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2020--2021学年人教版八年级数学下册期中模拟卷（Word版 含解析）
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这是一份2020--2021学年人教版八年级数学下册期中模拟卷（Word版 含解析），共25页。试卷主要包含了填空题请把答案直接填写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列x的值能使二次根式x-1有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．15B．0.5C．5D．50
3．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40°B．55°C．75°D．80°
5．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．45°B．30°C．60°D．55°
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
10．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1B．1或4C．1或2D．2或4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 度．
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
13．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝ ．
14．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
15．已知a为正整数，且20a为正整数，则a的最小值为 ．
16．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 ．
17．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=415⋯用含自然数n的代数式表示上述式子为 ．
18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算下列各题：
（1）(32+12)-(12+27)；
（2）（24-0.5+323）﹣（18-6）．
20．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．
21．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接BE并延长交AD延长线于点F．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若AB＝2BC，连接AE，试判断AE与BF的位置关系，并说明理由．
22．阅读下列运算过程，并完成各小题：13=33×3=33；25=255×5=255．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：11+2=2-1(2+1)(2-1)=2-12-1=2-1；12+3=3-2(3+2)(3-2)=3-23-2=3-2．
模仿上例完成下列各小题：
（1）22= ；
（2）13+4= ；
（3）请根据你得到的规律计算下题：11+2+12+3+13+4+⋯+1n+n+1（n为正整数）．
23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列x的值能使二次根式x-1有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故x的值可以为1，
故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．15B．0.5C．5D．50
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解析】A、15中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、0.5中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、5中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；
D、50中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C．
3．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．
【解析】根据正方形的性质可得，正方形的边长为2cm，则其面积为2cm2
故选：A．
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40°B．55°C．75°D．80°
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
5．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解析】
A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠B+2∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
故选：C．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0
【解析】
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=14×28＝7，且O为BD的中点，
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE=12AB＝3.5，
故选：A．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解析】易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC=12•AF•BC＝10．
故选：C．
8．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．45°B．30°C．60°D．55°
【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
【解析】设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB=12（180°﹣∠BAE）＝90°-12x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE=12（180°﹣∠DAE）=12[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+12x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°-12x°）﹣（45°+12x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故选：A．
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
【分析】根据题意和勾股定理，可以判断各个选项中的条件是否符合题意，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
1+2＝3，故选项A不符合题意；
1+3＝4，故选项B不符合题意；
2+3＝5，故选项C不符合题意；
3+4≠5，故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1B．1或4C．1或2D．2或4
【分析】分两种情况：①当EB＝PC时，△BPE≌△CQP，②当BP＝CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．
【解析】分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4（s），
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 120 度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 4.55 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解析】设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
13．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝ 62+2 ．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．
【解析】延长EF和BC，交于点G，
∵3DF＝4FC，
∴CFDF=13，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝8，
∴直角三角形ABE中，BE=82+82=82，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝82，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴CGDE=CFDF=13，
设CG＝x，DE＝3x，则AD＝8+3x＝BC，
∵BG＝BC+CG，
∴8+3x+x＝82．
解得x＝22-2．
∴BC=62+2
故答案为：62+2．
14．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 24 ．
【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2＝AB2，已知AB＝5，BO＝4，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
【解析】BD＝8，则BO＝DO＝4，
菱形周长为20，则AB＝5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2＝AB2，
AO＝3，AC＝6，
故菱形的面积S=12×6×8＝24．
故答案为 24．
15．已知a为正整数，且20a为正整数，则a的最小值为 5 ．
【分析】因为20a是正整数，且20a=25a，则5a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为5．
【解析】∵20a=25a，20a为正整数，
∴25a是正整数，即5a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为5．
故答案是：5．
16．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 8 ．
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AB＝4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可．
【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝30°，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝30°，AE＝2，
∴BC＝AB＝2AE＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8，
故答案为：8．
17．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=415⋯用含自然数n的代数式表示上述式子为 n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数） ．
【分析】观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解析】观察各式，归纳总结得：n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数）．
故答案为：n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数）．
18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为 2 ．
【分析】当点C为线段AB中点时，MN有最小值，进而利用正方形的性质和三角形的中位线定理解答即可．
【解析】当点C为线段AB中点时，MN有最小值，如图，
∵AB＝4，
∴AC＝CB＝2，
∵四边形ACDE和四边形CBGF是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，
∵M是AD中点，N是BF中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MN=12AB＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算下列各题：
（1）(32+12)-(12+27)；
（2）（24-0.5+323）﹣（18-6）．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解析】（1）原式=42+23-22-33
=722-3；
（2）原式=26-22+6-24+6
=46-342．
20．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．
【分析】所求四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED．分别延长AD，BC交于点E，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后代入三角函数进行求解．
【解析】分别延长AD，BC交于点E．
∵∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠E＝30°，DE＝CD÷tan30°＝10÷33=103，
∴BE＝ABct30°＝203，
四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED
=12BE•AB-12CD•DE
＝2003-503
＝1503．
21．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接BE并延长交AD延长线于点F．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若AB＝2BC，连接AE，试判断AE与BF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由在▱ABCD中，点E为CD的中点，易证得△BCE≌△FDE（AAS），然后由全等三角形的对应边相等，证得结论．
（2）由（1）可知E是BF的中点，又AB＝2BC＝AF，则AE⊥BF．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CBE＝∠F，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
∠CBE=∠F∠CEB=∠DEFCE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BC＝DF，
∴AD＝DF，
即点D是AF的中点；
（2）∵△BCE≌△FDE，
∴BE＝EF，
∵AB＝2BC，BC＝AD，AD＝DF，
∴AB＝AF，
∴AE⊥BF．
22．阅读下列运算过程，并完成各小题：13=33×3=33；25=255×5=255．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：11+2=2-1(2+1)(2-1)=2-12-1=2-1；12+3=3-2(3+2)(3-2)=3-23-2=3-2．
模仿上例完成下列各小题：
（1）22= 2 ；
（2）13+4= 2-3 ；
（3）请根据你得到的规律计算下题：11+2+12+3+13+4+⋯+1n+n+1（n为正整数）．
【分析】（1）把分子分母都乘以2，然后约分即可；
（2）把分子分母都乘以（4-3），然后利用平方差公式计算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解析】（1）原式=2×22×2=2；
故答案为2；
（2）原式=4-3(4+3)(4-3)=2-3；
故答案为2-3；
（3）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+n+1-n
=n+1-1．
23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 平行四边形 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 互相垂直 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ 菱形 ．
【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG═12BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1＝90°，然后根据平行线的性质求出∠3＝90°，再根据垂直定义解答．
【解析】（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，
同理FG∥BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点P作PF⊥CD于点F，用含t的式子分别表示出BP、AP、PF和EF等线段，然后按照勾股定理的逆定理作出判断即可；
（2）假设存在这样的t，使EA平分∠PED，则可推得PE＝PA＝10﹣t，在Rt△PEF中，由勾股定理得出关于t的方程，求得t的值即可．
【解析】（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t=356．
25．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，再证△FAE≌△MAE，即可得出答案．
【解析】证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
AG=AE∠GAF=∠FAEAF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD∠ABM=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE=AE∠FAE=∠MAEAF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列x的值能使二次根式x-1有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．15B．0.5C．5D．50
3．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40°B．55°C．75°D．80°
5．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．45°B．30°C．60°D．55°
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
10．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1B．1或4C．1或2D．2或4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 度．
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
13．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝ ．
14．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 ．
15．已知a为正整数，且20a为正整数，则a的最小值为 ．
16．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 ．
17．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=415⋯用含自然数n的代数式表示上述式子为 ．
18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算下列各题：
（1）(32+12)-(12+27)；
（2）（24-0.5+323）﹣（18-6）．
20．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．
21．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接BE并延长交AD延长线于点F．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若AB＝2BC，连接AE，试判断AE与BF的位置关系，并说明理由．
22．阅读下列运算过程，并完成各小题：13=33×3=33；25=255×5=255．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：11+2=2-1(2+1)(2-1)=2-12-1=2-1；12+3=3-2(3+2)(3-2)=3-23-2=3-2．
模仿上例完成下列各小题：
（1）22= ；
（2）13+4= ；
（3）请根据你得到的规律计算下题：11+2+12+3+13+4+⋯+1n+n+1（n为正整数）．
23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列x的值能使二次根式x-1有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可．
【解析】由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故x的值可以为1，
故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A．15B．0.5C．5D．50
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解析】A、15中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、0.5中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、5中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；
D、50中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C．
3．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（ ）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．
【解析】根据正方形的性质可得，正方形的边长为2cm，则其面积为2cm2
故选：A．
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（ ）
A．40°B．55°C．75°D．80°
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，又可得∠E＝∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
5．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解析】
A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠B+2∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
故选：C．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0
【解析】
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=14×28＝7，且O为BD的中点，
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE=12AB＝3.5，
故选：A．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解析】易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC=12•AF•BC＝10．
故选：C．
8．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．45°B．30°C．60°D．55°
【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
【解析】设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB=12（180°﹣∠BAE）＝90°-12x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE=12（180°﹣∠DAE）=12[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+12x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°-12x°）﹣（45°+12x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故选：A．
9．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
【分析】根据题意和勾股定理，可以判断各个选项中的条件是否符合题意，从而可以解答本题．
【解析】由题意可得，
三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
1+2＝3，故选项A不符合题意；
1+3＝4，故选项B不符合题意；
2+3＝5，故选项C不符合题意；
3+4≠5，故选项D符合题意；
故选：D．
10．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1B．1或4C．1或2D．2或4
【分析】分两种情况：①当EB＝PC时，△BPE≌△CQP，②当BP＝CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．
【解析】分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4（s），
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 120 度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 4.55 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解析】设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
13．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝ 62+2 ．
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．
【解析】延长EF和BC，交于点G，
∵3DF＝4FC，
∴CFDF=13，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝8，
∴直角三角形ABE中，BE=82+82=82，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝82，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴CGDE=CFDF=13，
设CG＝x，DE＝3x，则AD＝8+3x＝BC，
∵BG＝BC+CG，
∴8+3x+x＝82．
解得x＝22-2．
∴BC=62+2
故答案为：62+2．
14．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 24 ．
【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2＝AB2，已知AB＝5，BO＝4，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
【解析】BD＝8，则BO＝DO＝4，
菱形周长为20，则AB＝5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2＝AB2，
AO＝3，AC＝6，
故菱形的面积S=12×6×8＝24．
故答案为 24．
15．已知a为正整数，且20a为正整数，则a的最小值为 5 ．
【分析】因为20a是正整数，且20a=25a，则5a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为5．
【解析】∵20a=25a，20a为正整数，
∴25a是正整数，即5a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为5．
故答案是：5．
16．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 8 ．
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AB＝4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可．
【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝30°，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABC＝30°，AE＝2，
∴BC＝AB＝2AE＝4，
∴四边形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8，
故答案为：8．
17．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=415⋯用含自然数n的代数式表示上述式子为 n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数） ．
【分析】观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解析】观察各式，归纳总结得：n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数）．
故答案为：n+1n+2=（n+1）•1n+2（n≥1，n为正整数）．
18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为 2 ．
【分析】当点C为线段AB中点时，MN有最小值，进而利用正方形的性质和三角形的中位线定理解答即可．
【解析】当点C为线段AB中点时，MN有最小值，如图，
∵AB＝4，
∴AC＝CB＝2，
∵四边形ACDE和四边形CBGF是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，
∵M是AD中点，N是BF中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MN=12AB＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算下列各题：
（1）(32+12)-(12+27)；
（2）（24-0.5+323）﹣（18-6）．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解析】（1）原式=42+23-22-33
=722-3；
（2）原式=26-22+6-24+6
=46-342．
20．如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．
【分析】所求四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED．分别延长AD，BC交于点E，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后代入三角函数进行求解．
【解析】分别延长AD，BC交于点E．
∵∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠E＝30°，DE＝CD÷tan30°＝10÷33=103，
∴BE＝ABct30°＝203，
四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED
=12BE•AB-12CD•DE
＝2003-503
＝1503．
21．如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，连接BE并延长交AD延长线于点F．
（1）求证：点D是AF的中点；
（2）若AB＝2BC，连接AE，试判断AE与BF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由在▱ABCD中，点E为CD的中点，易证得△BCE≌△FDE（AAS），然后由全等三角形的对应边相等，证得结论．
（2）由（1）可知E是BF的中点，又AB＝2BC＝AF，则AE⊥BF．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CBE＝∠F，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
∠CBE=∠F∠CEB=∠DEFCE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴BC＝DF，
∴AD＝DF，
即点D是AF的中点；
（2）∵△BCE≌△FDE，
∴BE＝EF，
∵AB＝2BC，BC＝AD，AD＝DF，
∴AB＝AF，
∴AE⊥BF．
22．阅读下列运算过程，并完成各小题：13=33×3=33；25=255×5=255．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：11+2=2-1(2+1)(2-1)=2-12-1=2-1；12+3=3-2(3+2)(3-2)=3-23-2=3-2．
模仿上例完成下列各小题：
（1）22= 2 ；
（2）13+4= 2-3 ；
（3）请根据你得到的规律计算下题：11+2+12+3+13+4+⋯+1n+n+1（n为正整数）．
【分析】（1）把分子分母都乘以2，然后约分即可；
（2）把分子分母都乘以（4-3），然后利用平方差公式计算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解析】（1）原式=2×22×2=2；
故答案为2；
（2）原式=4-3(4+3)(4-3)=2-3；
故答案为2-3；
（3）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+n+1-n
=n+1-1．
23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 平行四边形 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 互相垂直 条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ 菱形 ．
【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG═12BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1＝90°，然后根据平行线的性质求出∠3＝90°，再根据垂直定义解答．
【解析】（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，
同理FG∥BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形．
24．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点P作PF⊥CD于点F，用含t的式子分别表示出BP、AP、PF和EF等线段，然后按照勾股定理的逆定理作出判断即可；
（2）假设存在这样的t，使EA平分∠PED，则可推得PE＝PA＝10﹣t，在Rt△PEF中，由勾股定理得出关于t的方程，求得t的值即可．
【解析】（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t=356．
25．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，再证△FAE≌△MAE，即可得出答案．
【解析】证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
AG=AE∠GAF=∠FAEAF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD∠ABM=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE=AE∠FAE=∠MAEAF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
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