2021年暑假八年级数学科讲义 第14讲 等腰三角形的判定

       2019年暑假八年级数学科讲义

第十四讲 等腰三角形的判定

姓名：           

[问题] 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．为什么？

【探索】在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？

        等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写为：等角对等边）

符号语言描述：∵∠B=∠C ∴AB=BC

[辨析]等腰三角形的性质与判定有区别吗？

性质：                                       判定                                  

【小结】判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些？

【例1】1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是 [       ]

　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．

　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．

　　③若∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有      个．

④在③的条件下，若已知 AD＝4cm，则BC=______cm．

【例2】如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．

[思考] 1、你能分别指出命题中的已知条件和结论吗？

      2、你能正确画出图形，写出已知和求证吗？

【例3】如图：AD∥BC,BD平分∠ABC，求证：AB=AD

【例4】如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部份是一个等腰三角形吗？

解题策略：角平分+平行线，常常可以出现等腰三角形。

【例5】如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD

【知识拓展】

在上节课中，我们学习了等腰三角形的一个重要的性质：“三线合一”，反过来，若顶角的平分线、底边的中线、和高线，其中具备了二个条件，是否能判定这个三角形为等腰三角形呢？

【例6】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且AD垂直BC于D，求证：AB=AC

[思考]：若把条件换为BD=CD,AD⊥BC; 或AD平分∠BAC，BD=CD，以上结论是否仍然成立呢？

结论：若一个三角形中满足三线中的二线合一，则可证这个三角形为等腰三角形，这个结论虽不可直接用，但在具体题目中经常会考察，可据此构造等腰三角形来解题。

【例7】如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90 º,BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE。

【A】基础满分训练

1、在△ABC中，
（1）若两个内角分别为50°、80°时，这个三角形是________三角形；
（2）若∠A︰∠B︰∠C＝1︰1︰2，那么这个三角形是________三角形；
（3）若∠B＝∠C，AC＝4 cm，则AB＝________．

2、已知∠BAC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠BEC＝________．

3、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________．

4、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，经过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________

5、如果一个三角形的一内角平分线垂直对边，那么这个三角形一定是         三角形

6、如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于_______　

7、如图所示，△ABC中，AB＝AC＝20 cm，M为BC上一点，过M作MN∥AB交AC于N，作MP∥AC交AB于P，求四边形APMN的周长。

8、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，由哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？任选一种进行证明

【B】能力提升训练

1、如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（　　）

     A． AB＝BE    B． AD＝DC    C． AD＝DE    D． AD＝EC

2、如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，AB＝BD，下列结论中，正确的是（　　）

  A． ∠1＝∠2   B． ∠1＋3∠2＝180°  C． 2∠1＋∠2＝180°   D． 3∠1－∠2＝180°

3、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BD＝BC，AE＝AC，则∠ECD的度数是________．

4、如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由

5、如图，已知D是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝BE－CF

【C】创新思维训练

1、如图所示，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．

2、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AB上截取BD，在AC的延长线上截取CE，且使CE＝BD，连接DE交BC于F，求证：DF＝EF

3、如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证∠ACD=∠B+∠DCE