中考冲刺-数学-第36课锐角三角函数与解直角三角形

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要点梳理　1.锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：　　∠α的正弦 sinα＝ ∠α的余弦 csα＝ ∠α的正切tanα＝ 2．30°、45°、60°的三角函数值，如下表： 可用以下口诀记忆：　　三十四五六十度，三角函数记心间；　　分母弦二切是三，分子要把根号添；　　一二三来三二一，切值三九二十七；　　正弦正切递增值，余弦递减恰相逆．3．同角三角函数之间的关系：　　sin2α＋cs2α＝1；　　互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)　　
第36课　锐角三角函数和解直角三角形
4．解直角三角形的概念、方法及应用：　　解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．　　直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则：　　(1)边与边的关系： (2)角与角的关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角的关系：5．三角形面积公式：S△＝(½)ah6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．　　(1)铅垂线：重力线方向的直线；　　(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；　　(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；　　(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；　　(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝h/l＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
考点巩固测试 1.　计算：tan45°·sin45°－4sin30°·cs45°＋ tan30°　　　　感悟提高　　利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．变式测试1　(1)(2013·烟台) 计算：tan 45°＋ cs45°＝________．　　　　(2)(2012·南昌) 计算：sin 30°＋cs 30°·tan 60　
2.(2012·广东) 如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝¾，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数；参考数据：sin 26.6°＝0.45，cs 26.6°＝0.89，tan 26.6°＝0.50)解　∵在Rt△ABC中， ＝tan α＝¾，∴BC＝ AB.∵在Rt△ADB中， ＝tan 26.6°＝0.50，∴BD＝2AB.∵BD－BC＝CD＝200，∴2AB－ AB＝200，AB＝300.答：小山岗的高度为300米．　　感悟提高　　此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度．
变式测试2　(2013·攀枝花) 如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)　解　作CD⊥AB的延长线于D.∵A地观测到渔船C在东北方向上，B地观测到渔船C在北偏东30°方向上，∴∠CAB＝45°，∠CBD＝60°.在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，在Rt△ACD中，∵∠CDA＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD，∴ ＝AB＋BD，设渔政310船再航行t分钟，离我渔船C的距离最近，答：渔政310船再航行 分钟，离我渔船C的距离最近．
3.　(2013·赤峰) 关于三角函数有如下的公式：　　sin(α＋β)＝sinα·csβ＋csα·sinβ①　　cs(α＋β)＝csα·csβ－sinα·sinβ②利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．如：根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高． 　　
解　过点D作DE⊥AB于E，　　在Rt△ADE中，∠ADE＝∠a＝60°，　　∴AE＝ED·tan60°＝BC·tan60°＝　　在Rt△ACB中，∠ACB＝∠β＝75°，　　∴AB＝BC·tan75°，　　∵tan75°＝tan(45°＋30°)　　　　　　　　答：建筑物CD的高为84m.
感悟提高　　在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．变式测试3　(2012·丽水) 学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即为CD与BC的长度之比)．A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解　在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
4.　(2010·杭州) 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．　　(1)说明本次台风会影响B市；　　(2)求这次台风影响B市的时间． 解　(1)作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，则BH＝320×sin30°＝160<200，故本次台风会影响B市．(2)如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由(1)得，BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
　感悟提高　此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系．求影响情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响期间台风所经过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另一点表示台风结束影响． 　 变式测试4　(2012·天门) 如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30°方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？ 　　解　作BD⊥AC于点D，设BD＝x海里，　　 　　 ∵21.4海里＞15海里，∴货轮无触礁危险．　　答：货轮没有触礁的危险．
5.　(2013·青岛) 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B、F、C在一条直线上)．　(1)求教学楼AB的高度；　(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．(结果保留整数)　　　
解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.　　在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，　　∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF＋FC＝x＋13.　　在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，　　AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2，　　　　∴x＝12.即教学楼的高度为12m.　　(2)由(1)可得，ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.　　　　即A、E之间的距离约为27m.