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2020--2021学年人教版七年级数学下册期中模拟卷（Word版 含解析）
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这是一份2020--2021学年人教版七年级数学下册期中模拟卷（Word版 含解析），共20页。试卷主要包含了填空题请把答案直接填写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（ ）
A．2B．±4C．4D．±2
3．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则整数m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．8的立方根是±2
C．4=±2D．（﹣2）2＝﹣2
7．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1）；则点B（a，b）的对应点F的坐标为（ ）
A．（a+3，b+5）B．（a+5，b+3）C．（a﹣5，b+3）D．（a+5，b﹣3）
8．若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4或1B．﹣4或﹣1C．﹣4D．1
9．下列说法正确的是（ ）
A．18的立方根是±12B．﹣49的平方根是±7
C．11的算术平方根是11D．（﹣1）2的立方根是﹣1
10．下列明个命题中，假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
③绝对值等于它本身的数只有0．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
11．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
12．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（ ）
A．504.5m2B．505m2C．505.5m2DD．1010m2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ．
14．已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则点A的坐标是 ．
15．若实数x、y满足x+1+(y-5)2=0，则xy的值为 ．
16．如图．下列条件中：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BCD＝180°；
则一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
17．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF．若三角形ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为 ．
18．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）343（x+3）3+27＝0．
20．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF＝90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ＝180°
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=12∠
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=12∠
∴∠1+∠2=12（ ）
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° 即∠EGF＝90°．
21．在如图的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上；
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），写出B点坐标；
（2）在（1）的条件下，将△ABC向右平移4个单位再向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A′B′C′，并分别写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
22．在平面直角坐标系中．
（1）已知点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．
（1）求∠DOB的度数；
（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？
24．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．
（2）有四个实数分别为32，32，3-23，12．
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
25．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【解析】观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
2．若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（ ）
A．2B．±4C．4D．±2
【分析】首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解．
【解析】由这个数的平方根为±8知这个数为64，
所以64的立方根为4，
故选：C．
3．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
【解析】A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
4．若点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则整数m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m﹣3＜0且m﹣1＞0，求不等式的解，从而得出结论．
【解析】∵点在第二象限，
∴横坐标是负数，纵坐标是正数，
即m﹣3＜0且m﹣1＞0，
解不等式得1＜m＜3，
在这个范围内的整数只有2，
故选：B．
5．在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．
【解析】在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数有π2、8这2个，
故选：B．
6．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．8的立方根是±2
C．4=±2D．（﹣2）2＝﹣2
【分析】根据立方根，即可解答．
【解析】A.4的平方根是±2，正确；
B.8的立方根是2，故本选项错误；
C.4=2，故本选项错误；
D．（﹣2）2＝4，故本选项错误；
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1）；则点B（a，b）的对应点F的坐标为（ ）
A．（a+3，b+5）B．（a+5，b+3）C．（a﹣5，b+3）D．（a+5，b﹣3）
【分析】直接利用平移的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案．
【解析】∵线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1），
∴点B（a，b）的对应点F的坐标为：（a+5，b﹣3）．
故选：D．
8．若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4或1B．﹣4或﹣1C．﹣4D．1
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
【解析】∵点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣a|＝|3a+6|，
∴2﹣a＝3a+6或2﹣a＝﹣（3a+6），
解得a＝﹣1或a＝﹣4．
故选：B．
9．下列说法正确的是（ ）
A．18的立方根是±12B．﹣49的平方根是±7
C．11的算术平方根是11D．（﹣1）2的立方根是﹣1
【分析】直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义判断得出答案．
【解析】A、18的立方根是：12，故此选项错误；
B、﹣49没有平方根，故此选项错误；
C、11的算术平方根是11，正确；
D、（﹣1）2＝1的立方根是1，故此选项错误；
故选：C．
10．下列明个命题中，假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
③绝对值等于它本身的数只有0．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【分析】根据平行线的性质、平面直角坐标系的概念、绝对值的性质、有理数的乘方法则判断．
【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，本说法是假命题；
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，本说法是真命题；
③绝对值等于它本身的数有0和正数，本说法是假命题；
④如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，本说法是假命题；
故选：A．
11．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据点E有5种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解析】（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（ ）
A．504.5m2B．505m2C．505.5m2DD．1010m2
【分析】由OA4n＝2n知OA2020＝2×505＝1010，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解析】由题意知OA4n＝2n，
∵2020÷4＝505，
∴OA2020＝2×505＝1010，
则△OA3A2020的面积是12×1×1010＝505m2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解析】要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14．已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则点A的坐标是 （0，15） ．
【分析】首先由已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则横坐标为0，即﹣3+a＝0，求出a，再代入2a+9，求出纵坐标．
【解析】已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，
∴﹣3+a＝0，得：
a＝3，再代入2a+9得：
2×3+9＝15，
所以点A的坐标为（0，15）．
故答案为：（0，15）．
15．若实数x、y满足x+1+(y-5)2=0，则xy的值为 ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解析】根据题意得，x+1＝0，y﹣5＝0，
解得x＝﹣1，y＝5，
∴xy＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．如图．下列条件中：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BCD＝180°；
则一定能判定AB∥CD的条件有 ②③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角，首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∠B+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：②③④．
17．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF．若三角形ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为 20cm ．
【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为14cm得到AB+BC+AC＝14cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝20（cm），于是得到四边形ABFD的周长为20cm．
【解析】∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为14cm，即AB+BC+AC＝14cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝14+3+3＝20（cm），
即四边形ABFD的周长为20cm．
故答案为：20cm．
18．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有 ③⑤ ．（填序号）
【分析】根据对顶角相等、邻补角、垂直的意义、等量代换等知识，逐个进行判断即可．
【解析】∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）343（x+3）3+27＝0．
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程．
【解析】（1）∵25x2﹣64＝0
∴25x2＝64
∴x2=6425，
解得，x1=85，x2=-85；
（2）∵343（x+3）3+27＝0
∴343（x+3）3＝﹣27
∴（x+3）3=-27343
∴x+3=-37，
解得，x＝﹣337．
20．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF＝90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3 两直线平行、内错角相等
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ∠EFD ＝180° 两直线平行、同旁内角互补
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=12∠ BEF
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=12∠ EFD
∴∠1+∠2=12（ ∠BEF+∠EFD ）
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° 等量代换 即∠EGF＝90°．
【分析】此题首先由平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠BEF+∠EFD＝180°，再由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2＝90°，然后通过等量代换证出∠EGF＝90°．
【解析】∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3 （两直线平行、内错角相等）
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行、同旁内角互补）
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
∴∠1=12∠BEF，
∠2=12∠EFD，
∴∠1+∠2=12（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° （等量代换），
即∠EGF＝90°．
故答案分别为：两直线平行、内错角相等，∠EFD，两直线平行、同旁内角互补，BEF，EFD，∠BEF+∠EFD，等量代换．
21．在如图的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上；
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），写出B点坐标；
（2）在（1）的条件下，将△ABC向右平移4个单位再向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A′B′C′，并分别写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据点A和点C的坐标可建立坐标系，结合坐标系得出点B的坐标；
（2）将三顶点分别向右平移4个单位再向上平移2个单位，得到对应点，顺次连接即可得；
（3）根据三角形的面积公式计算可得．
【解析】（1）如图所示，点B的坐标为（0，1）；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（2，1）、B′（4，3）、C′（5，1）；
（3）△ABC的面积为12×3×2＝3．
22．在平面直角坐标系中．
（1）已知点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0列出关于a的方程，解之可得；
（2）由AB∥x轴知A、B纵坐标相等可得m的值，再根据点B在第一象限知点B的横坐标大于0，据此可得n的取值范围．
【解析】（1）∵点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，
∴2a﹣4＝0，
解得：a＝2，
∴a+4＝6，
则点P的坐标为（0，6）；
（2）∵A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），AB∥x轴，
∴m﹣3＝4，
解得：m＝7，
∵点B在第一象限，
∴n+1＞0，
解得：n＞﹣1．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．
（1）求∠DOB的度数；
（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC＝2∠AOE＝64°，根据对顶角的性质即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠EOF＝90°，求得∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝58°，推出∠AOD＝2∠AOF于是得到结论．
【解析】（1）∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOE＝64°，
∵∠DOB与∠AOC是对顶角，
∴∠DOB＝∠AOC＝64°；
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝58°，
∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝116°，
∴∠AOD＝2∠AOF，
∴OF是∠AOD的角平分线．
24．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．
（2）有四个实数分别为32，32，3-23，12．
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
【分析】（1）直接利用平方根、立方根、以及估算无理数的大小分别判断得出答案；
（2）①直接利用有理数的定义进而计算得出答案；
②直接利用①中所求解方程得出答案．
【解析】（1）根据题意得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，
解得a＝5，b＝2，
而16＜17＜25，
则4＜17＜5，
所以c＝4，
所以a+2b+c＝5+2×2+4＝13；
（2）①有理数有：32＝9，3-23=-2，
∴其中有理数的和为9+（﹣2）＝7．
②由题意可知x﹣2＝72，
解得：x＝51．
25．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 55 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【分析】猜想：如图①，根据平行线的性质和∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，即可得∠APB的大小；
探究：如图①，结合猜想即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
拓展：如图②，分两种情况画出图形，当点P在射线CE上或在射线DF上时，结合探究过程即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【解析】猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
00
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（ ）
A．2B．±4C．4D．±2
3．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则整数m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．8的立方根是±2
C．4=±2D．（﹣2）2＝﹣2
7．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1）；则点B（a，b）的对应点F的坐标为（ ）
A．（a+3，b+5）B．（a+5，b+3）C．（a﹣5，b+3）D．（a+5，b﹣3）
8．若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4或1B．﹣4或﹣1C．﹣4D．1
9．下列说法正确的是（ ）
A．18的立方根是±12B．﹣49的平方根是±7
C．11的算术平方根是11D．（﹣1）2的立方根是﹣1
10．下列明个命题中，假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
③绝对值等于它本身的数只有0．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
11．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
12．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（ ）
A．504.5m2B．505m2C．505.5m2DD．1010m2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ．
14．已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则点A的坐标是 ．
15．若实数x、y满足x+1+(y-5)2=0，则xy的值为 ．
16．如图．下列条件中：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BCD＝180°；
则一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
17．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF．若三角形ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为 ．
18．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）343（x+3）3+27＝0．
20．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF＝90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ＝180°
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=12∠
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=12∠
∴∠1+∠2=12（ ）
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° 即∠EGF＝90°．
21．在如图的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上；
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），写出B点坐标；
（2）在（1）的条件下，将△ABC向右平移4个单位再向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A′B′C′，并分别写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
22．在平面直角坐标系中．
（1）已知点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．
（1）求∠DOB的度数；
（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？
24．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．
（2）有四个实数分别为32，32，3-23，12．
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
25．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【解析】观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
2．若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（ ）
A．2B．±4C．4D．±2
【分析】首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解．
【解析】由这个数的平方根为±8知这个数为64，
所以64的立方根为4，
故选：C．
3．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
【解析】A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
4．若点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则整数m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m﹣3＜0且m﹣1＞0，求不等式的解，从而得出结论．
【解析】∵点在第二象限，
∴横坐标是负数，纵坐标是正数，
即m﹣3＜0且m﹣1＞0，
解不等式得1＜m＜3，
在这个范围内的整数只有2，
故选：B．
5．在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．
【解析】在实数-15，3-27，π2，16，8，0中，无理数有π2、8这2个，
故选：B．
6．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2B．8的立方根是±2
C．4=±2D．（﹣2）2＝﹣2
【分析】根据立方根，即可解答．
【解析】A.4的平方根是±2，正确；
B.8的立方根是2，故本选项错误；
C.4=2，故本选项错误；
D．（﹣2）2＝4，故本选项错误；
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1）；则点B（a，b）的对应点F的坐标为（ ）
A．（a+3，b+5）B．（a+5，b+3）C．（a﹣5，b+3）D．（a+5，b﹣3）
【分析】直接利用平移的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案．
【解析】∵线段CF是由线段AB平移得到的；点A（﹣1，4）的对应点为C（4，1），
∴点B（a，b）的对应点F的坐标为：（a+5，b﹣3）．
故选：D．
8．若点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4或1B．﹣4或﹣1C．﹣4D．1
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
【解析】∵点M（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣a|＝|3a+6|，
∴2﹣a＝3a+6或2﹣a＝﹣（3a+6），
解得a＝﹣1或a＝﹣4．
故选：B．
9．下列说法正确的是（ ）
A．18的立方根是±12B．﹣49的平方根是±7
C．11的算术平方根是11D．（﹣1）2的立方根是﹣1
【分析】直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义判断得出答案．
【解析】A、18的立方根是：12，故此选项错误；
B、﹣49没有平方根，故此选项错误；
C、11的算术平方根是11，正确；
D、（﹣1）2＝1的立方根是1，故此选项错误；
故选：C．
10．下列明个命题中，假命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
③绝对值等于它本身的数只有0．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【分析】根据平行线的性质、平面直角坐标系的概念、绝对值的性质、有理数的乘方法则判断．
【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，本说法是假命题；
②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，本说法是真命题；
③绝对值等于它本身的数有0和正数，本说法是假命题；
④如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，本说法是假命题；
故选：A．
11．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据点E有5种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解析】（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：B．
12．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（ ）
A．504.5m2B．505m2C．505.5m2DD．1010m2
【分析】由OA4n＝2n知OA2020＝2×505＝1010，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解析】由题意知OA4n＝2n，
∵2020÷4＝505，
∴OA2020＝2×505＝1010，
则△OA3A2020的面积是12×1×1010＝505m2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解析】要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14．已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则点A的坐标是 （0，15） ．
【分析】首先由已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，则横坐标为0，即﹣3+a＝0，求出a，再代入2a+9，求出纵坐标．
【解析】已知点A（﹣3+a，2a+9）在y轴上，
∴﹣3+a＝0，得：
a＝3，再代入2a+9得：
2×3+9＝15，
所以点A的坐标为（0，15）．
故答案为：（0，15）．
15．若实数x、y满足x+1+(y-5)2=0，则xy的值为 ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解析】根据题意得，x+1＝0，y﹣5＝0，
解得x＝﹣1，y＝5，
∴xy＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．如图．下列条件中：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BCD＝180°；
则一定能判定AB∥CD的条件有 ②③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角，首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∠B+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：②③④．
17．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF．若三角形ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为 20cm ．
【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为14cm得到AB+BC+AC＝14cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝20（cm），于是得到四边形ABFD的周长为20cm．
【解析】∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为14cm，即AB+BC+AC＝14cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝14+3+3＝20（cm），
即四边形ABFD的周长为20cm．
故答案为：20cm．
18．如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠BOE＝90°，有下列结论：①∠AOC与∠COE互为余角；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC＝∠COE；④∠COE与∠DOE互为补角；⑤∠AOC与∠DOE互为补角；⑥∠BOD与∠COE互为余角．其中错误的有 ③⑤ ．（填序号）
【分析】根据对顶角相等、邻补角、垂直的意义、等量代换等知识，逐个进行判断即可．
【解析】∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣90°＝90°＝∠AOC+∠COE，
因此①不符合题意；
由对顶角相等可得②不符合题意；
∵∠AOE＝90°＝∠AOC+∠COE，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此③符合题意；
∠COE+∠DOE＝180°，因此④不符合题意；
∠EOC+∠DOE＝180°，但∠AOC与∠COE不一定相等，因此⑤符合题意；
∠BOD＝∠AOC，且∠COE+∠AOC＝90°，因此⑥不符合题意；
故答案为：③⑤
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）343（x+3）3+27＝0．
【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程．
【解析】（1）∵25x2﹣64＝0
∴25x2＝64
∴x2=6425，
解得，x1=85，x2=-85；
（2）∵343（x+3）3+27＝0
∴343（x+3）3＝﹣27
∴（x+3）3=-27343
∴x+3=-37，
解得，x＝﹣337．
20．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF＝90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3 两直线平行、内错角相等
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ∠EFD ＝180° 两直线平行、同旁内角互补
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=12∠ BEF
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=12∠ EFD
∴∠1+∠2=12（ ∠BEF+∠EFD ）
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° 等量代换 即∠EGF＝90°．
【分析】此题首先由平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠BEF+∠EFD＝180°，再由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2＝90°，然后通过等量代换证出∠EGF＝90°．
【解析】∵HG∥AB（已知）
∴∠1＝∠3 （两直线平行、内错角相等）
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2＝∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行、同旁内角互补）
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
∴∠1=12∠BEF，
∠2=12∠EFD，
∴∠1+∠2=12（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2＝90°
∴∠3+∠4＝90° （等量代换），
即∠EGF＝90°．
故答案分别为：两直线平行、内错角相等，∠EFD，两直线平行、同旁内角互补，BEF，EFD，∠BEF+∠EFD，等量代换．
21．在如图的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上；
（1）建立适当的平面直角坐标系，使A（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），写出B点坐标；
（2）在（1）的条件下，将△ABC向右平移4个单位再向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A′B′C′，并分别写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据点A和点C的坐标可建立坐标系，结合坐标系得出点B的坐标；
（2）将三顶点分别向右平移4个单位再向上平移2个单位，得到对应点，顺次连接即可得；
（3）根据三角形的面积公式计算可得．
【解析】（1）如图所示，点B的坐标为（0，1）；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（2，1）、B′（4，3）、C′（5，1）；
（3）△ABC的面积为12×3×2＝3．
22．在平面直角坐标系中．
（1）已知点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0列出关于a的方程，解之可得；
（2）由AB∥x轴知A、B纵坐标相等可得m的值，再根据点B在第一象限知点B的横坐标大于0，据此可得n的取值范围．
【解析】（1）∵点P（2a﹣4，a+4）在y轴上，
∴2a﹣4＝0，
解得：a＝2，
∴a+4＝6，
则点P的坐标为（0，6）；
（2）∵A（﹣2，m﹣3），B（n+1，4），AB∥x轴，
∴m﹣3＝4，
解得：m＝7，
∵点B在第一象限，
∴n+1＞0，
解得：n＞﹣1．
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．
（1）求∠DOB的度数；
（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC＝2∠AOE＝64°，根据对顶角的性质即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠EOF＝90°，求得∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝58°，推出∠AOD＝2∠AOF于是得到结论．
【解析】（1）∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOE＝64°，
∵∠DOB与∠AOC是对顶角，
∴∠DOB＝∠AOC＝64°；
（2）∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝58°，
∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝116°，
∴∠AOD＝2∠AOF，
∴OF是∠AOD的角平分线．
24．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是17的整数部分，求a+2b+c的值．
（2）有四个实数分别为32，32，3-23，12．
①请你计算其中有理数的和．
②若x﹣2是①中的和的平方，求x的值．
【分析】（1）直接利用平方根、立方根、以及估算无理数的大小分别判断得出答案；
（2）①直接利用有理数的定义进而计算得出答案；
②直接利用①中所求解方程得出答案．
【解析】（1）根据题意得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，
解得a＝5，b＝2，
而16＜17＜25，
则4＜17＜5，
所以c＝4，
所以a+2b+c＝5+2×2+4＝13；
（2）①有理数有：32＝9，3-23=-2，
∴其中有理数的和为9+（﹣2）＝7．
②由题意可知x﹣2＝72，
解得：x＝51．
25．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 55 度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【分析】猜想：如图①，根据平行线的性质和∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，即可得∠APB的大小；
探究：如图①，结合猜想即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
拓展：如图②，分两种情况画出图形，当点P在射线CE上或在射线DF上时，结合探究过程即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【解析】猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
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