2021年中考数学滚动测试卷（四）三角形 B卷

这是一份2021年中考数学滚动测试卷（四）三角形 B卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学滚动测试卷（四）三角形 B卷
(时间:90分钟　总分:120分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.(2020海南中考)如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于(　　)

A.50° B.60° C.70° D.80°
2.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(　　)
A.8 cm B.52 cm C.5.5 cm D.1 cm
3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　　)

A.2对 B.3对
C.4对 D.6对
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=(　　)

A.55° B.60°
C.65° D.70°
5.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40 n mile/h的速度向正北方向航行,2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(　　)

A.40 n mile B.60 n mile C.70 n mile D.80 n mile
6.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为(　　)

A.13 B.14
C.15 D.16
7.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是(　　)

A.110° B.120° C.125° D.130°
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于(　　)

A.5 B.513
C.1313 D.95
9.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是(　　)

A.4 B.5
C.6 D.8
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t s(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为(　　)

A.2 B.2.5或3.5
C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,则∠2的度数是　　　　　. 

12.如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是　　　　　　　　　　. (写出一个即可)


13.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=　　　　　.

14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是　　　　cm2. 

15.如图是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,小亮随机地往大正方形区域内投针一次,则针孔在阴影部分的概率是　　　　　. 

16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为　　　　　. 

三、解答题(56分)
17.(6分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.










18.(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.











19.(10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).

参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.



















20.(10分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4 m.

(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道,试判断距离点B处 4 m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.45)



















21.(10分)问题情境:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,∠E=30°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N.
(1)试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;
(2)将图①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图②的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM,ON.试判断线段OM,ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.

图①

图②










22.(12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点.

(1)若E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以1个单位长度/秒的速度沿CA,AB运动到点A,B时停止,设△DEF的面积为y,点F的运动时间为x,求y与x之间的函数关系式.

参考答案
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.(2020海南中考)如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于(　　)

A.50° B.60° C.70° D.80°
答案:C
2.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是(　　)
A.8 cm B.52 cm C.5.5 cm D.1 cm
答案:A
3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　　)

A.2对 B.3对
C.4对 D.6对
答案:B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=(　　)

A.55° B.60°
C.65° D.70°
答案:C
5.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40 n mile/h的速度向正北方向航行,2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(　　)

A.40 n mile B.60 n mile C.70 n mile D.80 n mile
答案:D
6.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为(　　)

A.13 B.14
C.15 D.16
答案:A
7.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是(　　)

A.110° B.120° C.125° D.130°
答案:C
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于(　　)

A.5 B.513
C.1313 D.95
答案:B
9.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是(　　)

A.4 B.5
C.6 D.8
答案:C
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t s(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为(　　)

A.2 B.2.5或3.5
C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5
答案:D
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,则∠2的度数是　　　　　. 

答案:130°
12.如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是　　　　　　　　　　. (写出一个即可)

答案:AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D

13.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=　　　　　. 
答案:13
14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是　　　　cm2. 

答案:6
15.如图是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,小亮随机地往大正方形区域内投针一次,则针孔在阴影部分的概率是　　　　　. 

答案:125
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为　　　　　. 

答案:1或2
三、解答题(56分)
17.(6分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.

证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D.
18.(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.

解:△AFC是等腰三角形.
理由如下:在△BAD与△BCE中,
∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE,
∴△BAD≌△BCE.
∴BA=BC.
∴∠BAC=∠BCA.
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,
即∠FAC=∠FCA.
∴△AFC是等腰三角形.
19.(10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).

参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60.
解:在Rt△CAD中,tan ∠CAD=CDAD,
则AD=CDtan31°≈53CD.
在Rt△CBD中,∠CBD=45°,
∴BD=CD.
∵AD=AB+BD,
∴53CD=CD+30,
解得CD=45.
答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
20.(10分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4 m.

(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2 m的通道,试判断距离点B处 4 m的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.45)
解:(1)如图,过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D.

在Rt△ABD中,AD=ABsin 45°=4×22=22(m).
在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,
∴AC=2AD=42≈5.6(m),
即新传送带AC的长度约为5.6 m.
(2)货物MNQP需要挪走.
理由:在Rt△ABD中,BD=ABcos 45°=4×22=22(m),
在Rt△ACD中,CD=ACcos 30°=42×32=26(m),
∴CB=CD-BD=26-22=2(6-2)≈2.1(m).
∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9(m),1.9<2,
∴货物MNQP需要挪走.
21.(10分)问题情境:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,∠E=30°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N.
(1)试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;
(2)将图①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图②的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM,ON.试判断线段OM,ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.

图①

图②
解: (1)OM=ON,理由如下:
∵CA=CB,
∴∠A=∠B.
∵O是AB的中点,
∴OA=OB.
∵DF⊥AC,DE⊥BC,
∴∠AMO=∠BNO=90°.
在△OMA和△ONB中,∠A=∠B,∠AMO=∠BNO,AO=BO,
∴△OMA≌△ONB(AAS).
∴OM=ON.
(2)OM=ON,OM⊥ON.
理由如下:如图,连接OC.

∵BN⊥DE,FM⊥CM,CM⊥BN,
∴四边形DMCN是矩形,
∴CN=DM.
∵∠DAM=∠CAB=45°,∠DMA=90°.
∴DM=MA,
∴CN=MA.
∵∠ACB=90°,O为AB中点,
∴CO=12AB=AO,∠BCO=45°,CO⊥AB,
∴∠NCO=∠MAO=135°.
在△NOC和△MOA中,NC=MA,∠NCO=∠MAO,OC=OA,
∴△NOC≌△MOA(SAS),
∴OM=ON,∠AOM=∠NOC.
∵∠NOC+∠AON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°,
∴∠MON=90°,即OM⊥ON.
22.(12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点.

(1)若E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以1个单位长度/秒的速度沿CA,AB运动到点A,B时停止,设△DEF的面积为y,点F的运动时间为x,求y与x之间的函数关系式.
(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC中点,
∴AD=DC,∠DAE=∠C=45°.
又AE=CF,
∴△AED≌△CFD.
(2)解:由题知AE=x,AF=6-x,
∴EF2=AE2+AF2=x2+(6-x)2=2x2-12x+36,
由(1)知:△AED≌△CFD,
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DE2=DF2=12EF2,
∴S△DEF=12DE·DF=12DE2=14EF2,
即y=14(2x2-12x+36)=12x2-3x+9.