2023年四川省乐山市夹江县中考数学适应性试卷（含解析）

2023年四川省乐山市夹江县中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，已知直线与直线、都相交．若，，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  化简所得的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在党的二十大报告中指出，我国国内生产总值从五十万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达，提高了七点二个百分点，稳居世界第二位这里的数量万亿元用科学记数法表示应该是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

5.  某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照：：的比例确定学期学业成绩若小明的平时成绩为分，期中成绩为分，期末成绩为分，则小明的学期学业成绩为分．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一元二次方程的解的情况是(    )

A. 方程有且只有一个实根 B. 方程有两个相等实根
C. 方程有两个不等实根 D. 方程无实根

7.  已知关于的不等式组的解集中有且仅有个整数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为：的斜坡向上移动了米此时滑块上升的高度是单位：米(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，已知，，点是边上的一个动点不与端点和重合，过作交于点，点在边上，连接、若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______ ．

12.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

13.  抛物线的对称轴是______ ．

14.  如图，已知菱形的顶点和的坐标分别为、，点在轴的正半轴上则点的坐标是______ ．

15.  如图，在数轴上，点、分别表示、，且，若，则点表示的数是______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，已知点、，点是坐标平面内的一个动点中若，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
下面是小聪设计的“过已知直线外一点求作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，已知直线和外一点．
求作：直线，使得于点．
作法：
在直线上取一点，连接，如图．
作线段的垂直平分线，交于点．
以为圆心，长为半径作圆交直线于点．
作直线这样，直线即为所求作的直线．
请根据要求，完成下列问题：
根据上面的作图过程在图中补全相应的图形使用直尺和圆规并保留作图痕迹；
在下面证明过程中的空白处填上适当的数学符号或理由．
证明：为线段的垂直平分线，
______ ．
．
是的直径．
______
．

 

20.  本小题分
通过对等腰三角形的学习，我们知道“等腰三角形三线合一”：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线重合如果某个三角形一边上的中线、高线及其所对角的角平分线中，有两条线重合，也可以证明这个三角形是等腰三角形，请你选择下面的一种情形，写出证明过程．

我选做的是情形______ ．

21.  本小题分
新年伊始，中国电影行业迎来了开门红春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过亿元以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
两部影片上映第一周单日票房统计图

两部影片分时段累计票房如下

根据以上信息，回答下列问题：
月日日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为______ ；
对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______ ；
甲的单日票房逐日增加；
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于月日达到最大．
截止到月日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，月日日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？

22.  本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根大于，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限内，已知反比例函数的图象经过线段的中点，交直线于点若的面积为．
求的值；
若，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，已知是的直径，于点，是上异于、的一个动点，连接，过作交于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

25.  本小题分
在中，已知，现将绕顶点逆时针旋转其中，得到，如图所示连接并延长，交于点．
求的值．
证明：．
证明：是线段的中点．

26.  本小题分
已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且．
求抛物线的解析式．
如图，在第一象限内的抛物线上是否存在点，满足条件？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，设是轴上的一个动点，连接并延长交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于另一点，若、的横坐标分别为、试探究、之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数的乘方的定义，计算即可得解．
本题主要考查了有理数的乘方的定义，注意指数是底数的个数，作为初学者最容易出错而导致误选D．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．

故选：．
利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：万亿，
用科学记数法表示应该是．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：小明的学期学业成绩为：分．
故选：．
根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而可得出该方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式组得：，
不等式组的解集中有且仅有个整数，
这个整数只能是，，，
．
故选C．
解不等式组得出，根据关于的不等式组的解集中有且仅有个整数，知这个整数只能是，，，据此可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设，过点作于点，

由：，得，
，
在中，
，
，
解得，
滑块上升的高度为：．
故选：．
利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度的值即可．本题也可先求出的正弦，再求铅直高度．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，明确坡度的概念是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接

与相切于点，
，
，
和是圆的半径，，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
关于圆的习题只要提到切线，就必须构造半径的切线形成的直角，已知条件欲求也就是求，在中，根据直角三角形的特殊性质即可求出，最后解出．
本题主要考查的是圆的切线性质定理推论和直角三角形的特殊性质，掌握等腰三角形的性质，通过切线性质和直角三角形特殊性质求出角度是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作于，

，
在中，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，



，
其中．
故选：．
作于，在中表示出，证明∽，表示出，再利用三角形面积表示出函数即可．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
原式．
故答案为：．
先根据特殊角的三角函数值把化为的形式，再根据二次根式的乘法进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】直线 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：直线．
由二次函数解析式及抛物线对称轴为直线求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，四边形是菱形，
，，
，
点的坐标为：．
故答案为：．
根据菱形的性质和点的坐标求出，，根据勾股定理求出，再求出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质和菱形的性质，能熟记菱形的四条边都相等是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，即与互为相反数，
又，
，
，
，
，即点表示的数为．
故答案为：．
根据相反数的性质，由，得，，，故AB进而推断出．
本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
点在半径为的上，
如图，在线段上取一点，满足，

，
∽，
，
，
，
，
．
当且仅当、、三点共线时等号成立，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
根据题意可得点在半径为的上，在线段上取一点，满足，根据相似三角形的性质求出点的坐标，得到当且仅当、、三点共线时等号成立，利用勾股定理求出，即可求解．
本题考查胡不归，坐标与图形的性质，转化线段是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
原方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

19.【答案】  直径所对的圆周角为直角 

【解析】解：如图，直线为所作；

完成下面的证明．
证明：为线段的垂直平分线，
．
．
是的直径．
直径所对的圆周角为直角．
．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角．
根据几何语言画出对应的几何图形；
根据圆周角定理得到，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
 

20.【答案】或或 

【解析】解：我选做的是情形或或证明如下：
于，
，
又，，
≌，
；


于，
，
平分，
，
又，
≌，
；


作于，于，

平分，
，
又，
≌，
，
．
故答案为：或或．
利用线段垂直平分线的性质直接得出结论；
利用证明≌，得；
作于，于，利用角平分线的性质得，证得≌，推导出，．
本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：影片甲单日票房从小到大排序为
，，，，，，．
一共个数据，所以影片甲单日票房的中位数为：，
故答案为：；
甲票房从月日到日单日票房逐日增加，日日逐日下降，
甲的单日票房逐日增加说法不正确；
，，，，
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
甲超过乙的差值从日开始分别为：
日：，
日：，
日：，
日：，
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于月日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是，
故答案案为：；
乙票房截止到日收入为：亿，
甲票房前天达到亿，
月日日三天内影片甲的累计票房至少为：亿．
故答案为：．
影片甲单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
甲票房从月日到日单日票房逐日增加，日日逐日下降，可判断；
先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断；
根据折线图，分别求出日，日，日，日甲与乙的差值，可判断；
利用乙票房的收入减去甲票房前天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
 

22.【答案】证明：

，
方程总有两个实数根；
，
，，
该方程有一个根大于，
，解得，
即的范围为． 

【解析】先计算出判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
先解方程得到，，则根据题意得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

23.【答案】解：设点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，即，．
的面积为，
，
；
由可知，双曲线的解析式为：，
点是和双曲线的交点，
点的纵坐标为，
，
由，得：，
解得：或舍去，
点的坐标为． 

【解析】设点的坐标为，则点的坐标为，由的面积为即可得到，求得；
表示出点的纵坐标为，，由，求得，即可求得点的坐标为．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连接，

由得：，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
又在上，
是的切线；
设的半径为，
则：，，
是的切线，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为． 

【解析】根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
设圆的半径是，再根据勾股定理列方程求解．
本题考查了圆的切线的判定和性质，掌握切线的判定及勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：绕顶点逆时针旋转得到，
≌，
，，
，
又，
∽，
；
证明：，
，
，
，，
；
证明：如图，
连接，设，交于点，
由得：∽，
，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
点是的中点．
 

【解析】可推出，进而得出∽，从而得出；
可推出，，，从而得出结论；
连接，设，交于点，由∽得出，进而得出，从而，从而得出点、、、共圆，从而，进一步得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练有关基础知识．
 

26.【答案】解：由题意可得点，
，
，
点的坐标为：，
代入，得，
，
抛物线解析式为：；

存在．设交轴于点，
由可得：，，
，，
，
，

又，
，
而，
∽，
．
其中，，
，
，
即点．
设：，把、的坐标代入，得：
，
解得：，
：，
联立方程组得：，
解得：或舍去，
；

设点的坐标为，
由，可得：：．
把代入，
消去，并化简得：，
，是上面方程的两个根，
，
；
同理可得：．
把代入，
消去，并化简得：，
，是上面方程的两个根，
，
，
由得：． 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明，则∽，得到，进而求解；
联立直线和抛物线的解析式得到：，联立直线和抛物线的解析式得到：，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．