2021年河北省秦皇岛市海港区中考模拟考试数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年河北省秦皇岛市海港区中考模拟考试数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年河北省秦皇岛市海港区中考模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．把0.000516用四舍五入的方法，保留到万分位，并用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，要得到从点观测点的俯角，可以测量（ ）

A． B． C． D．
4．“的与的和不小于5”，用不等式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形中，，则（ ）

A．130° B．125° C．120° D．150°
6．如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（ ）

A． B． C． D．
7．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110

某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论中，正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．下列变形中，一定正确的是（ ）
A．若,那么 B．若，则
C．若，那么 D．若，则
9．化简的结果是，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知：如图，中，，求证：，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作的平分线交于点，②过点作于点，③取中点，连接，④作的垂直平分线，其中作法正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
13．已知关于的方程的一个根是．则方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是 D．有两个相等的实数根
14．如图是一个圆锥的三视图，俯视图是直径为的圆，主视图和左视图都是底为，腰为的等腰三角形，这个圆锥的体积是=（ ）

A． B． C． D．
15．如图：用一张长为4cm，宽3cm的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，图①是函数的图象，图②与图①关于直线对称，则②表示的函数是（ ）

A． B．
C． D．

二、填空题
17．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有_____个．

18．小亮求的近似值，下面是他的草稿纸上的部分内容：，，，，，，，依据以上数据，可以得到的近似值（精确到0.01）是__________．
19．已知关于，的二元一次方程．
（1）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是______；
（2）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是______；
（3）猜想：无论取何值时，关于，的方程一定有一个解是______．

三、解答题
20．定义新运算：对于任意，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：



（1）求的值．
（2）化简．
21．某学生会倡导的“爱心捐款”活动结束后，学生会干部对捐款情况作了抽样调查，并绘制了统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：8：2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人．
（1）他们一共抽查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数分别是多少？
（3）若该校共有2310名学生，请估算有多少人捐款数不少于20元？

22．已知：二次函数与反比例函数．
（1）请在给出的同一直角坐标系中画出这两个函数的图像；
（2）直接判断方程的解的个数，并直接写出方程的解．

23．如图，、、三点在线段上，且，将线段绕点按顺时针方向旋转度（），点的对应点为点．同时将线段绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点为点，连接和．
（1）若（如图1），和的交点为．
①求证：．
②求证：为等腰三角形．
（2）若，当时，______．

24．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为　 　km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

25．已知抛物线与轴交于点，顶点为．
（1）若抛物线过点，求抛物线解析式．
（2）设点的纵坐标为，用含的代数式表示，求出的最小值．
（3）若，随着增大点上升而点下降，求的取值范围．
26．矩形中，，，为边上一点（不与、重合），且．过点做交于点，以、为端点做弧（弧为劣弧或半圆），弧的圆心为点，且点在矩形内部或边上，设点到距离为．

（1）求的度数（）．
（2）若，如图1，以、为端点向左侧做弧．
①若弧为半圆，直接写出半圆弧与对角线所围成的封闭图形的面积．
②当线段与弧只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当弧与边相切时，直接写出与的函数关系式．（不用写出的取值范围）


参考答案
1．C
【分析】
各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
解：A、，故A错误；
B、=0，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．A
【分析】
0.000516用四舍五入的方法，保留到万分位为0.0005，再表示即可．
【详解】
∵0.000516≈0.0005，
∴0.0005＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了近似数,科学记数法,准确进行四舍五入求近似数是解题的基础，熟练运用科学记数法表示是解题的关键．
3．A
【分析】
根据俯角的定义即可得出答案
【详解】
解：过点D作DF//AB，
∴
∵水平线以下与视线的夹角，即是俯角，
∴从点观测点的俯角为，
∴可以测量，
故选：A

【点睛】
此题主要考查了仰角与俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
4．B
【分析】
首先表示出x的为，再表示与的和为，最后再表示不小于5即可得到答案．
【详解】
解：由题意得：
故选：B
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
5．D
【分析】
根据BA=BC，得到∠BCA=15°，∠B=150°，利用菱形的对角相等求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠B=∠D，
∴∠BCA=∠1，
∵，
∴∠BCA=15°，
∴∠B=180°-∠BCA-∠1=150°，
∴∠D=150°；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】
画树状图，确定所有的等可能性，确定指定事件的等可能性，利用概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
，
所有的等可能性有8种，两个转盘的指针都不落在“1”区域的等可能性有3种，
∴两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是，
故选C．
【点睛】
本题考查了画树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
7．D
【详解】
分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．
故①②③正确，
故选D．
点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．D
【分析】
根据等式的性质,方程的解法,比的性质判断即可.
【详解】
A.仅当c=0时, ,该选项错误;
B. 若，则,该选项错误;
C. 若，当c≠0时,那么,该选项错误;
D. 若，则,该选项正确;
故选D.
【点睛】
本题考查等式的性质,解方程,比的性质,关键在于熟悉相关基本性质.
9．B
【分析】
先列出方程，再解分式方程即可得出答案．
【详解】
解：根据题意可得=，
去分母得：2（x-a）=2（x+1），
整理得：-2a=2
解得：a=-1
故选：B
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，属于基础题．
10．B
【分析】
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【详解】
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图和三角形内心的理解，准确判断是解题的关键．
11．B
【分析】
根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解．
【详解】
∵作的平分线交于点，
则，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∴①作法正确；
∵过点作于点，
则，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∴②作法正确；
∵取中点，连接，
无法证明△ABD≌△ACD，
∴③作法不正确；
∵作的垂直平分线无法证明点A在其上，
∴④作法不正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】
根据轴对称图形的定义和对称轴的条数两个角度思考判断．
【详解】
当放置在①位置时，构成的图形是轴对称图形，且有两条对称轴，
∴A不符合题意；
当放置在②位置时，构成的图形不是轴对称图形，
∴B不符合题意
当放置在③位置时，构成的图形是轴对称图形，且有一条对称轴，
∴C符合题意
当放置在④位置时，构成的图形不是轴对称图形，
∴D不符合题意
故选C．
【点睛】
本题考查了拼图中的轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，准确确定对称轴的条数是解题的关键．
13．D
【分析】
把代入得出c的值，从而得出方程，继而根据判别式得出方程根的情况．
【详解】
解：把x=-1代入方程得1-4+c=0，
解得：c=3，
则方程为；
△=16-16=0，
∴有两个相等的实数根，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．A
【分析】
根据三视图的特点得知母线和底面直径，得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．
【详解】
解：由三视图可知，圆锥的底面直径均为8cm，母线长为5cm，
∴圆锥的高=，
∴这个圆锥的体积=，
故选：A
【点睛】
本题考查了圆锥的体积，本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
15．D
【分析】
运用所给三角形的三边长数据，结合高进行判定即可.
【详解】
A选项，长度3边上的高在纸片上，可以实现；
B选项，长度3边上的高在纸片上，可以实现；
C选项，长方形对角线长5，可以实现；
D选项，高大于3，不在纸片上，不可能实现；
故选：D.
【点睛】
此题主要考查长方形中三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
16．C
【分析】
设点（a，b）是图像上一点，它关于直线对称的对称点坐标为（m,n），根据题意，确定a,m和b,n之间关系，代入中即可
【详解】
设点（a，b）是图像上一点，它关于直线对称的对称点坐标为（m,n），根据题意，得a=m，，∴b=-n-1，
∵ab=1，
∴m(-n-1)=1,
∴，
∴，
故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式，轴对称，中点坐标公式，用被求图像上点的横坐标，纵坐标分别表示已知图像上的点对应的横坐标，纵坐标是解题的关键．
17．3
【详解】
试题分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻．
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，
∴∠ABD=180°-72°-36°-36°=36°=∠A，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°-72°-36°=72°=∠C，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C=∠ABC=72°，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
考点：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理
点评：由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．同时注意做到由易到难，不重不漏.
18．3.87
【分析】
根据给出的数据进行估值，比较得出3.87较为接近.
【详解】
由题意，得
最接近15，
若精确到0.01，则3.87较为合适，
故答案为：3.87.
【点睛】
此题主要考查运用平方根无理数的估值，熟练掌握，即可解题.
19．
【分析】
（1）利用加减消元法求解可得；
（2）利用加减消元法求解可得；
（3）归纳总结确定出所求即可；
【详解】
解：（1），
②-①得：x=1，
把x=1代入①得：y=1，
∴
（2），
①-②得：x=1，
把x=1代入①得：y=1，
∴
（3）
∴
当x=2时，y=3
无论k取何值，关于x，y的方程一定有一个解是
故答案为：，，
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）27；（2）
【分析】
（1）先根据新定义运算的运算顺序运算即可；
（2）先用乘法分配律算乘法，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴
=
=27；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，理解新定义运算顺序并正确运用运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（1）他们一共抽查了66人；（2）这组数据的众数是20，中位数是15；（3）有1050捐款数不少于20元．
【解析】
【分析】
(1),根据捐15元和20元的总人数及其比例,可列一元一次方程,进而可求出调查的总人数;对于(2),根据这组数据可直接算出众数和中位数;对于(3),需先计算出调查的人中捐款不少于20元的人数所占的比例,进而可估算出全校捐款不少于20元的人数
【详解】
（1）39÷ ＝66（人），
即他们一共抽查了66人；
（2）由直方图可知，
这组数据的众数是20，中位数是15；
（3）2310×＝1050（人），
答：有1050捐款数不少于20元．
【点睛】
此题考查中位数和条形统计图，解题关键在于看懂图象中的数据
22．（1）见解析；（2），，．
【分析】
（1）利用描点法画二次函数和反比例函数的图象即可；
（2）结合图象，两函数交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
解：（1）对于二次函数，列表如下
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1

4
-1
-4
-5
-4
-1
4
对于反比例函数，列表如下：
x
-4
-2
-1
1
2
4

-1
-2
-4
4
2
1
故两函数图象如下：

（2）结合图象可知，方程有三个解，分别是，，．
【点睛】
本题考查了二次函数与反比例函数的图象，二次函数和方程的关系．正确作出函数的图象是解题的关键．
23．（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】
（1）①由旋转的性质，得到，然后根据SAS即可证明结论成立；
②由①知，再根据等角对等边即可得到结论成立；
（2）由题意，由，则，然后解关于的方程即可．
【详解】
（1）证明：
①∵即
∵
∴
∵，
∴；

②∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）根据题意，若，当时，如图，

∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，以及角的数量关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而进行解题．
24．（1）900；（2）当两车出发4小时时相遇；（3）慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；（4）
【分析】
（1）根据已知条件和函数图象可以直接写出甲、乙两地之间的距离；
（2）根据题意可以得到点B表示的实际意义；
（3）根据图象和题意可以分别求出慢车和快车的速度；
（4）根据题意可以求得点C的坐标，由图象可以得到点B的坐标，从而可以得到线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围．
【详解】
解：（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为900km，
故答案为：900；
（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；
（3）由题意可得，
慢车的速度为：900÷12＝75km/h，
快车的速度为：（900﹣75×4）÷4＝150km/h，
即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；
（4）由题可得，
点C是快车刚到达乙地，
∴点C的横坐标是：900÷150＝6，纵坐标是：900﹣75×6＝450，
即点C的坐标为（6，450），
设线段BC对应的函数解析式为y＝kx+b，
∵点B（4，0），点C（6，450），
∴，得，
即线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是y＝225x﹣900（4≤x≤6）．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答，注意最后要写出自变量x的取值范围．
25．（1），；（2）的最小值为；（3）
【分析】
（1）直接把点代入抛物线，求出的值，即可得到答案；
（2）令，求出，然后利用二次函数的性质，即可求出答案；
（3）分别求出和，然后结合二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）把代入，得
，
解得：，；
∴抛物线解析式为：，；
（2）∵，
令，则，
∵，
∴的最小值为；
（3）∵，
又∵抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为．
∴，，
∴；
；
当时，随着增大点上升；
当时，随着增大点下降；
所以，当时，随着增大点上升而点下降．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题．
26．（1）；（2）①；②的取值范围是；（3）
【分析】
（1）在在Rt△BCD中，，从而可求出的度数，再根据直角三角形的两锐角互余；
（2）①，，，
设半圆与的另一个交点为，则可求出和，即半圆弧与对角线所围成的封闭图形的面积=-；
②连接EF，取EF的中点G，过点G作MN⊥EF交AB，CD于点M，N，过点F作PF⊥BD于F，交MN于点P，当弧与边相切时，，则易得tan∠PFG=tan∠CBD=，从易得PG=，y=，从而可求出当线段与弧只有一个交点时y的取值范；
（3）连接EF，取EF的中点G，过点G作MN⊥EF交AB，CD于点M，N，过点F作PF⊥BD于F，交MN于点P，当弧与边相切时，，则易得tan∠PFG=tan∠CBD=，又因为，所以BE=4x，则EF=3x，GF= ，易得PG= ，
再根据PM=PG+GM=PG+BE即可得到y与x的函数关系式．
【详解】
解：（1）在Rt△BCD中，
，且
∴，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∴．
（2）①如图所示，

∵，BC=4，
∴，
∵在Rt△BEF中，
tan∠EBF==
∴，PF=
设半圆与的另一个交点为，在中，
∴，
∴∠FPQ=37°，
在Rt△FPQ中
tan∠FPQ==
∴sin∠FPQ=，cos∠FPQ=．
∴FQ= ，PQ=．
∴FG=．
∴
= ，
∴
②如图所示，连接EF，取EF的中点G，过点G作MN⊥EF交AB，CD于点M，N，过点F作PF⊥BD于F，交MN于点P，当弧与边相切时，，则易得tan∠PFG=tan∠CBD=，
∵，BC=4，
∴，
∵在Rt△BEF中，
tan∠EBF==
∴，GF=
∵，
∴，
∴tan=．
∴PG=．
∵MG=BE=，
∴PM=MG+PG=+=．
∴当线段与弧只有一个交点时，的取值范围是．

（3）如图所示，连接EF，取EF的中点G，过点G作MN⊥EF交AB，CD于点M，N，过点F作PF⊥BD于F，交MN于点P，当弧与边相切时，，则易得tan∠PFG=tan∠CBD=，
∵，BC=4，
∴，
∵在Rt△BEF中，
tan∠EBF==
∴，GF=
∵，
∴，
∴tan=．
∴PG=．
∵MG=BE=，
∴PM=MG+PG=+=．
∴当弧与边相切时，与的函数关系式是．

【点睛】
本题主要考查三角函数的应用、垂径定理、圆的切线的性质、矩形的性质等知识，掌握相关知识正确作出辅助线是解题的关键．