人教版八年级下册第十九章 一次函数综合与测试课堂检测

人教版八年级下册数学2020-2021年第十八章 《平行四边形》单元检测试题

一、单选题

1．下列说法中，错误的是（    ）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A等于（    ）

A．50° B．130° C．100° D．65°

3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（    ）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）

4．如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（    ）

A． B．2 C． D．4

5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（    ）

A．.2 B．3 C． D．

6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．4

7．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（    ）

A．3 B．5 C．6 D．8

8．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ）

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4

9．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD，则下列结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝114°，则∠ADE的度数为_____．

12．如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝______．

13．如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为___．

14．如图，在中，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_______．

15．在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为_____．

16．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有_____．

三、解答题

17．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，连接AD，过点A作ANBC．

（1）尺规作图：过点C作CE⊥AN于点E（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：四边形ADCE是矩形．

18．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：

①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；

②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；

③作射线BG交AD于F；

④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；

⑤连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．

19．如图，四边形为矩形，G是对角线的中点．连接并延长至F，使，以、为邻边作，连接．

（1）若四边形是菱形，判断四边形的形状，并证明你的结论．

（2）在（1）条件下，连接，若，求的长．

20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形．

21．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．

（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；

（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝F+DE．

22．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　   　；

（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

参考答案

1．C

解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题意；

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；

C.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误，符合题意；

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，此说法正确，不符合题意．

故选：C．

2．B

解：在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=50°，
∴∠A=180°-∠B=180°-50°=130°．
故选：B．

3．D

解：∵A（﹣6，0），

∴OA＝6，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴BC∥OA，BC＝OA＝6，

∵B（﹣8，2），

∴C（﹣2，2），

故选：D．

4．D

解：  由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，

∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，

∴∠HEF＝60°

∵FH∥CE，∠HEC＝60°，

∴∠FHE＝∠HEC＝60°，

∴△HEF为等边三角形，

∴EF＝HE=FH，

∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，

∴∠GHF＝30°，

在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，

∴FH＝2FG＝2AF，

∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，

则有，

∴AD=AF+FH+HD=4x，

又∵矩形ABCD的面积为，

∴，

∴x=2或x=-2（舍），

∴EF=FH=4，

5．B

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，

∴AC=8，

∵DH⊥AB，

∴∠BHD=90°，

∴OH=BD，

∵菱形ABCD的面积=×AC×BD=×8×BD=24，

∴BD=6，

∴OH=BD=3；

6．D

解：连接BD,

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=8，且∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，

∴BE⊥AD，且∠A=60°，

∴AE=4，∠ABE=30°，

∴ ，

∵PE=BE

∴，

7．A

解：四边形是菱形，

，，，

于，于，

四边形是矩形，，，

点是线段的中点，

、都是的中位线，

，，

矩形的面积；

又∵菱形ABCD的面积为=，

∴

∴矩形的面积=．

8．D

解：连接AP，如图所示：

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，

∴BC==10，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴四边形AFPE是矩形，

∴EF=AP，EF与AP互相平分，

∵M是EF的中点，

∴M为AP的中点，

∴PM=AP，

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，

即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，

∴当AP⊥BC时，AP==4.8，

∴AP最短时，AP=4.8，

∴当PM最短时，PM=AP=2.4．

9．C

解：，点是中点，

，

，

，

，

是等边三角形，故③正确；

设，则，

由勾股定理得，，

为中点，

，

，

在中，由勾股定理得，，

四边形是矩形，

，

，故①正确；

，，

，故②错误；

，

，

，故④正确；

综上所述，结论正确是①③④，共3个．

10．D

正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，

∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，

∵DA=DF，DG=DG，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG，

∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，

,故结论①正确；

∴∠GDE=∠FDG+∠FDE

=（∠ADF+∠CDF）

=45°，故结论②正确

∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，

∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG

=AB+BC，

正方形ABCD的边长为

的周长为24，故结论③正确；

11．16.5°

∵AE＝EF，∠ADF＝90°，

∴AE=EF=DE，

∵AE=EF=DC，

∴AE=ED=DC，

∴△AED，△EDC是等腰三角形，

∴∠ADE=∠DAE，∠DEC=∠DCE，

∵∠EDC＝114°，

∴∠DEC=∠DCE==33°，

∵∠DEC=∠ADE+∠DAE=2∠ADE，

∴∠ADE==16.5°，

故答案为：16.5°．

12．

根据折叠的性质，得=8，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，

在直角三角形中，=，∴∠=30°，

∵根据折叠的性质，四边形ABCD是矩形，∴∠90°，

∴∠=60°，∴∠=30°，∴，

在直角三角形中，，

∵=8-，∴BG==，

故答案为：．

13．

解：∵正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，
∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE
∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，
∴四边形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°
∴四边形EGFH是正方形

∴EF＝EG＝

故答案为：

14．2

解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=，

∴AC=，

∵四边形PAQC是平行四边形，

∴OA=OC=AC=，

∵∠OP′C=90°，∠ACB=45°，

∴三角形OP′C为等腰直角三角形

∴OP′=1，

当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，

∴PQ的最小值=2OP′=2．

故答案为：2．

15．4.8．

解：∵四边形ADCE是平行四边形，

∴OA＝OC，DE＝2OD，

∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，

过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，

∵平行四边形ADCE中，AD∥CE，即AB∥CE，

∴∠ECF＝90°，

∴四边形DFCE是矩形，

∴DE＝CF，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，

设BF＝x，则AF＝5﹣x，

∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，

即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，

解得，x＝3.6，

∴BF＝3.6，

∴CF＝，

∴DE的最小值为4.8．

故答案为4.8．

16．①②③

连接EC，作CH⊥EF于H．
 

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∴△EFC是等边三角形，CH=，

∴EF=EC=BD，

∵EF∥BD，

∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，

∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，

∴△ABD≌△BCF，故①正确，

∵S平行四边形BDEF=BD•CH=，故③正确，

S△AEF=S△AEC=•S△ABD=故④错误，

故答案为①②③．

17．

解：（1）如图，点E即是所求作的点；

（2）△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，

ANBC

由（1）得，CE⊥AN

四边形ADCE是矩形．

18．

（1）证明：由作图知∠ABF＝∠EBF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF＝BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

又AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，

∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴AP＝＝4，

∴PH＝，

∴S△ADP＝

19．

解：（1）四边形是菱形，理由如下：

∵四边形为矩形，G是对角线的中点，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形；

（2）解：∵，，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴．

20．

（1）∵，

∴，

∵E是AD的中点，

∴，

在△AEF与△DEB中，

∴；

（2）由（1）可知，，

∵D是BC的中点，

∴，

∴，

∵，

∴四边形ADCF是平行四边形，

又∵△ABC为直角三角形，

∴，

∴四边形ADCF是菱形．

21．

解：（1）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，

∴AC=，

∵四边形ABCD是准矩形，

∴BD=AC=2．

故答案为：2；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴∠EBF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF，

∴四边形BCEF是准矩形；

（3）作DF⊥BC，垂足为F，

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，

∴∠BCA＝30°，

∴AC=4，BC=2，

∵AC=BD，AC=DC，

∴BD=CD=4，

∴BF=CF=BC=，

∴DF=，

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

=

=

=．