初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试同步练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试同步练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平行四边形章末练习
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．直角三角形中，角所对直角边都等于斜边的一半
D．对角线相等的平行四边形是正方形
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（ ）

A．50° B．130° C．100° D．65°
3．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）

A． B． C．5 D．10
4．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF＝2．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（　　）

A．5 B． C． D．4.5
6．如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（ ）

A． B．2 C． D．4
7．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，则的值为（ ）

A． B．2 C． D．
9．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）

A．28 B．24 C．21 D．14
10．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（ ）

A．3 B．5 C．6 D．8
11．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．

A．3 B． C．4 D．2
12．如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（　　）


A．4 B．8 C．2 D．40
13．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为（　 ）

A．9 B．18 C．36 D．48
14．如图，菱形中，对角线相交于点O，，E为的中点．则的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝4，则AF的长为（ ）

A．6 B．5 C． D．8
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）

A．3 B．4 C．2 D．
18．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
19．如图，平行四边形的对角线相较于点，且，过作，交于点，若平行四边形的周长为，则的周长为______．

20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝114°，则∠ADE的度数为_____．

21．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝10，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C′处，那么BC′的长为_____．

22．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则__________．

23．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕与相交于点；再次展平，连接，延长交于点；为线段上一动点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是_______________．


三、解答题
24．已知：四边形中，为对角线，，，．
（1）如图，求证：四边形是矩形．

（2）如图，将沿着对角线翻折得到，交于点，请直接写出图中所有的全等三角形．

25．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．

26．如图，平行四边形，，是直线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．

27．如图，四边形为矩形，G是对角线的中点．连接并延长至F，使，以、为邻边作，连接．

（1）若四边形是菱形，判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接，若，求的长．
28．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为　 　；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝4，请直接写出BF的长．












参考答案
1．C
解：A、因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以该选项是假命题；
B、因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以该选项是假命题；
C、直角三角形中， 30° 角所对直角边都等于斜边的一半，是.真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项是假命题；
2．B
解：在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=50°，
∴∠A=180°-∠B=180°-50°=130°．

3．B
解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD，
∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，
∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP，
∵MN∥BC，
∴∠AMP=∠ABC=60°，
∵四边形AEPM是平行四边形，
∴∠PEH=60°，
∴∠EPH=30°，
∴HE=EP=1，
∴PH=，
∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE•PH=2××5×=，

4．C
解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠，
∴FC=FH，∠HFE=∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC，
∴△HFE为等腰三角形，
∴HE=HF=FC，
∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴EH∥CF，且HE =FC，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵FC=FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故①正确；
∵HC为菱形的对角线，
∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，
∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，
故②错误；

过点F作FM⊥AD于M，
点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，
故③正确；
当点H与点A重合时，由③中BF=3，
∴AF=AE=CF=EC=8-3=5，
则ME＝5﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝2，
故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．

5．B
解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，
∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED，
∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，
∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF，
∴∠FED+∠CED＝90°，
∴AD＝DB，
∴CD＝DA＝DB＝AB，
∵DC＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝8，
∴CF＝8﹣AF，
∴EF2+CE2＝CF2，
∴AF2+62＝（8﹣AF）2，
∴AF＝，

6．D
解： 由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，
∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，
∴∠HEF＝60°
∵FH∥CE，∠HEC＝60°，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴EF＝HE=FH，
∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，
∴∠GHF＝30°，
在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，
∴FH＝2FG＝2AF，
∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，
则有，
∴AD=AF+FH+HD=4x，
又∵矩形ABCD的面积为，
∴，
∴x=2或x=-2（舍），
∴EF=FH=4，
7．D
解：连接BD,

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=8，且∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，且∠A=60°，
∴AE=4，∠ABE=30°，
∴ ，
∵PE=BE
∴，
8．A
解：如图1，

∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
9．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
10．A
解：四边形是菱形，
，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
又∵菱形ABCD的面积为=，
∴
∴矩形的面积=．
11．D
解：如图，连接DN，

∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
12．B
解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝AE＋DE＝10＋6＝16，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，
∴CD＝10，
在△CDE中，∵DE＝6，CE＝8，CD＝10，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴△CED为直角三角形，
∴∠CED＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠CED＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝
13．C
解：连接EF、FG、GH、EH，设EG和FH交于点O，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EF＝AC，FG＝BD，
∴EF∥HG，

同理EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，EG＝2OG，FH＝2OH，
∴EG2＋FH2＝（2OE）2＋（2OH）2＝4（OE2＋OH2）＝4EH2＝4×（BD）2＝62＝36；
14．B
解：∵在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴OA=，OB=，AC⊥BD，
∴AB=，
∵点E是AB边的中点，
∴OE=．
15．C
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．

16．A
解：延长AD、BF交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，∠BAF+∠DAF+∠ABF+∠CBF＝180°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD，
∴∠CFB＝∠ABF，∠BAF＝∠DFA，
∴∠CFB＝∠CBF，∠DFA＝∠DAF，
∴CB＝CF，DA＝DF，
∴DF＝CF，
在△DEF和△CBF中，
，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴DE＝BC，EF＝BF，
∴AD＝DE，
∵AF⊥BF，DG⊥AF，
∴DG∥EF，
∴DG是△AEF的中位线，
∴EF＝2DG＝2×4＝8，
∴BF＝EF＝8，
；

17．B
解：连接AC，
∵DA＝DC，∠D＝100°，
∴∠DAC＝∠DCA＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°，
∴AC＝，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF＝AC＝4，

18．C
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，
∴正确的是①②③．
19．24．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为48cm，
∴AD+CD=24cm，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=CD+AD=24cm．

20．16.5°
解：∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴AE=EF=DE，
∵AE=EF=DC，
∴AE=ED=DC，
∴△AED，△EDC是等腰三角形，
∴∠ADE=∠DAE，∠DEC=∠DCE，
∵∠EDC＝114°，
∴∠DEC=∠DCE==33°，
∵∠DEC=∠ADE+∠DAE=2∠ADE，
∴∠ADE==16.5°，

21．
解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝5，
∵把△ABC沿直线AD折叠，
∴，
∴，
∴，
22．45°
解：∵垂直平分，，
∴，是等腰直角三角形；
∵，，
∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线），
∵在直角和直角中，和都和互余，
∴，
∵（三线合一），
∴点F是BC中点，EF是直角的中线，
∴，
∴，
∴（等边对等角），
∴．
23．①③④⑤
解：如图，连接AN，根据折叠的性质，得直线EF是AB的垂直平分线，
∴NA=NB=BA，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°,
∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，∠ABM=∠NBM=30°，
∴BM=2AM，
根据勾股定理，得，
∴，
∴AM=，
∴②错误；
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠NBG=30°，
根据折叠的性质，得BN⊥MG，
∴∠BMG=∠MBG=∠MGB=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴③正确；
∵QN∥BG，
∴∠MQN=∠MBG=∠MNQ=∠MGB=60°，
∴△MNQ是等边三角形，
∴QN=MN=AM=，
∴④正确；
根据点A、N关于直线BM对称，只需过点A作AR⊥BN，垂足为R，AR就是所求的最小值，
∵△ABN是等边三角形，
∴R是BN的中点，
∴R与H重合，
∵AB=2，∠BAH=30°，
∴BH=1，根据勾股定理，
∴AH==，
∴⑤正确；
故正确答案为：①③④⑤．
．
24．（1）证明见解析；（2）；； ；．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵在中，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）；； ；．
∵沿着对角线翻折得到，
∴
∴(SSS)；
根据上题结论四边形是矩形，
∴
∴(SSS)；
在、中，
∵
∴（HL）；
∵，
∴，
∵将沿着对角线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
在、中，

（AAS）．
25．见解析
解：，
，，，

∴点、分别为、的中点
，，
，
在和中，，
，
．
26．见解析
证明：连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵DF=BE，
∴OB+BE=OD+DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
27．（1）菱形，见解析；（2）
解：（1）四边形是菱形，理由如下：
∵四边形为矩形，G是对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．

28．（1）3；（2）；（3）BF的长为或．
解：（1）∵AB＝3，AF＝6，根据勾股定理，得
BF3．
故答案为3．
（2）过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N．

∵四边形CEFG是正方形∴EC＝EF，∠FEC＝90°∴∠DEC+∠FEN＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC＝90°∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEN，EF＝EC
又∵∠EDC＝∠FNE＝90°，
∴△EDC≌△NFE（AAS）
∴FN＝ED ，EN＝CD＝3
∵AD＝3，AE＝1，ED＝AD﹣AE＝3﹣1＝2，
∴FN＝ED＝2，
∵∠DNM＝∠NDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MN＝CD＝3，CM＝DN＝EN﹣ED＝3﹣2＝1，
∴FM＝FN+MN＝2+3＝5，BM＝BC+CM＝3+1＝4
在Rt△BFN中，BF；
（3）分两种情况：
①如图：
过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N．
同（2）的方法可得△EDC≌△NFE，
∴NF=DE=AE-AD=4-3=1,EN=DC=3,
∴MF=MN-NF=CD-NF=3-1=2,BM=AN=AE+EN=4+3=7，
∴BF．

②如下图所示，

过点F作FM⊥BC于M，交AD于P，
同（2）的方法得，△EFP≌△CED，
∴FP＝DE＝AD+AE＝7，EP＝CD＝3，
∴FM＝FP+PM＝FP+AB＝10，BM＝AP＝AE﹣PE＝1，
在Rt△BMF中，BF．
∴BF的长为或．