中考冲刺-数学-第38课代数应用性问题（2）

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要点梳理　　现在应用问题都加强了创设情境，创设情境有的是用语言叙述背景，有的是利用图表来创设情景．数学中的表格、图象和图形是一种最直观、最形象和最集中的交流语言，其中包含着大量具有丰富价值的信息资源．本课分析实际生活、生产中函数与方程、不等式结合运用等问题．函数思想方法　　研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，然后利用函数的性质得出结论，最后再把结论带回到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果，这种研究问题的方法就是函数思想方法．建立函数模型解应用题　　函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点．解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路．注意特殊到一般的尝试、探索，计算过程要准确，结论表述要完整，并注意实际检验．总之要根据题目情境抽象出函数关系式(即建立数学模型)，利用函数知识来解决．
第38课　代数应用性问题(2)
考点巩固测试 1.(2012·益阳) 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．　　(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解　(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：80x＋60(17－x )＝1220，解得：x＝10，∴17－x＝7.答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：17－x＜x，解得：购进A、B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1020，则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8，这时所需费用为20×9＋1020＝1200(元)．答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元．
感悟提高　　解实际问题，要仔细审题，分析清楚各数量间的关系，正确理解常用的不等词语，准确找出不等量关系．变式测试1　(2011·温州) 2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题：　(1)求这份快餐中所含脂肪质量；　(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；　(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%求其中所含碳水化合物质量的最大值．　　解　(1)400×5%＝20.　　答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．　　(2)设所含矿物质的质量为x克，　　由题意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，　　∴x＝44，∴4x＝176.　　答：所含蛋白质的质量为176克．　
(3)解法一：设所含矿物质的质量为y克，　　则所含碳水化合物的质量为(380－5y)克，　　∴4y＋(380－5y)≤400×85%，　　∴y≥40，∴380－5y≤180.　　答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．　　解法二：设所含矿物质的质量为n克，　　则n≥(1－85%－5%)×400，　　∴n≥40，∴4n≥160，∴400×85%－4n≤180.　　答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
2.　为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比例；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝a/t(a为常数)．如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；　
(2)据测定，当空气中每立方米含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？　　解 当y＝0.25时，0.25＝ 解得t＝6.　　答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．感悟提高 数形结合，熟记函数的图象和性质，建立准确的函数模型，找出点的坐标，建立方程或方程组，利用待定系数法解决问题．　　
变式测试2　某工厂用一种自动控制的机器做一批工件，该机器运行分为加油过程和加工过程．加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．如图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象，根据图象回答下列问题：求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间函数关系式；(不必写出自变量x的取值范围)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？解　(1)设y＝kx＋b(k≠0)，　　　　∴y＝－x＋110.　　(2)当y＝10时，－x＋110＝10，x＝100.　　答：机器运行100分钟时，第一个加工过程停止．
3.小刚家装修，准备安装照明灯．他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当．假定电价为0.45元/度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)．[耗电量(度)＝功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用＝电费＋灯的售价] (1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式； (2)你认为选择哪种照明灯合算？解　(1)根据题意，得
　(2)由y1＝y2，得0.018x＋1.5＝0.0036x＋22.38，解得x＝1450；由y1>y2，得0.018x＋1.5>0.0036x＋22.38，解得x>1450；由y1y2，y1变式测试3　(2012·德阳) 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务．(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A 种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：　　　问：这400间板房最多能安置多少灾民？
解　(1)设x人生产A种板材，经检验，x＝120是分式方程的解．则210－120＝90.故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务．(2)设生产甲种板房y间，乙种板房(400－y)间，安置人数为W＝12y＋10(400－y)＝2y＋4000，解得300≤y≤360.∵一次函数W＝2y＋4000，k＝2>0，W随y的增大而增大，∴当y＝360时，安置的人数最多，W最大值＝360×2＋4000＝4720.即最多能安置4720人．
4.　(2012·漳州) 某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．(1)至少需要购买甲种原料多少千克？(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？
分析　(1)先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案；(2)根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少．　　解　(1)依题意，得600x＋400(20－x)≥480×20，　　解得x≥8. 　　答：至少需要购买甲种原料8千克．　　(2)根据题意得：y＝9x＋5(20－x)，即y＝4x＋100，　　∵k＝4＞0，∴y随x的增大而增大．　　∵x≥8，∴当x＝8时，y值最小．　　答：购买甲种原料8千克时，总费用最少．感悟提高　　函数问题在实际应用中，要求能将实际中数值转换成函数中变量的值．本题中还有综合方程、不等式、函数知识解决问题．
变式测试4　(2011·恩施) 宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A种材料进了x箱．　(1)求厂家共有多少种进货方案？(不要求列举方案) 解　(1)设A种材料进了x箱，则B种材料进了(50－x)箱，根据题意，得：解得12.5≤x≤50，由于x取整数，故有38种进货方案． (2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式(求函数解析式不取近似值)，确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．(2)由以上数据画出简图，可知该函数为二次函数．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由表可知二次函数经过(15，10)(25，40)(45，40)，将三点坐标代入二次函数解析式，得
∴二次函数的解析式为y＝－0.1x2＋7x－72.5＝－0.1(x－35)2＋50，∴当x＝35时，能让厂家获得最大利润，最大利润为50万元．