江苏2020中考一轮复习培优 提分专练09 与圆有关的证明及计算

提分专练(九)　与圆有关的证明及计算

|类型1|　平面直角坐标系中的圆

1.[2019·无锡] 如图T9-1,一次函数y=kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且

sin∠ABO=,△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.

(1)求这个一次函数的表达式;

(2)求图中阴影部分的面积.

图T9-1

2.[2017·酒泉] 如图T9-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.

(1)若点A,N,∠ABN=30°,求点B的坐标;

(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.

图T9-2

|类型2|　垂径定理与勾股定理联手

3.[2019·苏州] 如图T9-3,扇形OAB中∠AOB=90°,P为上的一点,过点P作PC⊥OA,垂足为C.PC与AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为　　　　. 

图T9-3

|类型3|　与圆有关的图形的面积

4.[2018·达州] 已知,如图T9-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.

(1)求证:DF是☉O的切线;

(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由,DF,EF围成的阴影部分的面积.

图T9-4 

|类型4|　与圆的切线有关的问题

5.[2019·巴中] 如图T9-5,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.

(1)求证:DC是☉O的切线;

(2)若AC=4MC且AC=8,求图中阴影部分的面积;

(3)在(2)的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.

图T9-5 

|类型5|　圆与四边形结合的问题

6.[2019·温州] 如图T9-6,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.

(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;

(2)当BE=4,CD=AB时,求☉O的直径长.

图T9-6

|类型6|　圆与三角函数结合的问题

7.如图T9-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.

(1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;

(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求☉O的直径.

图T9-7

|类型7|　圆与相似三角形结合的问题

8.[2019·滨州] 如图T9-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.

(1)求证:直线DF是☉O的切线;

(2)求证:BC2=4CF·AC;

(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.

图T9-8

【参考答案】

1.解:(1)作MN⊥BO于N,由垂径定理得N为OB中点,∴MN=OA,

∵MN=3,∴OA=6,即A(-6,0).

∵sin∠ABO=,OA=6,

∴AB=4,OB=2,B(0,2),

将A,B点坐标代入y=kx+b,

得解得

∴y=x+2.

(2)由(1)得∠ABO=60°,连接OM,则∠AMO=120°,AM=MB=AB=2.

∴阴影部分面积为S=×(2)2-×6×=4π-3.

2.解:(1)∵A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),∴AN=4,

∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,

∴由勾股定理可知:NB=4,∴B(4,2).

(2)证明:连接MC,NC.

∵AN是☉M的直径,

∴∠ACN=90°,

∴∠NCB=90°,

在Rt△NCB中,D为NB的中点,

∴CD=NB=ND,

∴∠CND=∠NCD.

∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.

∵∠MNC+∠CND=90°,

∴∠MCN+∠NCD=90°,

即MC⊥CD,

∴直线CD是☉M的切线.

3.5　[解析] 连接OP,∵∠AOB=90°,PC⊥OA,∴∠DCA=∠AOB=90°,又∠DAC=∠BAO,∴△ACD∽△AOB,

∴=,

∵OA=OB,∴AC=CD=1,

又PD=2,∴CP=3,

设CO=x,则OP=OA=x+1,

∵∠PCO=90°,∴OP2=OC2+CP2,∴x2+32=(x+1)2,解得x=4,∴OA=x+1=5.

4.解:(1)证明:连接OD,CD.

∵BC是直径,∴∠BDC=90°.

∵△ABC是等边三角形,∴点D是AB的中点.

∵点O是BC的中点,∴OD∥AC.

∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.

∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.

(2)连接OD,OE,DE.

∵同(1)可知点E是AC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,△ADE是等边三角形.

∵等边三角形ABC的边长为8,

∴等边三角形ADE的边长为4.

∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=2.

∴△DEF的面积=EF·DF=×2×2=2.

△ADE的面积=△ODE的面积=4.

扇形ODE的面积==.

∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=2+4π=6.

5.[解析](1)过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD是切线;(2)通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,继而可得阴影部分面积;(3)根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD的长度.

解:(1)证明:过点O作OG⊥CD于点G,

∵菱形ABCD中,AC是对角线,

∴CA平分∠BCD,

∵OH⊥BC,∴OH=OG,

∵OH是☉O的半径,

∴OG长等于☉O的半径长,

∴CD是☉O的切线.

(2)∵AC=4MC且AC=8,

∴OC=2MC=4,MC=OM=2,

∴OH=OM=2.

在Rt△OHC中,OH=2,OC=4,

∴HC==2,

∴tan∠HOC==,

∴∠HOC=60°,∴S阴影=S△OCH-S扇形OHM=CH·OH-=×2×2-=2π.

(3)作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的值最小.

∵ON=OM=OH,∠MOH=60°,

∴∠MNH=30°,∠MNH=∠HCM,

∴HN=HC=2,

即PH+PM的最小值为2.

在Rt△NPO中,OP=ONtan30°=,

在Rt△COD中,OD=OCtan30°=,

∴PD=OP+OD=2.

6.解:(1)证明:连接AE.

∵∠BAC=90°,

∴CF是☉O的直径.

∵AC=EC,∴CF⊥AE.

∵AD为☉O的直径,∴∠AED=90°,

即GD⊥AE,∴CF∥DG.

∵AD为☉O的直径,∴∠ACD=90°,

∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB∥CD,

∴四边形DCFG为平行四边形.

(2)由CD=AB,可设CD=3x,AB=8x,由(1)可知FG=CD=3x.

∵∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,

∴BG=8x-3x-3x=2x.

∵GE∥CF,∴==.

又∵BE=4,∴AC=CE=6,

∴BC=6+4=10,

∴AB==8=8x,∴x=1.

在Rt△ACF中,AF=3,AC=6,

∴CF==3,

即☉O的直径长为3.

7.解:(1)BD与☉O相切.理由如下:连接OB,

∵OB=OA,DE=DB,

∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,

又∵CD⊥OA,

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,

∴∠OBA+∠ABD=90°,

∴OB⊥BD,∴BD是☉O的切线.

(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,

∵DE=DB,∴EG=BE=5,

∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,

∴△ACE∽△DGE,

∴∠GDE=∠A,

∵tanA=,∴sinA=,

∴sin∠EDG=sinA==,∴DE=13,

在Rt△EDG中,DG==12,

∵CD=15,DE=13,∴CE=2,

∵△ACE∽△DGE,∴=,

∴AC=·DG=,

∴☉O的直径=2OA=4AC=.

8.解:(1)证明:如图所示,连接OD,

∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,

∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C,

∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°,

∴∠CDF+∠ODB=90°,

∴∠ODF=90°,

∴直线DF是☉O的切线.

(2)证明:连接AD,则AD⊥BC,

∵AB=AC,∴DB=DC=BC.

∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,

∴∠CDF=∠DAC,

又∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,

∴=,∴CD2=AC·CF,

∴BC2=4CF·AC.

(3)连接OE,作OG⊥AE于G.

∵∠CDF=15°,∴∠C=75°,∠OAE=30°=∠OEA,∴∠AOE=120°,

∴AE=2EG=2OE·cos30°=2×4×=4.

∴S△OAE=AE·OE·sin∠OEA=×4×4×=4,

∴S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=×π×42-4=-4.