提分专练06　以矩形、菱形、正方形为背景

提分专练(六)　以矩形、菱形、正方形为背景

的中档计算与证明

|类型1|　以矩形为背景的问题

1.[2018·连云港] 如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.

(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;

(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.

图T6-1

2.[2018·通辽] 如图T6-2,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.

(1)求证:△AEF≌△DEB;

(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.

图T6-2

3.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.

图T6-3

(1)求证:△ABD≌△CAE;

(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.

|类型2|　以菱形为背景的问题

4.[2017·北京] 如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.

图T6-4

(1)求证:四边形BCDE为菱形;

(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.

5.[2018·南宁] 如图T6-5,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.

图T6-5

(1)求证:▱ABCD是菱形;

(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.

|类型3|　以正方形为背景的问题

6.[2018·盐城] 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.

图T6-6

(1)求证:△ABE≌△ADF;

(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.

7.[2018·遵义] 如图T6-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.

(1)求证:OM=ON;

(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.

图T6-7

8.[2018·北京] 如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.

图T6-8

(1)求证:GF=GC;

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.

参考答案

1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,

∵E是AD的中点,∴AE=DE,

又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,

又∵CD∥AF,

∴四边形ACDF是平行四边形.

(2)BC=2CD.理由:

∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,

∵∠CDE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形,

∴CD=DE,

∵E是AD的中点,∴AD=2CD,

∵AD=BC,∴BC=2CD.

2.解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,

又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,

∴△AEF≌△DEB.

(2)四边形ADCF是矩形.

证明:∵AF∥CD,AF=CD,

∴四边形ADCF是平行四边形.

∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,

∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,

又∵AB=AC,∴AD⊥BC,

∴∠ADC=90°.

∴四边形ADCF是矩形.

3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴AD⊥BC,BD=CD.

∵AE∥BC,CE⊥AE,

∴∠DCE=90°,

∴四边形ADCE是矩形,

∴AD=CE.

在Rt△ABD与Rt△CAE中,

∴Rt△ABD≌Rt△CAE.

(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:

如图所示,

由(1)知四边形ADCE是矩形,

∴AE=CD=BD,又AE∥BD,

∴四边形ABDE是平行四边形,

∴DE∥AB,DE=AB.

4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,

∴BC=ED,

∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,

∵∠ABD=90°,AE=DE,

∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.

(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,

∴BA=BC=1,

∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,

∴∠ADB=30°,∴∠DAC=∠BAD=30°,∠ADC=2∠ADB=60°.

∴∠ACD=90°.

在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.

5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠ABC=∠ADC.

∵AE⊥BC,AF⊥DC,

∴∠AEB=∠AFD=90°,

又∵BE=DF,

∴△AEB≌△AFD(ASA).

∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.

(2)如图,连接BD交AC于点O.

由(1)知四边形ABCD是菱形,AC=6,

∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,

∵AB=5,AO=3,

∴在Rt△AOB中,BO===4,

∴BD=2BO=8,∴S▱ABCD=AC·BD=×6×8=24.

6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.

∴∠ABE=∠ADF=135°.

又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).

(2)四边形AECF是菱形.

理由:连接AC交BD于点O,图略.

则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.

又∵BE=DF,∴OE=OF,

∴四边形AECF是菱形.

7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=OD=BD,所以OA=OB=OD,因为AC⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因为∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以OM=ON.

(2)如图,过点O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,因为E为OM中点,所以OE=ME,又因为∠AEM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP,因为OA=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE==,所以OM=2OE=2,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.

8.解:(1)证明:连接DF,如图:

∵点A关于直线DE的对称点为F,

∴DA=DF,∠DFE=∠A=90°.

∴∠DFG=90°.

∵四边形ABCD是正方形,

∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG=90°.

又∵DG=DG,

∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).

∴GF=GC.

(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.

由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°,

∴∠EDH=45°.

又∵EH⊥DE,

∴△DEH是等腰直角三角形.

∴DE=EH.

∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,

∴∠1=∠5.

∴△DPE≌△EBH(SAS).

∴PE=BH.

∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=AE.

∴BH=AE.