中考数学真题：2019年河北省初中毕业生升学文化课考试

这是一份中考数学真题：2019年河北省初中毕业生升学文化课考试，共15页。试卷主要包含了 如图，从点C观察点D的仰角是， 小明总结了以下结论等内容，欢迎下载使用。

本试卷总分120分，考试时间120分钟．
卷Ⅰ(选择题，共42分)
注意事项：
1. 答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列图形为正多边形的是( )
2. 规定：(→2)表示向右移动2记作＋2，则(←3)表示向左移动3记作( )
A. ＋3 B. －3 C. －eq \f(1,3) D. ＋eq \f(1,3)
3. 如图，从点C观察点D的仰角是( )
第3题图
A. ∠DAB B. ∠DCE C. ∠DCA D. ∠ADC
4. 语句“x的eq \f(1,8)与x的和不超过5”可以表示为( )
A. eq \f(x,8)＋x≤5 B. eq \f(x,8)＋x≥5 C. eq \f(8,x＋5)≤5 D.eq \f(8,x)＋x＝5
5. 如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
第5题图
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
6. 小明总结了以下结论：
①a(b＋c)＝ab＋ac；
②a(b－c)＝ab－ac；
③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；
④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0)．
其中一定成立的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
则回答正确的是( )
A. 代表∠FEC
B. @代表同位角
C. ▲代表∠EFC
D. ※代表AB
8. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为eq \f(1,50000)，把eq \f(1,50000)用科学记数法表示为( )
A. 5×10－4 B. 5×10－5
C. 2×10－4 D. 2×10－5
9. 如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为( )
第9题图
A. 10 B. 6 C. 3 D. 2
10. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )
11. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表．
正确统计步骤的顺序是( )
A. ②→③→①→④
B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③
D. ②→④→③→①
12. 如图，函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)（x＞0），,－\f(1,x)（x＜0）))的图象所在坐标系的原点是( )
第12题图
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
13. 如图，若x为正整数，则表示eq \f(（x＋2）2,x2＋4x＋4)－eq \f(1,x＋1)的值的点落在( )
第13题图
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
14. 图②是图①中长方体的三视图，若用S表示面积，且S主＝x2＋2x，S左＝x2＋x，则S俯＝( )

图① 图②
第14题图
A. x2＋3x＋2 B. x2＋2 C. x2＋2x＋1 D. 2x2＋3x
15. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x＝－1
D. 有两个相等的实数根
16. 对于题目：“如图①，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转
第16题图①
(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n.
甲：如图②，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13.
乙：如图③，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14.
丙：如图④，思路是当x为矩形的长与宽之和的eq \f(\r(2),2)倍时就可移转过去；结果取n＝13.
图② 图③ 图④
第16题图
下列正确的是( )
A. 甲的思路错，他的n值对
B. 乙的思路和他的n值都对
C. 甲和丙的n值都对
D. 甲、乙的思路都错，而丙的思路对
卷Ⅱ(非选择题，共78分)
二、填空题(本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17. 若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为________．
18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4＋3＝7.
第18题图
则(1)用含x的式子表示m＝________；
(2)当y＝－2时，n的值为________．
19. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．
第19题图
(1)A，B间的距离为________km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为________km.
三、解答题(本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20. (本小题满分8分)
有个填写运算符号的游戏：在“1Ｋ2Ｋ6Ｋ9”中的每个Ｋ内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．
(1)计算：1＋2－6－9；
(2)若1÷2×6Ｋ9＝－6，请推算Ｋ内的符号；
(3)在“1Ｋ2Ｋ6－9”的Ｋ内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
21. (本小题满分9分)
已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B＞0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2.求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
第21题图
22. (本小题满分9分)
某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9(单位：元)三种．从中随机拿出一个球，已知P(一次拿到8元球)＝eq \f(1,2).
(1)求这4个球价格的众数；
(2)若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法(如图)求乙组两次都拿到8元球的概率.
第22题图
23. (本小题满分9分)
如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
(1)求证：∠BAD＝∠CAE；
(2)设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
第23题图

备用图
24. (本小题满分9分)
长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进．如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m)．
(1)当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．
第24题图
25. (本小题满分10分)
如图①和②，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝eq \f(4,3).点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x.
(1)如图①，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；
(2)当x＝4时，如图②，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧eq \(PQ,\s\up8(︵))长度的大小；
(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．
第25题图①

第25题图②
备用图
26. (本小题满分12分)
如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.
(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
第26题图
2019河北中考数学解析
1. D 【解析】正多边形的各边、各角都相等，选项A、B、C中各边不相等，不是正多边形，选项D中各边、各角都相等，为正五边形．
2. B 【解析】∵向右移动记作＋，∴向左移动记作－.∴向左移动3记作－3.
3. B 【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.
4. A 【解析】“x的eq \f(1,8)与x的和不超过5”可表示为eq \f(x,8)＋x≤5.
5. D 【解析】根据菱形的性质可知∠DAB＝180°－∠D＝30°，∴∠1＝eq \f(1,2)∠DAB＝15°.
6. C 【解析】∵a(b＋c)＝ab＋ac，a(b－c)＝ab－ac，(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)，a÷(b＋c)＝eq \f(a,b＋c)≠a÷b＋a÷c(a≠0)∴①②③正确，④错误．
7. C 【解析】辅助线作法为：延长BE交CD于点F，则※代表CD；∵∠BEC＝∠EFC＋∠C，∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EFC，∴◎代表∠EFC，▲代表∠EFC；∵∠B＝∠EFC，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，∴@代表内错角．
8. D 【解析】eq \f(1,50000)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,10000)＝0.2×10－4＝2×10－5，故选D.
9. C 【解析】如解图，再涂黑3个小三角形，构成等边三角形，此时组成的新图案有三条对称轴，故选C.
第9题解图
10. C 【解析】三角形外心为各边垂直平分线的交点，选项C中作图痕迹为两边的垂直平分线，则用直尺作出这两条垂直平分线，交点即为外心．故选C.
11. D 【解析】根据统计的要求，正确的统计步骤应为：②去图书馆收集学生借阅图书的记录；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类．所以正确顺序应为②④③①，故选D.
12. A 【解析】y＝eq \f(1,x)(x>0)的图象在第一象限，y＝－eq \f(1,x)(x<0)的图象在第二象限，由图可知，当点M为坐标原点时，符合上述要求，故选A.
13. B 【解析】化简得eq \f(（x＋2）2,x2＋4x＋4)－eq \f(1,x＋1)＝eq \f(（x＋2）2,（x＋2）2)－eq \f(1,x＋1)＝1－eq \f(1,x＋1)，∵x为正整数，即x≥1，∴014. A 【解析】∵S主＝x2＋2x＝x(x＋2)，S左＝ x2＋x＝x(x＋1)，∴俯视图的两个边分别为(x＋2)和(x＋1)，∴S俯＝(x＋2)(x＋1)＝ x2＋3x＋2.故选A.
15. A 【解析】∵a＝1，b＝4，∴方程为x2＋4x＋c＝0，∵其中的一个根为x＝－1，∴将x＝－1代入方程可得(－1)2＋4×(－1)＋c＝0，解得c＝3，∵所抄的c比原方程的c值小2，∴原方程的c值为5，∴原方程为x2＋4x＋5＝0，∴Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，∴原方程没有实数根．故选A.
16. B 【解析】当x为矩形外接圆直径长时就可以转过去，矩形的对角线为直径，对角线为eq \r(122＋62)＝6eq \r(5)≈13.416，∴n＝14.∴甲的思路对，n值错；乙的思路和n值都对，丙的思路和n值都错．故选B.
17. －3 【解析】∵7－2×7－1×70＝7－2－1＋0＝7－3＝7p，∴p＝－3.
18. (1)3x； (2)1
【解析】根据题意得m＝x＋2x＝3x，n＝2x＋3，y＝m＋n＝5x＋3，当y＝－2时，可得x＝－1，n＝1.
19. (1)20 【解析】∵A(12，1)、B(－8，1)，∴AB＝12－(－8)＝20；
(2)13 【解析】如解图，根据点到直线的距离垂线段最短，可知最短公路l在y轴上，即为CF，作AC的垂直平分线交CF于点D，交AC于点E，则点D即为所求．∵AF＝12，CF＝18，∴ AC＝eq \r(AF2＋CF2)＝6eq \r(13)，∴CE＝eq \f(1,2)AC＝3eq \r(13)，∵∠ACF＝∠DCE，∴△DCE∽△ACF，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(CE,CF)，∴eq \f(CD,6\r(13))＝eq \f(3\r(13),18).∴CD＝13.
第19题解图
20. 解：(1)原式＝3－15
＝－12；
(2)∵1÷2×6＝3，
∴3□9＝－6.
∴□内是－号；
(3)－20.
【解法提示】∵当1□2□6最小时，1□2□6－9的值最小，∴当1□2□6＝1－2×6＝－11时值最小，∴1－2×6－9＝－11－9＝－20.
21. 解：尝试 整式A化简得：
A＝(n2－1)2＋(2n)2
＝n4－2n2＋1＋4n2
＝n4＋2n2＋1
＝(n2＋1)2，
发现 ∵A＝B2，∴B2＝(n2＋1)2，∴B＝±(n2＋1)，
∵B＞0，∴B＝n2＋1；
联想
【解法提示】当2n＝8时，n＝4，B＝n2＋1＝17；当n2－1＝35时，n2＝36，B＝n2＋1＝37.
22. 解：(1)∵P(一次拿到8元球)＝eq \f(1,2)，
∴8元球为2个，
∴四个乒乓球的价格为7、8、8、9，
∴这四个球价格的众数为8；
(2)①相同；
理由：原四个球的中位数为8，拿走一个7元球后，剩余球的价格为8、8、9，中位数为8，与原来4个球价格的中位数相同．
②列表如下：
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中乙组两次都拿到8元的结果共4种，
∴P(乙组两次都拿到8元球)＝eq \f(4,9).
23. (1)证明：在△ABC和△ADE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠B＝∠D，,BC＝DE，))
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE；
(2)解：∵AD＝6，∴PD＝6－AP＝6－x，
∴当AP最小时，PD的值最大．
如解图，当AP⊥BC时，x最小，PD最大，
第23题解图
∵AB＝6，∠B＝30°，
∴x＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×6＝3.
∴PD＝6－x＝3，即PD的最大值为3；
(3)解：m＝105，n＝150.
【解法提示】∵点I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC和∠ACP，∵AB⊥AC，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝60°.∴∠AIC＝180°－∠IAC－∠ICA＝180°－eq \f(1,2)∠CAP－eq \f(1,2)∠ACB＝150°－eq \f(1,2)∠CAP.∵0°＜∠CAP＜90°，∴105°＜∠AIC＜150°，即m＝105，n＝150.
24. 解：(1)①由题意知S头＝vt＋300，
∵v＝2(m/s)，∴S头＝2t＋300；
②∵v＝2，甲的速度为2v，∴甲的速度为4m/s，
甲从排尾赶到排头时，4t＝2t＋300，解得t＝150(m)，
代入可得，S头＝2×150＋300＝600(m)；
甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t－150)s，
则S甲＝600－4(t－150)＝－4t＋1200；
(2)设甲从排尾赶到排头所用时间为t1，则2vt1＝vt1＋300，∴t1＝eq \f(300,v).
甲从排头返回排尾时所用时间为t2＝eq \f(300,v＋2v)＝eq \f(100,v)，
∴T＝t1＋t2＝eq \f(400,v)；
∴队伍在此过程中行进的路程为eq \f(400,v)×v＝400 m.
25. 解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙O的直径，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝∠CBP, ∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝eq \f(4,3)，
∵BP＝x，∴CP＝eq \f(4,3)x.
∵CP为⊙O的切线，
∴∠BPC＝90°，
在Rt△CBP中，BP2＋PC2＝BC2，
∴x2＋(eq \f(4,3)x)2＝152，解得x＝9，
即x为9时，圆心O落在AP上；
垂直；
【解法提示】∵AP为⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AD，∵AD∥BC，∴PE⊥BC.
(2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ，
第25题解图
由(1)可知BM＝9，CM＝eq \f(4,3)×9＝12，
∵AB＝3，∴AM＝12，∴AM＝CM.∴∠CAP＝45°.
∵x＝4，∴AP＝7，PM＝5.
∴CP＝eq \r(CM2＋PM2)＝eq \r(122＋52)＝13.
∵OF⊥AP，∴PF＝eq \f(1,2)AP＝eq \f(7,2).
∵CP为⊙O的切线，∴OP⊥CP，
∴∠OPF＋∠CPM＝90°，
又∵∠CPM＋∠PCM＝90°，
∴∠OPF＝∠PCM，
又∵∠OFP＝∠PMC＝90°，
∴△OPF∽△PCM，
∴eq \f(OP,PC)＝eq \f(PF,CM)，即eq \f(OP,13)＝eq \f(\f(7,2),12)，
解得OP＝eq \f(91,24).
∵∠QOP＝2∠CAP＝90°，
∴leq \(PQ,\s\up8(︵))＝eq \f(1,4)×2π×eq \f(91,24)＝eq \f(91π,48)，
∵eq \f(91π,48)＜7，
∴leq \(PQ,\s\up8(︵))leq \(PQ,\s\up8(︵))；
(3)x≥18.
26. 解：(1)∵直线a与y轴交与点B，
∴B(0，－b)，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴b＝4；
∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x，对称轴为x＝－eq \f(4,－2)＝2，
当x＝2时，y＝2－4＝－2，
∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2)；
(2)∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx，
∴点C的坐标为(eq \f(b,2)，eq \f(b2,4))．
∵点C在l下方，
∴点C与l的距离为b－eq \f(b2,4)＝－eq \f(1,4)(b－2)2＋1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；
(3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－xeq \\al(2,0)＋bx0，
∵y3是y1、y2的平均数，
∴y3＝eq \f(y1＋y2,2)，即－xeq \\al(2,0)＋bx0＝eq \f(x0,2)，
化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，
解得x0＝0或x0＝b－eq \f(1,2)，
∵x0≠0，
∴x0＝b－eq \f(1,2)，
对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．
解得x1＝0，x2＝b，
∵b＞0，
∴D点坐标为(b，0)，
∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)；
(4)4040；1010.
【解法提示】当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，
抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019x，
联立可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－2019，,y＝－x2＋2019x.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2020，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2019，,y＝0.))
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)，
∴美点的个数为2021＋2019＝4040个；
当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，
抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，
联立可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－2019.5，,y＝－x2＋2019.5x.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2020.5，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2019.5，,y＝0.))
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，
∴美点的个数为0＋1010＝1010个．直角三角形三边
n2－1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
又拿
先拿
直角三角形三边
n2－1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
17
勾股数组Ⅱ
35
37
先拿
又拿
8
8
9
8
(8，8)
(8，8)
(8，，9)
8
(8，8)
(8，8)
(8，9)
9
(9，8)
(9，8)
(9，9)