解析
【分析】
（1）直接在数轴上标出A、B即可；
（2）①根据题意得出m、n的值，再代入计算即可；
②将m、n代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可．
【详解】
解：（1）如图：
．
（2）∵｜m｜=2，
∴m=±2，
∵在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，
∴m=-2，
∵在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n，
∴n=6，
①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，
②由-2x+4＜6，
解得x＞-1，
表示在数轴上如图所示：．
【点睛】
本题考查了数轴，解不等式，按照题目要求进行即可．
21．（1），；（2）－3或0
【分析】
（1）确定特殊角的三角函数值，后排序确定中位线即可；根据定义构造不等式组，解不等式组即可；
（2）根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,故需要分最大数是2和x+4两种情形解答．
【详解】
解：（1）∵sin45°＝，cs60°＝，tan60°＝，
且＜＜，
∴M{sin45°，cs60°，tan60°}＝；
∵max{3，5－3x，2x－6}＝3，
∴，
解①得x≥；解②得，
∴x的取值范围为：，
故答案为：，
（2）∵2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,需要分最大数是2和x+4两种情形解答，
①当x＋4≤2时，即x≤－2，原等式变为：2（x＋4）＝2，x＝－3，
②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，原等式变为：2×2＝x＋4，x＝0，
综上所述，x的值为－3或0．
【点睛】
本题考查了新定义问题，中位数，不等式的性质，不等式组，一元一次方程，正确理解新定义，活用分类思想，准确转化为对应的数学模型是解题的关键．
22．（1）32（人），25（人）；（2）；（3）乙同学，见解析.
【分析】
（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；
（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；
（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共有员工多少人，再根据概率的定义即可求解．
【详解】
解：（1）A超市共有员工：20÷62.5％＝32（人），
∵360°－80°－100°－120°＝60°，
∴四个超市女工人数的比为：80：100：120：60＝4：5：6：3，
∴B超市有女工：20×＝25（人）；
（2）C超市有女工：20×＝30（人）．
四个超市共有女工：20×＝90（人）．
从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为＝．
（3）乙同学.
理由：D超市有女工20×＝15（人），共有员工15÷75%＝20（人），
再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为＝≠75％．
【点睛】
本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据角平分线得PA＝PB，再根据PO＝PO，即可得到Rt△AOP≌Rt△BOP；
（2）根据等腰三角形的性质，得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．
【详解】
（1）证明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB
又OP＝OP，
∴RtΔOPA≌RtΔOPB；
（2）解：∵△OPA≌ΔOPB，
∴OA＝OB．
又OE平分∠AOB，
∴AE＝BE
∴AE＝AB＝3．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键是明确相关定理，熟练运用已知条件进行证明和求解．
24．（1）（6，4），0≤PD＜2；（2）；（3）不存在，理由见解析
【分析】
（1）将y＝4代入y＝x中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小，可得出点P在线段CD上且纵坐标小于2，进而可得出PD的取值范围；
（2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（3）利用勾股定理及相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OE≠OB．
【详解】
解：（1）当y＝4时，有x＝4，
解得：x＝6，
∴点C的坐标为（6，4）；
∵l所在的函数随x的增大而减小，
∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2，
∴0≤PD＜2．
故答案为：（6，4）；0≤PD＜2．
（2）当l∥OC时，
∵点B为线段OA的中点，
∴点P是AC的中点，
∴P（3，4）．
设此时直线l的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将B（0，2）、P（3，4）代入y＝kx＋b，
得，解得
∴此时直线l的解析式为．
（3）不存在．
理由：当点P与点C重合时，OE取最大值，
最大值为：，
当点P与点D重合时，OE取最小值，
∵OB//CD，
∴△BEO∽△DEC，
∴
∴OE＝CE＝OC＝
∴OE≠OB．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；（3）利用勾股定理及相似三角形的性质求出OE的范围．
25．（1）；（2）不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时可以得到最大收益；（3）．
【分析】
（1）根据“当年收益销售金额（改造费用辅助设备费用种子、人工费用）”建立函数关系式即可得；
（2）设这三年的收益元，先参照（1）求出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得；
（3）设这三年的收益元，先参照（2）求出与的函数关系式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质即可得．
【详解】
（1）由题意得：当年销售收入为元，
改造费用为元，
辅助设备费用为元，
种子、人工费用为元，
则当年收益；
（2）设这三年的收益为元，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，
故不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时可以得到最大收益；
（3）设这三年的收益为元，
则，
此二次函数的对称轴为，
要使当时，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，
则在内，随的增大而增大，
因此有，
解得，
即的取值范围为．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）如图，作OM AC于M，利用等腰三角形的性质得到AO平分，再根据角平分线性质得OM=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定，，再计算，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明得到PE+EP最小值为，然后计算出OP和OB得到PB的长．
【详解】
（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．
∵ AB＝AC，AO⊥BC，
∴ AO平分∠BAC，
∵ OE⊥AB，OM⊥AC，
∴ OE＝OM，
∵ OE为⊙O的半径，
∴ OM为⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OM＝OE＝OF＝3．且F是OA的中点，
∴ AO＝6，在RtΔAEO中，AE＝，
∴ ＝OEAE＝．
∵ OE⊥AB，在RtΔAEO中，
∠OEA＝90°，AO＝6，AE＝，OE＝3，
∴ ∠EOF＝60°，
∴ ＝，
∴ ．
（3）解：如图，作点F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，
∵ ，
∴ ，此时EP+FP最小，
∵ OG=OF=OE，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即最小值为，
在中，，
在中，，
∴ ，
即当PE＋PF取最小值时，BP的长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形性质和最短路径问题，正确作出辅助线和掌握相关性质是解题的关键．
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图1所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．估算＋÷的运算结果应在( )
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
5．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
6．已知点A(－1，0)和点B(1，2)，将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应.若点A′的坐标为(1，－3)，则点B′的坐标为( )
A．(3，0)B．(3，－3)C．(3，－1)D．(－1，3)
7．一元二次方程与的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．-4C．4D．3
8．石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．对于命题“若，则”，下列的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．B．
C．D．
10．一组数据2，3，5，5，5，6，9．若去掉一个数据5，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
11．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．不是定值
12．有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（ ）
A．6B．3C．2D．1
13．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线
14．洛书被世界公认为组合数字的鼻祖，它是中华民族对人类伟大贡献之一，它是在一个正方形方格中，每个小方格内均有不同的数，任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等．如图是一个洛书，上面只有部分数字可见，则对应的数是（ ）
A．1B．4C．6D．8
15．如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线1，l与抛物线及其对称轴分别交于点A，B，H．以下结论：①当x＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④设点M关于x轴的对称点为M'，当a＝2时，点M′在l下方，其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，，CD＝AD＝3．点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEC的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EC于点H、K．若BG＝，∠FEG＝45°．则HK＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________．
18．如图，在中，，点分别是边上的点，于点．当时，________．
19．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与版比例函数（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求反比例函数的解析式为_____________．
（2）根据图象直接写出kx＋b＜的x的取值范围为_____________．
（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的动点，当|DE－PE|最大时，求点E的坐标为_____________．
三、解答题
20．已知有理数-3，1．
（1）在下列数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A，B表示；
（2）若｜m｜=2，在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n．
①计算m+n-mn；
②解关于x的不等式mx+4＜n，并把解集表示在下列数轴上．
21．对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝．
（解决问题）
（1）填空：M{sin45°，cs60°，tan60°}＝__________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为__________；
（2）如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值．
22．小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？
（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；
（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
23．如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：ΔOPA≌ΔOPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
24．如图，A（0，4），B（0，2），AC∥x轴，且与直线交于点C，CD⊥x轴于点D，P是折线AC－CD上一点设过点B．P的直线为l．
（1）点C的坐标为___________；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是___________．
（2）当l⊥OC时，求直线l的解析式；
（3）若l与线段OC有交点，设该交点为E，是否存在OE＝OB的情况？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．石家庄某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18．以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，这项费用每年均需投入．除上述费用外，没有其他费用，设改造x亩，每亩蔬菜年销售金额为k元
（1）设当年收益为y元，求y与x的函数关系式（用含k的式子表示）；
（2）按前三年计算，若k＝1500，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时可以得到最大收益？
（3）若20≤x≤60时，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求k的取值范围．
注：收益＝销售金额－（改造费＋辅助设备费＋种子、人工费）．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．
超市
女工人数占比
62.5%
62.5%
50%
75%
参考答案
1．C
【分析】
由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】
∵，∴的倒数是.
故选C
2．D
【分析】
根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．
【详解】
A、（2a）3=8a3，故本选项错误；
B、a3+a2不能合并，故本选项错误；
C、a8÷a4=a4，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】
圆柱的主视图是长方形，正方体的主视图是正方形，由此判断即可
【详解】
∵圆柱的主视图是长方形，正方体的主视图是正方形，
∴该几何体的主视图为
故选B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是画三视图的关键．
4．D
【详解】
，所以选D.
5．C
【详解】
分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
解答：解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选C．
6．C
【详解】
∵A(−1,0)平移后对应点A′的坐标为(1,−3)，
∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B(1,2)平移后B′的坐标是：(3,−1).
故选C.
7．D
【详解】
试题分析：方程中△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程中△=（﹣1）2﹣4×3=﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程与一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选D．
考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．
8．B
【分析】
根据总费用÷总人数为人均分摊费用，计算两次的分摊费用，后根据题意列出方程即可
【详解】
设该活动小组原有x人，则出发后的人数为（x+2）人，根据题意，得
，
故选B
【点睛】
本题考查了分式方程解应用题，熟练掌握列分式方程的基本要领是解题的关键．
9．D
【分析】
说明命题为假命题，即，的值满足，但不成立，把四个选项中的，的值分别代入验证即可．
【详解】
解：在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，满足“若，则”，故选项中，的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“若，则”不能成立，故选项中，的值能说明命题为假命题；
故选：．
【点睛】
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
10．D
【详解】
A、原来数据的平均数是×（2+3+5+5+5+6+9）=5，去掉一个数据5后平均数仍为5，故A与要求不符；
B、原来数据的众数是5，去掉一个数据5后众数仍为5，故B与要求不符；
C、原来数据的中位数是5，去掉一个数据5后中位数仍为5，故C与要求不符；
D、原来数据的方差是：×[（2–5）2+（3–5）2+3×（5–5）2+（6–5）2+（9–5）2]= ，
去掉一个数据5后，方差是×[（2–5）2+（3–5）2+2×（5–5）2+（6–5）2+（9–5）2]=5，发生变化的是方差．故选D．
11．B
【分析】
由折叠可得∠ABE=∠A'BE，由题意可证Rt△BCF≌Rt△BA'F，可得∠CBF=∠FBA'，即可求∠EBF的值．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∵折叠
∴AB=A'B，∠ABE=∠A'BE
∴A'B=BC，且BF=BF
∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL）
∴∠A'BF=∠CBF
∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF=90°
∴∠EBF=45°
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
12．B
【分析】
根据示意图，确定数字4的相邻面的数字，剩下的就是其对面的数字
【详解】
解：由题图可知，与相邻的数字有，，，，所以数字对面的数字为．
故选B
【点睛】
本题考查了正方体的相邻面和相对面的判定，看懂示意图，确定邻面的数字是解题的关键．
13．C
【分析】
根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．
【详解】
解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．
14．C
【分析】
直接利用任意一横行，一纵列及对角线的几个数之和都相等，得出等式进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：，
解得：．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等式是解题关键．
15．A
【分析】
根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与x轴交点坐标（-1，0）和对称轴与x轴交点（1，0）可对②作判断；根据对称性得：AH=BH，根据线段的和与差可对③作判断；根据M'的坐标和l到x轴的距离可对④作判断．
【详解】
①由题意得：a＞0，开口向上，
∵抛物线对称轴是x＝1，且经过点（﹣1，0），
∴抛物线过x轴另一个点为（3，0），
∴当x＝3.1时，y＞0；
故①正确；
②当P在O点时，AP＝PH，
∵a＞0，
∴P不可能与O重合，
故②不正确；
③BP﹣AP＝（BH+PH）﹣AP＝AH+PH﹣AP＝2PH＝2，
故③正确；
④把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+k中，k＝﹣4a，
当a＝2时，a+4＝6，﹣（﹣4a）＝8，点M'在l的上方，
故④不正确；
所以正确的有：①③，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．
16．B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到AC=3，根据相似三角形的性质得到，求得CK=，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到EM=AD=3，AM=DE=2，由勾股定理得到EG=，求得EK=，根据相似三角形的性质得到，设HE=3x，HK=x，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ADC=90°，CD=AD=3，
∴AC=3，
∵AB=5，BG=，
∴AG=，
∵AB∥DC，
∴△CEK∽△AGK，
∴，
∴，
∴，
∵CK+AK=3，
∴CK=，
如图，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，
∴EM=AD=3，AM=DE=2，
∴MG=，
∴EG=，
∵，
∴EK=，
∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，
∴△HEK∽△HCE，
∴，
∴HE=3x，HK=x，
∵△HEK∽△HCE，
∴，
∴，
解得： x=，
∴HK=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．x＞4
【分析】
根据分母不为0和二次根式被开方数大于等于0列不等式即可．
【详解】
根据题意列不等式得，，
解得，x＞4；
故答案为：x＞4．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于等于0和分母不为0，列出不等式．
18．4
【分析】
设，依据，，判定四边形是平行四边形，再根据，即可得出，进而得到方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设，
，，，
中，，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，，
又，
，
，
即，
解得，
，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，难度不大．
19． 0＜x＜4 E．
【分析】
(1)由且，利用三线合一得到O是AB的中点，求出的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P坐标代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；
(2)观察图象即可求解；
(3)假设存在这样的D点，是四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．
【详解】
(1)∵，，，
∴O是AB的中点，即，
∴，，
将代入反比例解析式得：，
即反比例解析式为，
(2)观察图象可知：时的取值范围为，
(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，
连接DC交PB于F，如图所示：
∵四边形BCPD为菱形，
∴，
∴，
将代入反比例函数，得，
∴D点的坐标为
∴则反比例函数图象上存在点D，是四边形BCPD为菱形，
此时D坐标为，
延长DP交轴于点E，则点E为所求，
则为最大，
设直线PD的表达式为：，
将点P、D的坐标代入上式得：
，
解得：，
故直线PD的表达式：，
令，则，
故点．
【点睛】
此题属于反比例函数综合，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等于三角形的性质，菱形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）①16；②x＞-1；数轴表示见解析
【分析】
（1）直接在数轴上标出A、B即可；
（2）①根据题意得出m、n的值，再代入计算即可；
②将m、n代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可．
【详解】
解：（1）如图：
．
（2）∵｜m｜=2，
∴m=±2，
∵在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，
∴m=-2，
∵在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n，
∴n=6，
①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，
②由-2x+4＜6，
解得x＞-1，
表示在数轴上如图所示：．
【点睛】
本题考查了数轴，解不等式，按照题目要求进行即可．
21．（1），；（2）－3或0
【分析】
（1）确定特殊角的三角函数值，后排序确定中位线即可；根据定义构造不等式组，解不等式组即可；
（2）根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,故需要分最大数是2和x+4两种情形解答．
【详解】
解：（1）∵sin45°＝，cs60°＝，tan60°＝，
且＜＜，
∴M{sin45°，cs60°，tan60°}＝；
∵max{3，5－3x，2x－6}＝3，
∴，
解①得x≥；解②得，
∴x的取值范围为：，
故答案为：，
（2）∵2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，根据不等式的性质，得x＋2＜x＋4,需要分最大数是2和x+4两种情形解答，
①当x＋4≤2时，即x≤－2，原等式变为：2（x＋4）＝2，x＝－3，
②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，原等式变为：2×2＝x＋4，x＝0，
综上所述，x的值为－3或0．
【点睛】
本题考查了新定义问题，中位数，不等式的性质，不等式组，一元一次方程，正确理解新定义，活用分类思想，准确转化为对应的数学模型是解题的关键．
22．（1）32（人），25（人）；（2）；（3）乙同学，见解析.
【分析】
（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；
（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；
（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共有员工多少人，再根据概率的定义即可求解．
【详解】
解：（1）A超市共有员工：20÷62.5％＝32（人），
∵360°－80°－100°－120°＝60°，
∴四个超市女工人数的比为：80：100：120：60＝4：5：6：3，
∴B超市有女工：20×＝25（人）；
（2）C超市有女工：20×＝30（人）．
四个超市共有女工：20×＝90（人）．
从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为＝．
（3）乙同学.
理由：D超市有女工20×＝15（人），共有员工15÷75%＝20（人），
再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为＝≠75％．
【点睛】
本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据角平分线得PA＝PB，再根据PO＝PO，即可得到Rt△AOP≌Rt△BOP；
（2）根据等腰三角形的性质，得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．
【详解】
（1）证明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB
又OP＝OP，
∴RtΔOPA≌RtΔOPB；
（2）解：∵△OPA≌ΔOPB，
∴OA＝OB．
又OE平分∠AOB，
∴AE＝BE
∴AE＝AB＝3．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键是明确相关定理，熟练运用已知条件进行证明和求解．
24．（1）（6，4），0≤PD＜2；（2）；（3）不存在，理由见解析
【分析】
（1）将y＝4代入y＝x中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小，可得出点P在线段CD上且纵坐标小于2，进而可得出PD的取值范围；
（2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（3）利用勾股定理及相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OE≠OB．
【详解】
解：（1）当y＝4时，有x＝4，
解得：x＝6，
∴点C的坐标为（6，4）；
∵l所在的函数随x的增大而减小，
∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2，
∴0≤PD＜2．
故答案为：（6，4）；0≤PD＜2．
（2）当l∥OC时，
∵点B为线段OA的中点，
∴点P是AC的中点，
∴P（3，4）．
设此时直线l的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将B（0，2）、P（3，4）代入y＝kx＋b，
得，解得
∴此时直线l的解析式为．
（3）不存在．
理由：当点P与点C重合时，OE取最大值，
最大值为：，
当点P与点D重合时，OE取最小值，
∵OB//CD，
∴△BEO∽△DEC，
∴
∴OE＝CE＝OC＝
∴OE≠OB．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；（3）利用勾股定理及相似三角形的性质求出OE的范围．
25．（1）；（2）不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时可以得到最大收益；（3）．
【分析】
（1）根据“当年收益销售金额（改造费用辅助设备费用种子、人工费用）”建立函数关系式即可得；
（2）设这三年的收益元，先参照（1）求出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得；
（3）设这三年的收益元，先参照（2）求出与的函数关系式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质即可得．
【详解】
（1）由题意得：当年销售收入为元，
改造费用为元，
辅助设备费用为元，
种子、人工费用为元，
则当年收益；
（2）设这三年的收益为元，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，
故不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时可以得到最大收益；
（3）设这三年的收益为元，
则，
此二次函数的对称轴为，
要使当时，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，
则在内，随的增大而增大，
因此有，
解得，
即的取值范围为．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
26．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）如图，作OM AC于M，利用等腰三角形的性质得到AO平分，再根据角平分线性质得OM=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定，，再计算，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明得到PE+EP最小值为，然后计算出OP和OB得到PB的长．
【详解】
（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．
∵ AB＝AC，AO⊥BC，
∴ AO平分∠BAC，
∵ OE⊥AB，OM⊥AC，
∴ OE＝OM，
∵ OE为⊙O的半径，
∴ OM为⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OM＝OE＝OF＝3．且F是OA的中点，
∴ AO＝6，在RtΔAEO中，AE＝，
∴ ＝OEAE＝．
∵ OE⊥AB，在RtΔAEO中，
∠OEA＝90°，AO＝6，AE＝，OE＝3，
∴ ∠EOF＝60°，
∴ ＝，
∴ ．
（3）解：如图，作点F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，
∵ ，
∴ ，此时EP+FP最小，
∵ OG=OF=OE，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即最小值为，
在中，，
在中，，
∴ ，
即当PE＋PF取最小值时，BP的长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形性质和最短路径问题，正确作出辅助线和掌握相关性质是解题的关键．
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