2020-2021学年第十八章 平行四边形综合与测试单元测试当堂达标检测题

这是一份2020-2021学年第十八章 平行四边形综合与测试单元测试当堂达标检测题，共19页。试卷主要包含了下列说法中，错误的是等内容，欢迎下载使用。

第十八章 平行四边形 单元测试
一．选择题
1．下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线相等
2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5．则AC＝（　　）

A．10 B．5 C．5 D．8
3．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（　　）

A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6cm，AB＝4cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）

A．1cm B．2cm C．4cm D．6cm
5．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，DE平分∠ADC，AC＝3，AD＝，则BE＝（　　）

A． B．﹣ C．2 D．﹣2
8．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD和AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝15，S3＝4，则S4的值是（　　）

A．8 B．14 C．16 D．22
9．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
11．边长为a的正方形的对角线的长度为　 　．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为　 　．

13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则平行四边形的面积是　 　．

14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠HDB的度数是　 　．

15．如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，正方形的边长为4，则阴影部分面积为　 　．

16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．

17．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝84°，则∠ADE的度数为　 　．

18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F和G，则PF+PG一定与图中哪条线段的长度相等：　 　．

19．如图，点P是▱ABCD内的一点，连接AP、BP、CP、DP，再连接对角线AC，若△APB的面积为20，△APD的面积为15，那么△APC的面积为　 　．

20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．

三．解答题
21．如图，四边形ABCD为正方形纸片，点E是CD的中点，若CD＝4，CF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？试说明理由．

22．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BC＝4．
（1）求证：∠AOD＝120°；
（2）求AC的长．

23．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，EF＝6，求菱形AFCE的面积．

24．如图，△ADE和△BCF是平行四边形ABCD外的两个等边三角形，BD是对角线．
（1）求证：DE＝BF；
（2）连接BE，DF，求证四边形DEBF是平行四边形．

25．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．

26．四边形ABCD为菱形，BD为对角线，在对角线BD上任取一点E，连接CE，把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，使得∠ECF＝∠BCD，点E的对应点为点F，连接DF．
（1）如图1，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠DFC＝2∠DBC，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD（BE和DE除外）．


参考答案
一．选择题
1．解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B、应为矩形的对角线相等且互相平分，故本选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，正确，不符合题意；
D、正方形的对角线相等，正确，不符合题意．
故选：B．
2．解：∵矩形ABCD中，AB＝OB＝5，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，
∴AC＝BD＝10，
故选：A．
3．解：如图，过A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，

由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm），OB＝OD＝BD＝2（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm），
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6cm，CD＝AB＝4cm，AD∥BC，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE＝AB＝4cm，
即BE＝BC﹣EC＝6﹣4＝2（cm）．
故选：B．
5．解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠BAD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠EAB：∠EAD＝1：3，
∴∠EAB＝22.5°，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝67.5°，
∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，
∴∠AOB＝45°，
即∠EOA的度数为45°，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，BC＝AD＝，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝3，AD＝，∠ACD＝90°，
∴CD＝＝2．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CE＝CD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝﹣2．
故选：D．

8．解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDF＝S，
由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，
∴S＝S△CBE+S△CDF+3+S4+4﹣15，
即S＝S+S+3+S4+4﹣15，
解得S4＝8，
故选：A．
9．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
二．填空题
11．解：边长为a的正方形的对角线的长度为：
＝a．
故答案为：a．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BA＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
13．解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝60°，
∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∵AB＝4，BC＝6，
∴BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴平行四边形的面积是：2×6＝12．
故答案为：12．

14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH是Rt△BHD斜边上的中线，
∴OH＝BD＝OD，
∴∠HDB＝∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
15．解：∵E为BC的中点，
∴BE＝AD，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴，
∴S△ABF＝S△DEF＝2S△BEF，
而S△ABE＝＝4，
∴，
∴S△DEF＝2，
故答案为：．
16．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
17．解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x＝（180°﹣84°），
∴x＝24°，
∠ADE＝24°，
故答案为：24°．

18．证明：连接PE，如图
∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP
＝
＝，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，AB＝CD，
∴S△BED＝，
∴，
∴PF+PG＝AB＝CD．
故答案为：AB或CD．

19．解：∵点P是▱ABCD内的一点，
∴△PAB的面积+△PCD的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∵△ACD的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∴△ACD的面积＝△PAB的面积+△PCD的面积，
设△PCD 的面积＝m，
则15+m+△PAC的面积＝m+20，
∴△PAC的面积＝20﹣15＝5，
故答案为：5．
20．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝＝4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝2．
三．解答题
21．解：图中的有4个直角三角形，它们为Rt△ADE，Rt△ABF，Rt△CEF，Rt△AEF．
理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝AB＝CD＝4，
∴△ADE、△ABF和△CEF都为直角三角形，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝2，
∵CF＝1，
∴BF＝3，
在Rt△ADE中，AE2＝22+42＝20，
在Rt△CEF中，EF2＝22+12＝5，
在Rt△ABF中，AF2＝32+42＝25，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF为直角三角形．

22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOD＝∠BOC＝120°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，即AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，BC＝4，
解得AB＝，
∴AC＝．
23．解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）在矩形ABCD中，∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，
根据勾股定理得：AC＝＝13，
∵EF＝6，
故菱形AFCE的面积S＝AC•EF＝×13×6＝39．
24．（1）证明：∵△ADE和△BCF等边三角形，
∴DE＝AD，BF＝BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴DE＝BF；
（2）证明：如图所示：
∵△ADE和△BCF等边三角形，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠DBF，
∴DE∥BF，
由（1）得：DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

25．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．

26．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，
∵把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，
∴CE＝CF，
∵∠ECF＝∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCF，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF．

（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFC，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDE，
∵∠DFC＝2∠CBD，
∴∠BEC＝2∠CDE，
∵∠CEB＝∠CDE+∠ECD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC＝CF，
∴BD＝BE+EC＝BE+CF＝DF+DE＝DF+CE＝DF+CF．