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2021年河北省迁安市中考二模数学试题 （word版 含答案）
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这是一份2021年河北省迁安市中考二模数学试题 （word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省迁安市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后所得的几何体如图2，下列关于视图的说法正确的是（ ）
A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变 D．主视图不变，俯视图改变
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，现将一块三角板含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点关于原点对称的点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
7．一名射箭运动员统计了45次射箭的成绩，并绘制了如图所示的折线统计图则在射箭成绩的这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，8 B．8，8 C．8，9 D．18，18
8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
9．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm
13．已知数据划x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（ ）
A．b一定增大，c可能增大 B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大 D．b可能增大，c可能不变
14．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
15．如图，在3×4的正方形网格图中，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则下列关于的说法不正确的是（ ）
A．是直角三角形 B． C．面积为4 D．边上的高为
16．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题
17．分解因式：_____．
18．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是___________，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？_________（填“变”或“不变”）．
19．如图，，点P为射线OM上一定点，且，点Q是射线上一动点，且点Q以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t．连接，以为一条边向右侧作等边．若，则_________；若t的取值范围是，则点H的运动路径长为___________．
三、解答题
20．如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中，且b的倒数是它本身，且a、c满足．
（1）计算：的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
21．下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ＝ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ，
∴PQl（ ）（填推理的依据）．
22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，琪琪先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，乐乐从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程的解时，则琪琪获胜；若m，n都不是方程的解时，则乐乐获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
24．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价（元/件，）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价
8
10
销售数量
70
58
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为，求的最大值．
25．如图，在中，，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作的切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接．设旋转角为．
（1）当时，求证：是的切线；
（2）当与相切时，求旋转角和点H运动路径的长；
（3）当面积最大时，请直接写出此时点H到的距离．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为0，据此解答即可．
【详解】
解：由相反数的性质知：a+b=0，a=-b，；
A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. 由得，即a，b互为倒数，故此错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查的是相反数的相关定义和知识，相反数只是符号相反但绝对值相等的两个数，要特别注意0这个特殊的数字，以免造成错解．
2．D
【分析】
找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图和俯视图中．
【详解】
解：观察可发现，题图1和图2的从正面看到的形状图没有变化都如图（1）所示，
而从上面看到的形状图发生改变，图1的从上面看到的形状图如图（2）所示，
图2的从上面看到的形状图如图（3）所示．
故选：D．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
3．C
【分析】
A.根据算术平方根法则解题；
B.根据同类项定义解题；
C.根据幂的乘方法则解题；
D.根据单项式乘以多项式法则解题．
【详解】
解：A. ，故A错误；
B. 与不是同类项，不能合并，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、同类项的定义、单项式乘以多项式、算术平方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】
先根据两直线平行的性质，得到∠3=∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=85°，
∴85°+60°+∠3=180°，
∴∠3=35°，
∴∠2=35°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
5．D
【分析】
根据题意可得点在第四象限，从而得到关于a的不等式组，进而即可求解．
【详解】
解：∵点关于原点对称的点在第二象限，
∴点在第四象限，
∴a＞0且2-a＜0，即：a＞2，
∴a的取值范围在数轴上表示如下：
故选D．
【点睛】
本题主要考查点的坐标以及不等式组的综合，熟练掌握点所在象限与点的坐标关系是解题的关键．
6．D
【分析】
由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7．B
【分析】
根据统计图信息，得到6环5次，7环8次，8环18次，9环10次，10环4次，根据众数和中位数的定义分别计算即可．
【详解】
由图可知，
6环5次，7环8次，8环18次，9环10次，10环4次，8环出现次数最多，18次，
故众数为8环，
按照由小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数为8环，
故选B．
【点睛】
本题考查了折线统计图，众数，中位数，读懂折线图，获得正确的信息，熟记众数，中位数的定义是解题的关键．
8．C
【分析】
根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，由AB：DE=3：2，根据相似的性质进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∵AB：DE＝3：2，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，及相似三角形的判定与性质，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
9．D
【分析】
先将写成小数形式，然后再将其用科学记数法表示即可．
【详解】
解：=0.000005=．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，将小数写成a×10n（1＜| a |＜10，n为整数），确定a和n的值成为解答本题的关键．
10．C
【分析】
把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】
∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
11．B
【分析】
先求出正五边形的内角，再根据面积计算公式计算即可；
【详解】
∵正五边形的内角和为，
∴每一个内角为：，
图中阴影部分的圆心角为：，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质和扇形面积计算公式，准确计算是解题的关键．
12．C
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
13．B
【分析】
根据平均数的定义、中位数的定义、方差的概念和性质判断即可．
【详解】
解：∵数据x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，x101是中国首富马化腾的年收入，
∴x101是远远大于x1、x2、x3、……、x100，
∴这101个数据中，中位数为b可能不变，有可能增大，方差为c一定增大，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是算术平均数、中位数、方差的概念和性质，正确理解中国首富马化腾的年收入远远大于福建某企业普通职工的年收入是解题的关键．
14．B
【详解】
解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故选B．
15．C
【分析】
先求出AB，AC，BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，进而逐一判断各个选项，即可.
【详解】
解：由题意得：AB=，AC=，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴是直角三角形，故A选项正确，不符合题意，
，故B选项正确，不符合题意，
的面积=，故C选项不正确，符合题意，
边上的高=，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.
16．D
【分析】
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．
【详解】
如图，设点A（x，y），
A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），
由图形可知：当x=1时，y＜3，
∴k=xy＜3，
∵y＞x，
∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
故选项④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理解x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．
17．a（a-2）
【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
解：.
故答案为．
【点睛】
此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
18． 不变
【分析】
设每个长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图得相等关系：长+3×宽=19，长−宽=7，根据相等关系可列出方程组，解方程组即可求得一个长方形的长和宽，从而可求得一个长方形的面积，当然也可求得大长方形的面积，两者之差便是所求阴影部分的面积；显然平移不改变阴影部分的面积．
【详解】
设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，则有方程组：
解得：
所以大长方形的宽为：7+2×3=13(cm)，其面积为13×19=247(cm2)，一个小长方形的面积为3×10=30(cm2)
所以阴影部分的面积为：247-6×30=67(cm2)
由于平移不改变图形的面积，故这六个小长方形的总面积不变，又大长方形的面积一定，所以阴影部分的面积不变．
故答案为：67cm2；不变．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组解决与图形有关的问题，以及平移的性质，关键是从图形中寻找两个等量关系并列出方程组．
19．3 6
【分析】
根据题意，得∠PQO=30°，计算OQ=6，得t=6÷2=3；设初始等边三角形为△POA，证明AH=OQ即可
【详解】
∵，∠PQH=60°，
∴∠PQO=30°，
∴tan30°=，
∴OQ==6，
∴t=6÷2=3；
设初始等边三角形为△POA，连接AH，
∵△POA，△PQH都是等边三角形，
∴PO=PA，PQ=PH，∠OPA=∠QPH=60°，
∴∠OPQ=∠APH
∴△OPQ≌△APH，
∴OQ=AH=6，
∴点H的运动路径长为6，
故答案为：3；6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的证明是解题的关键．
20．（1）13；（2）-8
【分析】
（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得：，
则；
（2）∵，且b的倒数是它本身，
∴，
∵，
∴和重合，和的中点为，
∵，
∴与点C重合的点表示的数是．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）PO，AO，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）根据作图的步骤，直接作图，即可；
（2）先证明△POQ≌△AOB，从而得∠QPO＝∠BAO ，进入即可得到PQ∥l．
【详解】
（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】
本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据作图步骤，作出图形，是解题的关键．
22．（1）；（2）乐乐获胜的概率大
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，比较即可得出答案．
【详解】
解：（1）从甲袋摸出一个小球共有4种结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2、5这两种结果，
∴小球上的数字使代数式的值为0的概率为：；
（2）列表如下：
2
3
4
5
3
4
5
由表知共有12种等可能结果， 其中m，n都是方程的解为这2种结果，
m，n都不是方程的解的结果有这4种，
∴乐乐获胜的概率大．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【分析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】
解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
24．（1） （2）12元 （3）680元
【分析】
（1）设，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P=50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W=x（）=10x+480且x≤20可得．
【详解】
解：（1）设，
∵时，，时，，
∴，
解之得，，，
∴；
（2）由题意得，，
解之得，
经检验，是原方程的根．
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）
当，最大，最大值为680（元）．
【点睛】
本题主要主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
25．（1）见解析；（2）或，点H运动路径的长为或；（3）
【分析】
（1）先证，得到，根据AP是⊙O的切线，得到，继而得到，即可证明BH是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，可得到，继而得到，同理可得到，
当点H与点C重合时，可知，继而可求得，当点H与点D重合时，，继而可求得；
（3）作ON⊥AB于点N，则，因为h在圆上，所以，，则时△AHB面积最大．
【详解】
（1）证明：，
，
又，
，
，
是⊙O的切线，
，
，即于点H，
是⊙O的切线；
（2）如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有，
，
，
，
同理，
当点H与点C重合时，由（1）知：，
，
，
的长为；
当点H与点D重合时，，
的长为，
当与⊙O相切时，旋转角或，点H运动路径的长为或．
（3）如图，作ON⊥AB于点N，
，其中表示H到直线AB的距离，
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴，
∴，
∴，
∵H在⊙O上，
∴，，
∴当时，最大，
∴当△AHB面积最大时，H到AB的距离为．
【点睛】
本题考查圆的切线、全等三角形的判定与性质、弧长公式、三角形的面积、勾股定理等，解题的关键是综合运用相关知识．
26．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；
（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；
（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；
（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC＝．
故答案为：．
（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，
∴∠EAA＇＝∠FAA＇．
∵EA＝EA＇，
∴∠EAA＇＝∠EA＇A．
由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，
∴FA＝FA＇．
∴∠F A＇A＝∠FAA＇．
∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠F A＇A．
∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．
∴四边形AEA＇F是平行四边形．
∵EA＝EA＇，
∴四边形AEA＇F是菱形．
∴AE＝AF＝5．
∴FC＝AC－AF＝．
（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．
∵AE＝5，
∴DE＝．
∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．
由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，
∠EAP＝∠EA＇P＝90°，
PD＝AD－AP＝12－x，
∵∠ADE＝∠A＇DP，
∴△ADE∽△A＇DP．
∴．
即．
解得．
∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．
故点，D距离的最小值时， tan∠APE的值为．
（4）如图，当点A＇在AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠BCA＝90°．
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BAC+∠AEP＝90°．
∴∠AEP＝∠BCA．
∴△APE∽△BAC．
∴．
即．
解得．
如图，当A＇在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BA A＇+∠B A＇A＝90°，
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BA A＇+∠AEP＝90°．
∴∠B A＇A＝∠AEP．
∴△APE∽△BAA＇．
∴．
即．
在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，
∴BA＇＝，
∴，
解得．
∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．
2021年河北省迁安市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后所得的几何体如图2，下列关于视图的说法正确的是（ ）
A．主视图改变，俯视图改变 B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图改变，俯视图不变 D．主视图不变，俯视图改变
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，现将一块三角板含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点关于原点对称的点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
7．一名射箭运动员统计了45次射箭的成绩，并绘制了如图所示的折线统计图则在射箭成绩的这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．18，8 B．8，8 C．8，9 D．18，18
8．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
9．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm
13．已知数据划x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（ ）
A．b一定增大，c可能增大 B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大 D．b可能增大，c可能不变
14．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
15．如图，在3×4的正方形网格图中，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则下列关于的说法不正确的是（ ）
A．是直角三角形 B． C．面积为4 D．边上的高为
16．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题
17．分解因式：_____．
18．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是___________，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？_________（填“变”或“不变”）．
19．如图，，点P为射线OM上一定点，且，点Q是射线上一动点，且点Q以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t．连接，以为一条边向右侧作等边．若，则_________；若t的取值范围是，则点H的运动路径长为___________．
三、解答题
20．如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中，且b的倒数是它本身，且a、c满足．
（1）计算：的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
21．下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ＝ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ，
∴PQl（ ）（填推理的依据）．
22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，琪琪先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，乐乐从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率；
（2）若m，n都是方程的解时，则琪琪获胜；若m，n都不是方程的解时，则乐乐获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
24．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价（元/件，）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
售价
8
10
销售数量
70
58
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为，求的最大值．
25．如图，在中，，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作的切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接．设旋转角为．
（1）当时，求证：是的切线；
（2）当与相切时，求旋转角和点H运动路径的长；
（3）当面积最大时，请直接写出此时点H到的距离．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】
互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为0，据此解答即可．
【详解】
解：由相反数的性质知：a+b=0，a=-b，；
A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. 由得，即a，b互为倒数，故此错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查的是相反数的相关定义和知识，相反数只是符号相反但绝对值相等的两个数，要特别注意0这个特殊的数字，以免造成错解．
2．D
【分析】
找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图和俯视图中．
【详解】
解：观察可发现，题图1和图2的从正面看到的形状图没有变化都如图（1）所示，
而从上面看到的形状图发生改变，图1的从上面看到的形状图如图（2）所示，
图2的从上面看到的形状图如图（3）所示．
故选：D．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
3．C
【分析】
A.根据算术平方根法则解题；
B.根据同类项定义解题；
C.根据幂的乘方法则解题；
D.根据单项式乘以多项式法则解题．
【详解】
解：A. ，故A错误；
B. 与不是同类项，不能合并，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、同类项的定义、单项式乘以多项式、算术平方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】
先根据两直线平行的性质，得到∠3=∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=85°，
∴85°+60°+∠3=180°，
∴∠3=35°，
∴∠2=35°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
5．D
【分析】
根据题意可得点在第四象限，从而得到关于a的不等式组，进而即可求解．
【详解】
解：∵点关于原点对称的点在第二象限，
∴点在第四象限，
∴a＞0且2-a＜0，即：a＞2，
∴a的取值范围在数轴上表示如下：
故选D．
【点睛】
本题主要考查点的坐标以及不等式组的综合，熟练掌握点所在象限与点的坐标关系是解题的关键．
6．D
【分析】
由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【详解】
解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7．B
【分析】
根据统计图信息，得到6环5次，7环8次，8环18次，9环10次，10环4次，根据众数和中位数的定义分别计算即可．
【详解】
由图可知，
6环5次，7环8次，8环18次，9环10次，10环4次，8环出现次数最多，18次，
故众数为8环，
按照由小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数为8环，
故选B．
【点睛】
本题考查了折线统计图，众数，中位数，读懂折线图，获得正确的信息，熟记众数，中位数的定义是解题的关键．
8．C
【分析】
根据位似图形的性质得到△ABC∽△DEF，由AB：DE=3：2，根据相似的性质进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∵AB：DE＝3：2，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，及相似三角形的判定与性质，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
9．D
【分析】
先将写成小数形式，然后再将其用科学记数法表示即可．
【详解】
解：=0.000005=．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，将小数写成a×10n（1＜| a |＜10，n为整数），确定a和n的值成为解答本题的关键．
10．C
【分析】
把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】
∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
11．B
【分析】
先求出正五边形的内角，再根据面积计算公式计算即可；
【详解】
∵正五边形的内角和为，
∴每一个内角为：，
图中阴影部分的圆心角为：，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质和扇形面积计算公式，准确计算是解题的关键．
12．C
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
13．B
【分析】
根据平均数的定义、中位数的定义、方差的概念和性质判断即可．
【详解】
解：∵数据x1、x2、x3、……、x100是福建某企业普通职工的2020年的年收入，x101是中国首富马化腾的年收入，
∴x101是远远大于x1、x2、x3、……、x100，
∴这101个数据中，中位数为b可能不变，有可能增大，方差为c一定增大，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是算术平均数、中位数、方差的概念和性质，正确理解中国首富马化腾的年收入远远大于福建某企业普通职工的年收入是解题的关键．
14．B
【详解】
解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故选B．
15．C
【分析】
先求出AB，AC，BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，进而逐一判断各个选项，即可.
【详解】
解：由题意得：AB=，AC=，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴是直角三角形，故A选项正确，不符合题意，
，故B选项正确，不符合题意，
的面积=，故C选项不正确，符合题意，
边上的高=，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键.
16．D
【分析】
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．
【详解】
如图，设点A（x，y），
A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），
由图形可知：当x=1时，y＜3，
∴k=xy＜3，
∵y＞x，
∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
故选项④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理解x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．
17．a（a-2）
【分析】
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】
解：.
故答案为．
【点睛】
此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
18． 不变
【分析】
设每个长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图得相等关系：长+3×宽=19，长−宽=7，根据相等关系可列出方程组，解方程组即可求得一个长方形的长和宽，从而可求得一个长方形的面积，当然也可求得大长方形的面积，两者之差便是所求阴影部分的面积；显然平移不改变阴影部分的面积．
【详解】
设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，则有方程组：
解得：
所以大长方形的宽为：7+2×3=13(cm)，其面积为13×19=247(cm2)，一个小长方形的面积为3×10=30(cm2)
所以阴影部分的面积为：247-6×30=67(cm2)
由于平移不改变图形的面积，故这六个小长方形的总面积不变，又大长方形的面积一定，所以阴影部分的面积不变．
故答案为：67cm2；不变．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组解决与图形有关的问题，以及平移的性质，关键是从图形中寻找两个等量关系并列出方程组．
19．3 6
【分析】
根据题意，得∠PQO=30°，计算OQ=6，得t=6÷2=3；设初始等边三角形为△POA，证明AH=OQ即可
【详解】
∵，∠PQH=60°，
∴∠PQO=30°，
∴tan30°=，
∴OQ==6，
∴t=6÷2=3；
设初始等边三角形为△POA，连接AH，
∵△POA，△PQH都是等边三角形，
∴PO=PA，PQ=PH，∠OPA=∠QPH=60°，
∴∠OPQ=∠APH
∴△OPQ≌△APH，
∴OQ=AH=6，
∴点H的运动路径长为6，
故答案为：3；6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的证明是解题的关键．
20．（1）13；（2）-8
【分析】
（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
解得：，
则；
（2）∵，且b的倒数是它本身，
∴，
∵，
∴和重合，和的中点为，
∵，
∴与点C重合的点表示的数是．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）PO，AO，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）根据作图的步骤，直接作图，即可；
（2）先证明△POQ≌△AOB，从而得∠QPO＝∠BAO ，进入即可得到PQ∥l．
【详解】
（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】
本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据作图步骤，作出图形，是解题的关键．
22．（1）；（2）乐乐获胜的概率大
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，比较即可得出答案．
【详解】
解：（1）从甲袋摸出一个小球共有4种结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2、5这两种结果，
∴小球上的数字使代数式的值为0的概率为：；
（2）列表如下：
2
3
4
5
3
4
5
由表知共有12种等可能结果， 其中m，n都是方程的解为这2种结果，
m，n都不是方程的解的结果有这4种，
∴乐乐获胜的概率大．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【分析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】
解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
24．（1） （2）12元 （3）680元
【分析】
（1）设，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P=50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W=x（）=10x+480且x≤20可得．
【详解】
解：（1）设，
∵时，，时，，
∴，
解之得，，，
∴；
（2）由题意得，，
解之得，
经检验，是原方程的根．
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）
当，最大，最大值为680（元）．
【点睛】
本题主要主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
25．（1）见解析；（2）或，点H运动路径的长为或；（3）
【分析】
（1）先证，得到，根据AP是⊙O的切线，得到，继而得到，即可证明BH是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，可得到，继而得到，同理可得到，
当点H与点C重合时，可知，继而可求得，当点H与点D重合时，，继而可求得；
（3）作ON⊥AB于点N，则，因为h在圆上，所以，，则时△AHB面积最大．
【详解】
（1）证明：，
，
又，
，
，
是⊙O的切线，
，
，即于点H，
是⊙O的切线；
（2）如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有，
，
，
，
同理，
当点H与点C重合时，由（1）知：，
，
，
的长为；
当点H与点D重合时，，
的长为，
当与⊙O相切时，旋转角或，点H运动路径的长为或．
（3）如图，作ON⊥AB于点N，
，其中表示H到直线AB的距离，
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴，
∴，
∴，
∵H在⊙O上，
∴，，
∴当时，最大，
∴当△AHB面积最大时，H到AB的距离为．
【点睛】
本题考查圆的切线、全等三角形的判定与性质、弧长公式、三角形的面积、勾股定理等，解题的关键是综合运用相关知识．
26．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；
（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；
（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；
（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC＝．
故答案为：．
（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，
∴∠EAA＇＝∠FAA＇．
∵EA＝EA＇，
∴∠EAA＇＝∠EA＇A．
由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，
∴FA＝FA＇．
∴∠F A＇A＝∠FAA＇．
∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠F A＇A．
∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．
∴四边形AEA＇F是平行四边形．
∵EA＝EA＇，
∴四边形AEA＇F是菱形．
∴AE＝AF＝5．
∴FC＝AC－AF＝．
（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．
∵AE＝5，
∴DE＝．
∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．
由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，
∠EAP＝∠EA＇P＝90°，
PD＝AD－AP＝12－x，
∵∠ADE＝∠A＇DP，
∴△ADE∽△A＇DP．
∴．
即．
解得．
∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．
故点，D距离的最小值时， tan∠APE的值为．
（4）如图，当点A＇在AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠BCA＝90°．
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BAC+∠AEP＝90°．
∴∠AEP＝∠BCA．
∴△APE∽△BAC．
∴．
即．
解得．
如图，当A＇在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BA A＇+∠B A＇A＝90°，
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BA A＇+∠AEP＝90°．
∴∠B A＇A＝∠AEP．
∴△APE∽△BAA＇．
∴．
即．
在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，
∴BA＇＝，
∴，
解得．
∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．
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